2015考研线性代数部分

中国科学技术大学2015年线性代数与解析几何考研真题参考解答一. 1.假设在直线上的对称中心为 t +12,t +1,t +12 ,则这点与(1,0,1)的连线与直线的方向向量垂直,解得t =−13,最终可得答案为 −13,43,−13 .2.假设两个交点分别为(t,2t,−3t ),(2k +1,k −2,k +3),这两点与点(3,7,8)共线,于是(t −3,2t −7,−3t −8)//(2k −2,k −9,k −5),从此可解得t =−1517,k =−3729,从而可得交点坐标.3.二次型乘以二后对应的矩阵为 01110−31−30,特征多项式为(λ−3)(λ3+3λ−2),于是正惯性指数为2.4.容易算得第一个矩阵的特征多项式为λ2−2λ+4,它整除λ3+8,于是A 3=−8E,从而有A 9=−83E.后一空答案为(−10)n .5.设A =(a ij )3×3,去看看分量满足什么条件,最后就可得维数为3.如果先把题中矩阵搞成Jordan 标准型再算可交换矩阵有可能简化一点点计算.6.在原矩阵后面添加矩阵diag {I n ,I n ,I n },然后做行变换可得逆矩阵为:I n −A −C +AB I n −B I n.7.−8,4.二. 1.根据题设条件,我们可以通过只做初等列变换把矩阵A 变为(I m ,0),对应的矩阵语言是:存在n 阶可逆方阵P,使得AP =(I m ,0),于是取Q =P −1即可.2.A (1,x,x 2,x 3)=(1,x,x 2,x 3) 0000010000200003 ,于是A 的极小多项式为λ(λ−1)(λ−2)(λ−3).3.先算下向量组的秩,然后任取那么多个向量看看是否线性无关.4.可以先算出A 的特征多项式为(λ−1)(λ−3)(λ+1)2,然后算特征向量并正交单位化,把这些向量写在一起得所求.5.按先算特征值再算特征向量的方法把A 对角化:A 17−11 = 17−11 15001,于是p nq n=1817−1115n011−711p0q0,整理得p n=1815n+7p0+7−75n(1−p0),于是lim n→∞p n=78.算A n的时候利用特征多项式及带余除法应该更方便一点.。

05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。

（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。

（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。

三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P2，评注2，第6页括号五，特征多项式公式，这两个地方没看明白，主要是不清楚行列式是怎么拆分的，以及怎么合并成特征多项式公式的，谢谢老师解答! 老师答：111213212223313233000000a a a a a a a a a λλλ--------- 行列式的性质将第1列拆开， 121322233233000000a a a a a a λλλ--=--+--1112132122233132330000a a a a a a a a a λλ--------- 这两个矩阵分别再对第2列拆开，得四个行列式，再分别对四个行列式的第3列拆开， 得8个行列式，就是第二页的所给结果，这8个三阶行列式前7个都很好计算，（主对角线性，一列只有一个非零元素展开）。

按行也可以得出一样的结果，要点就是一行（列）元素拆成两元素之和，其他行（列）元素保持不变。

学生问：老师你好，我想问一下，2015线性代数辅导讲义，P6，（3），1.10的推倒过程中前两个式子为什么相等～～～ 老师答：这三个式子是相等的， 前两式子分别等于第3个，传递性知前两个式子相等。

学生问：2015线性代数辅导讲义，P6，关于副对角线的行列式从第一不到第二步看不懂，是怎样化的能详细点吗？副对角线跟主对角线有什么区别呢？谢谢老师。

老师答：这儿的两式子没有推导关系，只是结果相等的关系。

根据行列式的定义或展开计算得出1.8的结果。

副对角线行列式的结果不只是对角线上元素乘积，还有与阶数有关的符号。

学生问：2015线性代数辅导讲义，（1）P8，图片画线处前后两个等号不理解，不知道怎么来的，以及后面那个行列式怎么的出来（2）P4，为什么D1=4老师答：这个行列式用常数12,,,n b b b ， 换掉前面系数行列式中第j 列的元素得到的行列式，记为j D ，行列式按第j 列展开的计算式就是画线的式子。

