因式分解与分式方程

初中数学因式分解的几种经典技巧初中数学因式分解的几种经典方法因式分解是初中数学的一个重点，涉及到分式方程和一元二次方程，因此学会一些基本的因式分解方法非常必要。

下面列举了九种方法，希望对大家的研究有所帮助。

1.提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。

例如，对于方程2x-3x=0，可以进行如下因式分解：x(2x-3)=0，得到x=0或x=3/2.一个规律是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式，这对我们后面的研究有帮助。

2.公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有完全平方公式、平方差公式等。

建议在使用公式法前先提取公因式。

例如，对于x^2-4，可以使用平方差公式得到(x+2)(x-2)。

3.十字相乘法是做竞赛题的基本方法，但掌握了这个方法后，做平时的题目也会很轻松。

关键是将二次项系数a分解成两个因数a1和a2的积a1.a2，将常数项c分解成两个因数c1和c2的积c1.c2，并使ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果。

例如，对于2x^2-7x+3，可以使用十字相乘法得到(x-3)(2x-1)。

总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1.a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1.c2，那么可以使用十字相乘法进行因式分解。

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改写后的文章如下：分解因式是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。

在中学数学中，我们通常研究到七种分解因式的方法。

1.公因数法这种方法是最基础的方法之一，它的核心思想是找到表达式中的公因数。

例如，对于表达式6x+9y，我们可以找到它们的公因数3，然后将表达式简化为3(2x+3y)。

2.公式法公式法是通过运用数学公式来分解因式。

例如，对于二次三项式ax2+bx+c，我们可以使用求根公式来求出它的两个根，然后将表达式分解为(a(x-根1)(x-根2))的形式。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x a b x a c xa xm m m m 2213 （2）a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x a b xa c x a x a x a x b x c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a a b b a ()()()-+---32222 )243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯==⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x yx y x x y +-++的值。

新人教版八年级数学上册知识点总结（上）（含思维导图）因式分解：1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数，用x、y、z等表示未知数.14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0的平方根还是0；（3）负数没有平方根.8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线. 15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.附思维导图：.谢谢观看! 欢迎您的下载，资料仅供参考,如有雷同纯属意外。

个性化教学辅导教案学科: 数学任课教师：讲课时刻（6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a pp ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

二、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

1.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0； 分式无意义的条件：分式的分母等于0。

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（），其中A 、B 、C 是整式注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C ；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

4..分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

5.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项 式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析： 方法一 因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二 前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析： 解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析： 设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】 已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=， 解得23m =-. 故选C.考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值. 令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+ ()()21130x x x m =-++ ()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

因式分解、分式复习一、知识梳理知识点一 因式分解1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；3．分解因式的步骤：（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4．分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）A ．3x －2与 6x 2－4x B.3（a －b ）2与11（b －a ）3C ．mx —my 与 ny —nxD ．ab —ac 与 ab —bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） 3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）22222222.949 .949.949 .(949)A x y B x y C x y D x y ---+-+4. 分解因式：x 2+2xy+y 2－4 =_____5. 分解因式：（1）()229=n ；()222=a（2）22x y -= ；（3）22259x y -= ； （4）22()4()a b a b +--；（5）以上三题用了 公式222222.1(1)(1) ;.14(12)(12).8164(98)(98);.(2)(2)(2)A x x x B y y y C x y x y x y D y x y x y x -=+--=+--=+---=-+-【经典考题剖析】 例 1. 分解因式：（1）33x y xy -；（2）3231827x x x -+；（3）()211x x ---；（4）()()2342x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。

