2021届北京市石景山区高三下学期一模考试数学试卷及解析

高考数学模拟试题本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合}0|{≥=x x A ，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A ．}2,1{B ．}1|{≤x xC ．}1,0,1{-D ． R 2．在极坐标系中，圆2ρ=被直线sin 1ρθ= 截得的弦长为（ ）AB ．2 C． D ．33．执行如右图的程序框图，若输出的48S =， 则输入k 的值可以为 （ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在0+∞（，）上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．二项式621(2)x x +的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{}n a 中，11,m k a a k m==()m k ≠，则该数列前mk 项之和为（ ） A ．12mk - B ．2mkC ．12mk +D ．12mk + 7．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）② ③ ④A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率215+=e ，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题： ①双曲线115222=--y x 是黄金双曲线； ②双曲线115222=+-x y 是黄金双曲线；③在双曲线22221x y a b-=中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1 B 1 A 290=︒,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线22221x y a b-=中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON 120=︒，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z zz ⋅+-=___________．10．如图，AB 是半径等于3的圆O 的直径， CD 是圆O 的弦，BA 、DC 的延长线交于点P ，若PA ＝4，PC ＝5，则∠CBD ＝ ___________．11．设不等式组1,0,20y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆221x y +=内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=xy． 13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的 课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）． 14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}xM x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+． 其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =，且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）a ．b ．c ．ACDE FB下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市3月某时刻实时监测到的数据：(Ⅰ) 求x 的值，（只需写出结果）；(Ⅱ)环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． (Ⅰ)求证：BC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到 直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分13分）已知函数1()ln ,()(0)af x x a xg x a x+=-=->． (Ⅰ)若1a =，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若存在0[1,]x e ∈，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>离心率2e =，短轴长为(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分） 设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③ <<<<<=+1211n n a a a a ．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(Ⅰ)若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； (Ⅱ)设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；(Ⅲ)若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．石景山区高三统一测试数 学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………………3分所以()sin cos)4f παααα=+=+， ………………5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. ………7分 （Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， ………………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2122b =+-，解得1b =. ……………13分 16．（本小题共13分）（Ⅰ）x =82 ………………2分D 东部<D 西部 ………………4分 （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3． ………………5分1242361(1)5C C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===． …11分ξ∴的分布列为：所以1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥AB ．所以ED ⊥平面ABCD ………………1分 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以ED ⊥BC ． ………………2分 在直角梯形ABCD 中,由已知可得BC 2=8，BD 2=8，CD 2=16，所以，CD 2=BC 2+BD 2，所以，BD ⊥BC ……………4分又因为EDBD=D ，所以BC ⊥平面BDE ． ……………5分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D -xyz ……6分 则()()()()(0,0,02,0,0,0,0,2,2,2,0,D A E B F ()()2,0,0,2,2,2EF EB ==-…………7分设()0,,P y z ，则y z =令(),,n x y z '''=是平面BEF 的一个法向量，则0n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以202220x x y z '=⎧⎨'''+-=⎩，令1y '=，得011x y z '=⎧⎪'=⎨⎪'=⎩所以()0,1,1n = …………9分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30， 所以AP 与(0,1,1)n =所成的角为60或120所以1cos ,24AP n AP n AP n⋅<>===⋅………11分所以22440(*)y z yz ++-=又因为y z =，所以y z =或y z =-………12分 当y z =-时，（*）式无解 当y z =时，解得：3y z ==±………13分所以，P 或(0,P --. ………14分 18.