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函数4.2 一元二次方程
1. 一元二次方程的定义及一般形式：
(1)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程
(2)一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。
例题1：方程：①13122
=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022
=y 中一元二次是 （ ） A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③
2：当a_______时，关于x 的方程0422=+++x x ax 是一元二次方程
2. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如2
()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a b +=或者x a b +=-，∴x a b =-±。
【注意：若b<0，方程无解】 3：将方程0362=+-x x 左边配成完全平方式，得到的方程是（ ）
A 、3)3(2-=-x
B 、6)3(2=-x
C 、3)3(2=-x
D 、12)3(2=-x （2）因式分解法（十字相乘法）：一般步骤如下：
①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；
②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
例题：解方程041132=--x x
3.常用方法 1.配方法
用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤
①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2
()(0)x m n n +=≥的形式；
④用直接开平方法解变形后的方程。
[注意：当0n <时，方程无解]
例题：将方程0142=++x x 配方后，原方程变形为（ ）
A ．3)2(2=+x
B ．3)4(2=+x
C ．3)2(2-=+x
D ．
5)2(2-=+x 2.公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：
242b b ac x a
-±-=（240b ac -≥） 一般步骤:①将方程化为一般形式 20(0)ax bx c a ++=≠；
②确定方程的各系数a ，b ，c ，计算2
4b ac -的值； ③当240b ac -≥，将a ，b ，c 以及2
4b ac -的值代入求根公式，得出方程的根242b b ac x a -±-= 注意: ①当240b ac -<时，方程无解；②公式法是解一元二次方程的万能方法
③利用2
4b ac -的值，可以不解方程就能判断方程根的情况（判别式）
例题：解方程2)1)(2(=-+x x
3. 一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
例题1:利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中
如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
例题2:若关于x 的方程x 2+2（k-1）x+k 2＝0有实数根。
则k 的取值范围是（ ） A ．k<12 B ．k ≤12 C ．k>12
D ．k ≥
12
例题:已知实数m ，n 满足m 2-7m+2＝0，n 2-7n+2＝0且m ≠n ，则n m m n +＝_______。
4. 韦达定理（根与系数关系）
（1）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -； 1x ∙2x ＝c a
可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。
*实根与虚根。
（2）如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
（3）以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
例题1：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
例题2：已知关于x 的方程x 2+kx-6＝0的一个根是2，另一个根为___，k 为____。
例题3：当m ＝2时，使关于x 的方程x 2-4x+m ＝0有两个不相等的非零实数根1x ，2x ，此时相应代数式1221x x x x +＝________。
例题4：已知a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足
111a b +=-，则m 的值是（ ）
A ．3或-1
B ．3
C ．1
D ．-1 例题5：设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
3.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似
①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
④“解”就是求出说列方程的解；
⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。
例题1：某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
原计划每天拆迁12502m ，因为准备工作不足，第一天少拆了20％。
从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了14402m 。
求：（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若第二天，第三天每天拆迁面积比前一天增长百分数相同，求这个百分数。
例题2：关于x 的方程kx 2+2x-1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．K>-1
B ．K>1
C ．K ≠0
D ．K>-1 且K ≠0 练习题：1.（1）
21(3)22
x += （2）22990x x +-= （3）22210x x -+=。
2.设x 1、x 2是方程03422=-+x x 的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值
（1）221)(x x -
（2）)1)(1(1221x x x x ++ 3.若方程220x x k ++=的一个根为0，另一个根是___________。
4.关于方程2(21)10x k x k +++-=的根的情况是____________。
A ．有两个不等实根
B ．有两个相等实根
C ．没有实根
D ．无法判断 综合题
1.方程)3(5)3(2-=-x x x 的根为 （ ）
A.25=x
B.3=x
C.3,2
521==x x D.52=x 2.若方程02=++q px x 的两次根中只有一个根为0，那么 （ ）
A.0==q p
B.0,0≠=q p
C.0,0=≠q p
D.0,0≠≠q p
3.一元二次方程0132
=--x x 的两根为21,x x ，则 1212221212
_______,________,
11_______,_______.x x x x x x x x +=⋅=+=+=
4.已知关于x 的一元二次方程22
(1)210m x x m -++-=的一个解是0，求m 的值。
5.已知关于方程0222=-+-k k x kx 的两个实根分别为0，α，求α及k 的值.
6.试写出满足下列要求的一元二次方程各一个.
（1）一个根是0，另一个根是负数. （2）一个根是正数，另一个根大于－2而小于－1.
1.一般形式
例题：1.C 2.不等于0
2.解法
直接开方法B
因式分解法（x-4）（3x-1）=0，x=4 或者x=-1
3.
配方法A 公式法x1=-4，x2=1
判别式1.B 2. 45/2
韦达定理1.C 2. -3 1 3.6 4.D 5. -5/2 -14/3
4.应用例题1 1000m2 20％例题2 A
练习题:
1.(1)x1= -1，x2=-5 （2）x1=9，x2= -11 （3）x1=1+√2，x2= -1+√2
2.(1)10 (2)-1/6
3.-2
4.A或B
综合题
1. C
2. C
3. 3 -1 -3 11
4.-1
5.α=2 k=1
6.x2+x=0 （x+3/2）（x-1）=0 （答案不唯一）。