4页，这就是第一行第一列一个元素的行列式。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题与答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x2 (B)∫lnxx+∞2dx(C)∫1xlnx+∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

∫√x2=2√x|2+∞=+∞；∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞；∫x e x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx =2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=e lim t→0x 2t (1+sin tx−1)=e x lim t→0sint t=e x(x≠0),f(x)在x=0处无定义，且limx→0f(x)=limx→0e x=1,所以 x=0是f(x)的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数f(x)={xαcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,β>0).若f′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2【答案】A【解析】易求出f′(x)={αxα−1cos 1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有 f+′(0)=limx→0+f(x)−f(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，f−′(0)=0于是，f′(0)存在⟺α>1，此时f′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x)在x=0连续⟺α−β>1。

2015考研线代真题2015年考研线代真题是考研数学科目中的一道经典题目，它涉及到线性代数的基本概念和运算方法。

线性代数作为数学的一个重要分支，对于理解和应用其他学科都具有重要意义。

在考研中，线性代数是一个必考的科目，因此掌握线性代数的基本知识和解题方法对于考生来说是非常重要的。

2015年考研线代真题的内容主要涉及到矩阵的特征值和特征向量的计算。

矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理、工程、经济等。

矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

在解答这道题目时，首先需要计算矩阵的特征值。

特征值是矩阵的一个数值，它与矩阵的性质和运算有着密切的关系。

计算特征值的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。

特征方程是一个关于特征值的方程，通过求解特征方程可以得到矩阵的特征值。

在计算特征值时，我们需要注意特征值的重数，即一个特征值对应的特征向量的个数。

特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。

在得到矩阵的特征值后，接下来需要计算特征向量。

特征向量是与矩阵的特征值相对应的向量，它可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

计算特征向量的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过求解矩阵的特征方程得到特征值，然后再通过代入特征值求解特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵的特征值之间存在着重要的关系。

特征向量可以用来描述矩阵的变换效果，它可以帮助我们理解和应用矩阵的性质和运算。

在解答这道题目时，我们需要注意特征值和特征向量的计算方法和步骤。

特征值和特征向量是矩阵的重要性质，它们可以帮助我们研究矩阵的性质和解决一些实际问题。

在计算特征值和特征向量时，我们需要注意特征值的重数和特征向量的非零性。

特征值和特征向量是一一对应的，它们之间存在着重要的关系。

特征值和特征向量的计算是线性代数中的一个重要内容，它对于理解和应用其他学科都具有重要意义。

(3) 二次型正定性的判别。

同学们可以对照以上内容和题型，多问问自己是否已熟练掌握相关知识点和对应题型的解答。

应该说考研数学最简单的部分就是线性代数，其计算都是初等的，小学生都会，但这部分的难点就在于概念非常多而且相互联系，线代贯穿的主线就是求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。

同时从考试内容来看，考的内容基本类似，可以说是最死的部分，这几年出的考试题实际上就是以前考题的翻版，仔细研究一下以前考题对大家是最有好处的。

2015年数学二线代大题1. 计算题(1)已知正整数 $a$ 和 $b$ 满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{18}$，求 $a+b$ 的值。

解：两边同乘 $18ab$，得 $18b+18a=5ab$。

移项整理可得 $ab-18a-18b=0$。

根据韦达定理，$a,b$ 是 $x^2-18x$ 的两个根，所以 $a+b=18$。

答案：$a+b=18$。

(2)已知函数 $f(x)=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)$，求$f(2015)$。

解：$$\begin{aligned}f(x)&=\log_2\left(\dfrac{2^x+1}{2^x-1}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^x-1)+2}{(2^x-1)-1}\right)\\&=\log_2\left(1+\dfrac{2}{2^x-1}\right)=\log_2\left(1+\dfrac{1}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{x-1}+\frac{1}{2}}{2^{x-1}-\frac{1}{2}}\right)=\log_2\left(\dfrac{(2^{x-1}+\frac{1}{2})^2}{(2^{x-1}-\frac{1}{2})(2^{x-1}+\frac{1}{2})}\right)\\&=\log_2\left(\dfrac{2^{2x-2}+2^{x-1}+\frac{1}{4}}{2^{2x-2}-\frac{1}{4}}\right)=2-\log_2\left(2^{2x-2}-\frac{1}{4}\right)\end{aligned}$$因为 $2014=2^1+2^2+\cdots+2^{10}$，所以$2^{2014}=2^{2^1}\times2^{2^2}\times\cdots\times2^{2^{10}}$。