（本小题共13分）（Ⅰ）()ln f x x a x =-的定义域为(0,)+∞． ………1分 当1a =时，1()x f x x-'=． ………2分 由()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减； 当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增；所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，极小值为(1)1ln11f =-=； ……..4分 （Ⅱ）1()()()ln ah x f x g x x a x x+=-=-+，其定义域为(0,)+∞． 又222(1)(1)[(1)]()x ax a x x a h x x x--++-+'==． …………..6分 由0a >可得10a +>，在(0,1)x a ∈+上()0h x '<，在(1,)x a ∈++∞上()0h x '>， 所以()h x 的递减区间为(0,1)a +；递增区间为(1,)a ++∞． ……..……7分 （III ）若在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，即在[1,]e 上存在一点0x ，使得0()0h x <．即()h x 在[1,]e 上的最小值小于零． …8分 ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，由（II ）可知()h x 在[1,]e 上单调递减． 故()h x 在[1,]e 上的最小值为()h e ，由1()0a h e e a e+=+-<，可得211e a e +>-． ………9分因为2111e e e +>--．所以211e a e +>-； ………10分 ②当11a e <+<，即01a e <<-时，由（II ）可知()h x 在(1,1)+a 上单调递减，在(1,)a e +上单调递增．()h x 在[1,]e 上最小值为(1)2ln(1)h a +a a a +=-+． ………11分因为0ln(1)1a <+<，所以0ln(1)a a a <+<．2ln(1)2+a a a ∴-+>，即(1)2h a +>不满足题意，舍去． …………12分综上所述:a ∈21(,)1e e ++∞-． ………13分19．（本小题共14分） （Ⅰ）由短轴长为，得b =………………1分由c e a ===224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴220220x x y y y ++-=， ………………12分令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）1,4,7 ……………………3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==……………………4分 当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==……………………5分 当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b ……………………6分 当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b ……………………7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b……………………8分（III ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ ……………………9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时：221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+……………………11分 当*2()m t t N =∈时：2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+……………………12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩……………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2021年北京市石景山区高三3月统一测试（一模）理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合}0|{≥=x x A ，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A ．}2,1{ B ．}1|{≤x x C ．}1,0,1{- D ． R 2．在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（ ） A ．√3 B ．2 C ．2√3 D ．33．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．44．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 5．二项式621(2)x x+的展开式中，常数项的值是（ ） A ．240 B ．60 C ．192 D ．1806．等差数列{a n }中，a m =1k ,a k =1m (m ≠k )，则该数列前mk 项之和为（ ）A ．mk 2−1 B ．mk 2C ．mk+12D ．mk 2+17．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A ．①和②B ．③和①C ．③和④D ．④和② 8．如果双曲线的离心率，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线是黄金双曲线；③在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中， F 1为左焦点， A 2为右顶点， B 1（0，b ），若∠F 1B 1A 2=90°,则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线x 2a −y 2b =1中，过焦点F 2作实轴的垂线交双曲线于M 、N 两点，O 为坐标原点，若∠MON =120°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④二、填空题9．1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=___________．10．如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ,CD 的延长线交于点P ，若PA =4，PD =5，则∠CBD = .xy ．． 1 1O ． ． ． ． z212211．设不等式组{y ≤1,x +y ≥0,x −y −2≤0 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点M ，则点M 落在圆x 2+y 2=1内的概率为___________．12．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则=x y．13．