基础内容： 1因式分解 2分式的综合运算 及分式方程的训练解题 及重要概念3不等式或不等式组的解法及双向应用一、因式分解的检测与补救1 3x 3ay 4z n+1与6xy 2z n 的公因式为2 (x-1)(x 2-1)与x 2+2x-3的公因式为 ;3 x 2+mxy+9y 2是完全平方式则m=4 x 2-24xy+m 是完全平方式则m=5 若2x 2-24x+m 有一个因式为x-1则m=6、△ABC 的三边满足a 2-2bc=c 2-2ab ，则△ABC 是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、等边三角形D 、锐角三角形7、已知2x 2-3xy+y 2=0（xy ≠0），则x y +y x的值是 8 给下列各式分解因式(1) 2xy-x 2-y 2+1 (2) ma+nb+mb+na (3) 21372+--x x (4) ab 2x 2-2ab 2xy+ab 2y 2(5) 2324--x x (6) 37622--ab b a (7) m 2n 3b n+2 - n 3m 2a n+2 (8) x 2-6x-72(9) 9p-6p(m+n)+p(m+n)2 (10) 32286y xy y x -+-（11）(a-2b)2+3a-6b-10 （12）（x 2+3x-3）（x 2+3x+4）-8（13）．1n n 1n a 41a a -++-(n 是大于1的自然数) （14）2244c a a -+-（15）2224)1(a a -+9 计算 (1)34×1.78+25×1.78+41×1.78 (2) (4mn-m 2-4n 2)÷(2n-m)（3）（x 2-7xy+12y 2）÷（x-3） （4）(x 3+6x 2+11x+6）÷（x+3） 10 解方程（1）x 3 = x （2）x 3+x=6x 2+6(3) 14x 2+5x-1=0 (4) x 3+x=2x 2+211 思考题（1）已知的值 求　ab b a b a 2122=+=+，的值2)(b a -； 的值44b a + （2）已知，a 2 +b 2+4a-12b=-40求（1）a ，b 的值（2）a 2+b 2的值(3)证明： 2a 2 -4a+3 恒正 （用配方法）12．若5mx x 2-+能在有理数范围内分解成两个一次因式的积，则m=_________ 13 已知2kx x 4-+有因式1x x 2--，求k 的值和另一个因式14、设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数一基础知识知识点回顾：1、分式的定义： 。

分式方程的解法分式方程是数学中常见的一种方程形式，它在实际问题求解中有着广泛的应用。

解决分式方程可以通过一系列的步骤来进行，本文将介绍几种常用的解法。

一、通分法通分法是解决一般分式方程的常用方法。

其基本思想是通过对方程两边进行通分，将方程转化为含有整式的方程，然后再求解。

例如，考虑如下分式方程：$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}=\frac{5}{x+2}$$首先，可以将方程两边的分式通过公倍数通分，得到：$$\frac{x(x+1)}{x(x+1)}+\frac{2x(x+1)}{x(x+1)}=\frac{5x(x+1)}{x(x +1)}$$整理方程得：$$x(x+1)+2x(x+1)=5x(x+1)$$继续化简得：$$x^2+x+2x^2+2x=5x^2+5x$$合并同类项得：$$3x^2+3x=5x^2+5x$$移项得：$$5x^2+2x^2=3x+5x$$合并同类项得：$$7x^2=8x$$最后，将方程转化为标准形式：$$7x^2-8x=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。

二、代换法代换法是解决分式方程的另一种有效方法。

其基本思想是通过进行适当的代换，将分式方程转化为含有整式的方程，然后求解。

例如，考虑如下分式方程：$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{2x-3}{x-1}=1$$首先，可以假设一个新的变量$t=x-1$，通过代换得到：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2(t+2)}{t}=1$$继续整理得：$$\frac{t}{t+3}-\frac{2t+4}{t}=1$$通分得：$$\frac{t-t(t+3)}{t(t+3)}=\frac{t}{t+3}-2$$进一步化简得：$$\frac{-t^2-3t}{t(t+3)}=\frac{t-2(t+3)}{t+3}$$消去分母得：$$-t^2-3t=t-2(t+3)$$继续整理得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$合并同类项得：$$-t^2-3t=t-2t-6$$移项得：$$-t^2-5t+6=0$$通过因式分解或求根公式，可以求得方程的解。

龙文教育学科教师辅导讲义课 题因式分解，分式教学内容专题一、因式分解一、因式分解的意义：因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式注意：①结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式；②因式分解与整式的乘法在运算过程上是完全相反的。

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．1)1)(1(2-=-+x x xB ．))(())((m n a b n m b a --=--C ．)1)(1(1--=+--b a b a abD ．)32(322mm m m m --=-- 二、因式分解的方法类型一、提公因式法提公因式时应注意：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正； ⑵公因式的系数和字母应分别考虑：①系数是各项系数的最大公约数； ②字母是各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）A ．)5(522x x y y xy y x +=-+B ．2)()()()(c b a c a b c b a c b c b a a ---=+-++-+--C ．)1)(2()2()2(2--=-+-x a x a x a xD ．)12(2422232--=--b b ab ab ab ab 例02．把y x y x y x 3234268-+-分解因式的结果为 。

例03．分解因式：323)(24)(18)(6x y x y y x ---+--.说明：⑴观察题目结构特征 ⑵对于)(y x -与)(x y -的符号有下面的关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=---=- 3322)()(,)()(),(x y y x x y y x x y y x例04．解方程：0)2313)(21(6)1823)(612(=-++-+x x x x例05．不解方程组⎩⎨⎧=+=-,134,32n m n m 求：32)2(2)2(5m n n m n ---的值.类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。