2015考研数学真题主观题解析：线性代数
店铺考研数学频道讯：2015考研数学真题主观题解析：线性代数
2015考研数学真题主观题解析：线性代数
对于线性代数⽽⾔，数⼀、数⼆、数三所考知识点仅有⼀处是不⼀样的，数⼀要考向量空间这⼀部分的内容，包括向量空间的概念，基的概念，向量空间的及变换和坐标变换，过渡矩阵。

然⽽对于数⼆和数三是不考的。

⽽对于这个个别⼩点，在2015考研数学的考题中的主观题出现了。

【分析】此题考查的是3维向量空间基的概念及即在不同基下的坐标相同时，转化为⽅程组的求解。

此类型的题⽬在往年真题中解答题中出现的频率⽐较低。

若基础扎实，作为⼀个⼤纲要求的个别考点，认真对待和备考的话，此题没难度，问题不⼤。

若平时复习时对此块内容关注不多的话，则此题估计做的就不好。

从主观题的这三题来看，难度也都不⼤，⽐去年的题⽬要简单，不管是逻辑思维上，还是在计算量上，都⽐去年的难度⼩。

然⽽在数⼀中出现向量空间的⼤题，是令我们出乎意料的，这在历年真题中也是极其罕见的，往年⼀般是出⼀道⼩题。

这给要参加2016考研的同学⼀个警⽰：全⾯复习所有考点，打好基础，掌握基本题型和基本⽅法，这样在考试中才会旗开得胜。

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推荐阅读:。

2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。

在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。

线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。

其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。

所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。

今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.第一章行列式是整个线性代数的基础。

复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。

对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。

有的同学说，我看不明白，那可以不看。

计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。

在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。

关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。

考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。

行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。

数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。

其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。

计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。

数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。

例如2012年在解答题第（I ）问中直接计算四阶行列式，第（II ）问考查线性方程组。

2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。

抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。

抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。

2015考研数学线性代数真题解析[摘要]2015年考研结束后，凯程考研不断的为大家整理各类真题，按题型、考点、科目等进行剖析，希望能帮助大家更好的复习！2015考研刚刚结束，在这里首先祝福各位考生金榜题名!根据今年考研真题，凯程考研数学名师李擂为2016考研的学子介绍一下真题中线性代数的出题特点，以便大家在接下来的复习中能够更好的把握线性代数的复习方法。

从真题上可以看出，对基本概念、基本性质和基本方法的考查才是考研数学的重点。

下面以真题中的几道题目为例，例如：数学三第13题，考查的内容就是特征值的基本运算性质，如果考生能够掌握特征值之积等于行列式的值，那么该题很容易求解;数学三第5题，考查的内容是非齐次线性方程组解的判定，如果考生能够清楚的知道非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件为r(A)=r(A,b)针对以上特点，老师建议各位2016考研的学子在进行线性代数复习时，一定要注重基本概念、基本性质和基本方法的复习。

很多考生由于对这些基础内容掌握不够牢固，理解不够透彻，导致许多失分现象，这一点在线性代数这个模块上体现的更加明显。

比如，线性代数中经常涉及到的基本概念，余子式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性表示，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，特征值与特征向量，矩阵相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定矩阵与正定二次型，合同变换与合同矩阵等等，这些概念必须理解清楚。

对于线性代数中的基本运算，行列式的计算(数值型、抽象型)，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关性的判定，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量，判断矩阵是否可以相似对角化，求相似对角矩阵，用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵，用正交变换化二次型为标准形等等。

一定要注意总结这些基本运算的运算方法。