若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法．．有 种（用数字作答）．14．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①1{(,)|}M x y y x==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“垂直对点集”的序号是 ．三、解答题15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.（Ⅰ）求函数()f α的值域；（Ⅱ）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C =且a =1c =，求b .16．（本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市2021年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x 的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI 数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 17．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．18．（本小题满分12分）已知函数f(x)=x −alnx ，g(x)=−1+a x (a ∈R)．（Ⅰ）若a =1，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，求函数ℎ(x)的单调区间；（Ⅲ）若在区间[1,e] ( e =2.71828......)上不存在x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率e =√22，短轴长为2√2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ） 如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．20．（本小题满分13分）设数列{}n a 满足： ①11a =；②所有项*N a n ∈；③1211......n n a a a a +=<<<<<．设集合{},*m n A n|a m m N =≤∈，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值．我们称数列{}n b 为数{}n a 的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{}n a 的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{}n a ； （Ⅱ）设13n n a -=，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前30项之和；（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2n S n c =+（其中c 常数），求数列{}n a 的伴随数列{}m b 的前m 项和m T ．参考答案1．A 【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆,故选A . 考点：1.集合的包含关系；2.集合的基本运算. 2．C 【解析】试题分析：在平面直角坐标系中，圆ρ=2即x 2+y 2=4，直线ρsinθ=1即y =1，所以直线被圆截得的弦长为2√22−12=2√3.故选C . 考点：1.极坐标；2.直线与圆的位置关系. 3．C 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k ，故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5．A【解析】试题分析：二项式621(2)x x +展开式的通项为666216621C (2)()2C r r r r r r r T x x x---+==，令620,r -=得2r =，所以常数项为6226652C 1624021-⨯=⨯=⨯，选A .考点：二项式定理. 6．C 【解析】试题分析：设公差为d,由已知d =1k −1mm−k =1mk ,a 1=a k −(k −1)d =1m −(k −1)⋅1mk =1mk ,所以，S mk =mka 1+mk(mk−1)2d =mk ⋅1mk +mk(mk−1)2⋅1mk =mk+12,选C .考点：等差数列及其求和公式. 7．D 【解析】试题分析：如图所示，根据给定点的坐标，描出各点，得到四面体ABCD ，其中面BCD ⊥平面xoy ，面BCD ⊥平面,//yoz AD 平面xoy .所以，由三视图画图规则，其正视图、俯视图分别为④、②，选D .考点：1.空间直角坐标系；2.三视图. 8．B 【解析】试题分析：双曲线的离心率为e =√1+b 2a 2=√1+√5−12=√√5+12，所以①不正确；双曲线的离心率为e =√1+b 2a 2=√1+√5+121=√6+2√54=√(√5+1)24=√5+12②正确；故结合选项，可排除A,C,D .选B .考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系.9．【解析】试题分析：因为1z i=+，所以，z 1i =-，1z z z ⋅+-=(1)(1)|1|1211i i i +-+--=+=.考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算. 10．∠CBD =π6. 【解析】试题分析：由割线定理知PA ⋅PB =PC ⋅PD ⇒PC =8，，ΔCOD 为正三角形，，由圆的性质，圆周角等于圆心角的一半，得∠CBD =π6. 考点：割线定理、圆的性质. 11．π8【解析】试题分析：画出可行域及圆x 2+y 2=1（如图）.可行域恰为等腰直角三角形，由{y =1x +y =0解得x =−1,y =1.计算点(−1,1)到直线x −y −2=0的距离得，√12+(−1)2=2√2,所以可行域面积为12×2√2×2√2=4，而圆x 2+y 2=1在可行域内恰为半圆，面积为域为π2，故点M 落在区域D 内的概率为π24=π8.考点：1.简单线性规划；2.几何概型；3.直线交点及距离公式. 12．112【解析】试题分析：设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c xa yb x y R =+∈得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，=x y 112. 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量基本定理. 13．180 【解析】试题分析：由题意知，甲乙两人从6门课程中各选修3门总的方法数是3366400C C =,其中甲乙所选课程全不相同，有336320C C =；甲乙所选课程有一门相同，有122653180C C C =；甲乙所选课程有三门相同，有3620C =；所以，甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有：4002018020180.---=考点：1.分类计数原理；2.简单组合问题. 14．③④ 【解析】试题分析：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①1{()|}M x y y x==，，假设集合M 是“垂直对点集”，则存在两点121211()()x x x x ，，，，满足1212111x x x x ⋅=-，化为22121x x ⋅=-，无解，因此假设不成立，即集合M 不是“垂直对点集”;②2{()|log }(0)M x y y x x ==>，，，取(10)，，则不存在点2222(log )(0)x x x >，，满足2100x ⨯+=，因此集合M 不是“垂直对点集”；③{()|2}xM x y y e ==-，，结合图象可知：集合M 是“垂直对点集”；④{}()|sin 1M x y y x ==+，，结合图象可知：集合M 是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”． 故答案为③④．考点：点到直线的距离公式．【思路点睛】本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 15．（Ⅰ）()f α∈. （Ⅱ）1b =.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=，从而可得()sin cos )4f παααα=+=+，根据3(,)444πππα+∈，即得解；（Ⅱ）由()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，得到4C π=，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，计算即得. 试题解析：（Ⅰ）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， 3分所以()sin cos )4f παααα=+=+， 5分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()f α∈. 7分（Ⅱ）因为()sin()4f C C π=+= (0,)2C π∈，所以4C π=， 9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-，解得1b =. 13分 考点：1.单位圆；2.两角和与差的三角函数；3.三角函数的图象和性质；4.余弦定理的应用. 16．（Ⅰ）x =82，D 东部<D 西部 ； （Ⅱ）ξ的分布列为：Eξ=1×15+2×35+3×15=2． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据表格计算得到x =82，比较可得D 东部<D 西部； （Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． ξ的所有可能取值为：1, 2, 3．计算P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15,P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35，P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15． 即得∴ξ的分布列为及数学期望．试题解析：（Ⅰ）x =822分 D 东部<D 西部 4分（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个． 根据题意ξ的所有可能取值为：1, 2, 3． 5分 ∵P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15,P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35，P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15． 11分∴ξ的分布列为：所以Eξ=1×15+2×35+3×15=2． 13分考点：1.随机变量的分布列及其数学期望;2.频率分布表. 17．（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）P(0,√63,√63)或P(0, −√63, −√63). 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设平面ADEF ⊥平面ABCD 及正方形ADEF 可知ED ⊥平面ABCD ，所以ED ⊥BC因此要证BC ⊥平面BDE ，只要用勾股定理证明BD ⊥BC 即可；也可以利用DE,DA,DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证明；（Ⅱ）利用DE,DA,DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)是平面BEF 的一个法向量，则由{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅Eb ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 求出向量n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点P 的坐标． 试题解析： （Ⅰ）解法一：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 1分 又因为BC ⊂平面ABCD 所以ED ⊥BC 2分 在直角梯形ABCD 中BC 2=22+22=8,BD 2=AB 2+AD 2=22+22=8,CD 2=42=16所以，CD 2=BC 2+BD 23分 所以，BD ⊥BC 4分 又因为ED ∩BD =D所以BC ⊥平面BDE ． 5分 解法二：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 1分 所以DE,DA,DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA,DC,DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D −xyz则D(0,0,0),E(0,0,2),B(2,2,0),C(0,4,0) BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)2分 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =03分 所以，BC ⊥DE,BC ⊥DB 4分 又因为ED ∩BD =D 所以BC ⊥平面BDE ． 5分（Ⅱ）因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,ED ⊥AB 所以ED ⊥平面ABCD 所以DE,DA,DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线DA,DC,DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz则D(0,0,0)A(2,0,0),E(0,0,2),B(2,2,0),F(2,0,2) EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)6分 设P(0,y,z)，则|y|=|z|令n ⃗ =(x ′,y ′,z ′)是平面BEF 的一个法向量，则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅Eb ⃗⃗⃗⃗⃗ =0所以{2x ′=02x ′+2y ′−2z ′=0，令y ′=1，得{x ′=0y ′=1z ′=1 所以n ⃗ =(0,1,1)8分因为AP 与平面BEF 所成的角等于30∘， 所以AP 与n ⃗ =(0,1,1)所成的角为60∘或120∘ 所以|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√4+y 2+z 2⋅√2=1210分所以y 2+z 2+4yz −4=0⋯⋯⋯(∗) 又因为|y|=|z|，所以y =z 或y =−z 11分 当y =−z 时，（*）式无解 当y =z 时，解得：y =z =±√6312分 所以，P(0,√63,√63)或P(0,−√63,−√63)13分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间向量在立体几何中的应用． 18．(Ⅰ)f(x)的极小值为f(1)=1(Ⅱ)ℎ(x)在(0,1+a)上递减，在(1+a,+∞)上递增 (Ⅲ)−2≤a ≤e 2+1e−1【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，最后根据符号变化规律确定极值（2）先求导数，再因式分解，根据因子符号确定函数单调区间（3）先求命题的否定：区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立，转化为对应函数最值当x∈[1,e]时，ℎ(x)min<0，再根据函数单调性确定函数最值，即得实数a的取值范围.最后根据补集得满足条件的实数a的取值范围.试题解析：（I）当a=1时，f(x)=x−ln x⇒f′(x)=x−1x>0⇒x>1，列极值分布表∴f(x)在（0,1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴f(x)的极小值为f(1)=1；（II）ℎ(x)=x−a ln x+1+ax ∴ℎ′(x)=(x+1)[x−(1+a)]x2①当a≤−1时，ℎ′(x)>0,∴ℎ(x)在（0，+∞）上递增；②当a>−1时，ℎ′(x)>0⇒x>1+a，∴ℎ(x)在（0,1+a）上递减，在(1+a,+∞)上递增；（III）先解区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)<0在[1,e]上有解⇔当x∈[1,e]时，ℎ(x)min<0由（II）知①当a≤−1时，ℎ(x)在[1,e]上递增，∴ℎmin=ℎ(1)=2+a<0⇒a<−2∴a<−2②当a>−1时，ℎ(x)在（0,1+a）上递减，在(1+a,+∞)上递增当−1<a≤0时，ℎ(x)在[1,e]上递增，∴ℎmin=ℎ(1)=2+a<0⇒a<−2∴a无解当a≥e−1时，ℎ(x)在[1,e]上递减∴ℎmin=ℎ(e)=e−a+1+ae ⟨0⇒a⟩e2+1e−1，∴a>e2+1e−1；当0<a<e−1时，ℎ(x)在[1,1+a]上递减，在(1+a,e)上递增∴ℎmin=ℎ(1+a)=2+a−a ln(1+a)令F(a)=2+a−a ln(1+a)a =2a+1−ln(1+a)，则F′(a)=−2a2−11+a<0∴F(a)在(0,e−1)递减，∴F(a)>F(e−1)=2e−1>0，∴F(a)<0无解，即ℎmin=2+a−a ln(1+a)<0无解；综上：存在一点x0,使得f(x0)<g(x0)成立，实数a的取值范围为：a<−2或a>e2+1e−1.所以不存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，实数a的取值范围为.点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集ϕ的对立面（如f(x)>m 的解集是空集，则f(x)≤m 恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a 恒成立⇔a >f(x)max ，f(x)>a 恒成立⇔a <f(x)min . 19．（Ⅰ）x 24+y 22=1．（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)．证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由短轴长为2√2，得b =√2，由e =c a=√a 2−b 2a=√22，得a 2=4,b 2=2．（Ⅱ）设P(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0)，则有x 02+2y 02=4，从而直线PA 方程y =y 0x 0+2(x +2)，得到M(0,2y 0x0+2)，由直线QA 方程y =y 0x 0−2(x +2)，得到N(0,2y 0x 0−2)，以MN 为直径的圆x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0， 根据x 02−4=−2y 02，得到x 2+y 2+2x 0y 0y −2=0，令y =0，解得x =±√2即知以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 试题解析：（Ⅰ）由短轴长为2√2，得b =√2， 1分 由e =ca =√a 2−b 2a=√22，得a 2=4,b 2=2． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1． 4分（Ⅱ）以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 5分 证明如下：设P(x 0,y 0)，则Q(−x 0,−y 0)，且x 024+y 022=1，即x 02+2y 02=4，∵A(−2,0)，∴直线PA 方程为：y =y 0x 0+2(x +2)，∴M(0,2y 0x0+2)6分直线QA 方程为：y =y 0x−2(x +2)，∴N(0,2y 0x 0−2)， 7分以MN 为直径的圆为(x −0)(x −0)+(y −2y 0x 0+2)(y −2y 0x 0−2)=010分【或通过求得圆心O ′(0,2x 0y 0x 02−4)，r =|4y 0x2−4|得到圆的方程】即x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0，∵x 02−4=−2y 02，∴x 2+y 2+2x 0y 0y −2=0， 12分令y =0，则x 2−2=0，解得x =±√2. ∴以MN 为直径的圆过定点F(±√2,0)． 14分考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.圆的方程. 20．（Ⅰ）1,4,7； （Ⅱ）84；（Ⅲ）*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈,2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩.【解析】试题分析：（Ⅰ）1,4,7; （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b 进一步计算即得. （III ）首先由1111a S c ==+=得0c = 当2n ≥时，可得*21()n a n n N =-∈ 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 由使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，得到*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈.当*21()m t t N =-∈时，当*2()m t t N =∈时分别求和即得. 试题解析：（Ⅰ）1,4,7； 3分 （Ⅱ）由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m N ≤+∈当*12,m m N ≤≤∈时，121b b ==4分当*38,m m N ≤≤∈时，3482b b b ==⋅⋅⋅==5分当*∈≤≤N m m ,269时，326109==⋅⋅⋅==b b b6分当*∈≤≤N m m ,3027时，430292827====b b b b7分∴844418362213021=⨯+⨯+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++b b b8分（Ⅲ）∵1111a S c ==+= ∴0c = 当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-∴ *21()n a n n N =-∈ 9分 由21n a n m =-≤得：*1()2m n m N +≤∈ 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*12342121,2,,()t t b b b b b b t t N -====⋅⋅⋅==∈当*21()m t t N =-∈时： 221(1)12(1)(1)24m t T t t t m +-=⋅⋅-+==+11分 当*2()m t t N =∈时： 2112(2)24m t T t t t m m +=⋅⋅=+=+12分 所以2**(1)(21,)4(2)(2,)4m m m t t N T m m m t t N ⎧+=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩13分考点：1.数列的求和；2.新定义；3.数列的通项；4.不等式恒成立问题.。

北京市石景山区2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A ．63B ．34C ．12D ．32【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得322x a b y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,22b B a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c ，所以3,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，3,2b CF c a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以22222223333102244442b a c BF CF c a c a c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+-+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以63c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.2．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=u u u r u u u r u u u r（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+【答案】B 【解析】 【分析】连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，C Q ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=所以四边形AODC 为棱形，1cos 1212AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g g∴()11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g2122AC AB AB =+u u u r u u u r u u u r g ．2121242=⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.3．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）A．48 B．60 C．72 D．120【答案】A【解析】【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A=个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A=个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

100测评网2021年北京市石景山区高三统一测试数学（理科一模） 2021年石景山区高三统一测试数学（理科）学生1.本试卷为闭卷考试，八十分成150分后，考试时间为120分钟．须知2.本试卷共10页，第ⅰ卷1-2页，第ⅱ卷3-9页，第10页为草稿纸，各题答案均请问在本题规定的边线．题号分数一二151617三181920总分第ⅰ卷（选择题共40分后）得分评卷人一、选择题：本大题共8小题，每小题5分后，共40分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的．1．已知全集u?{1,2,3,4,5,6,7}，a?{3,4,5}，b?{1,3,6}，那么集合{2,7}是a．abb．a?bc．cu(ab)d．cu(ab)2．函数y?sin(2x?a．6)cos(2xb．6)的最小正周期是c．2?d．?243．未知数列{an}的前n项和sn?n3，则a5?a6的值a．91b．152c．218d．279４．对于两条直线a,b和平面?，若b??，则“a//b”是“a//?”的a．充份但不必要条件b．必要但不充分条件c．充要条件d．既不充份也不必要条件５．用数字0，1，2，3，4组成五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有a．480个2b．240个2c．96个d．48个y2?1的右焦点重合，则p的值为６．若抛物线y?2px的焦点与双曲线x?3a．4b．?4c．2d．?27．若函数f(x)?cos2x?1的图象按向量a平移后，得到的图象关于原点对称，则向量a可以就是a．(1,0)8．设f?x??b．(?2,?1)c．(?4,?1)d．(4,1)1?x，又记f1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,1?x,则f2021(x)?a．1?x1?xb．x?1x?1c．xd．?1x第ⅱ卷（非选择题共110分后）得分评卷人二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．若复数a?3i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值是．1?2i?y?x?10．设变量x、y满足约束条件?x?y?2，则目标函数z?2x?y的取值范围是y3x6．x11．若(2?29)展开式的第7项为42，则lim(x?x2xn)=．n??2??12．设地球半径为r，在北纬45圈上有甲、乙两地，它们的经度差为90，则甲、乙两地间的最长纬线之长为，甲、乙两地的球面距离为．x2(x1)123(1x2)，13．函数f(x)??x则f(?)?________，若f(a)?，则实数a22?2x(x?2)?的取值范围是．14．未知函数y?f(x)和y?g(x)在[?2,2]的图象如下右图：给出下列四个命题：①方程f[g(x)]?0存有且仅有6个根②方程g[f(x)]?0存有且仅有3个根③方程f[f(x)]?0存有且仅有5个根④方程g[g(x)]?0存有且仅有4个根其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、答疑题：本大题共6小题，共80分后．答疑题应写下文字说明，证明过程或编程语言步骤．得分评卷人15．(本题满分13分)未知a为锐角，向量m?(sina,cosa)，n?(3,?1)，且m?n?1．（ⅰ）谋角a的大小；（ⅱ）求函数f(x)?cos2x?4cosasinx(x?r)的值域．罚球评卷人16．（本题满分13分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件存有a、b两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若a项技术指标达标的概率为有且仅有一项技术指标达标的概率为为合格品．（ⅰ）谋一个零件经过检测为合格品的概率；（ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率；（ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设?表示其中合格品的个数，求e?与d?．3，45．按质量检验规定：两项技术指标都合格的零件12。