2020 年全国硕士研究生入学考试 数学一试题

D. (0, 2)
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位置上．
9、
lim[
x0
e
x
1
1
1 ln(1
x)
]
{ 10、设
x t2 1 y ln(t t2 1)
，则
d2y dx2
t 1
11 、 若 函 数 f (x) 满 足 f n (x) af '(x) f (x) 0 (a>0) ， 且 f (0) m ， f '(0) n ， 则
n n 的收敛半径， r 是实数，则（）
n1
A
a
xn
n
发散时，
r
R
n1
B an xn 发散时， r R n1
C r R 时， an xn 发散 n1
D r R 时， an xn 发散 n1
5.若矩阵 A 经初等变换化成 B，则（）
A 存在矩阵 P ，使得 PA B C 存在矩阵 P ，使得 PB A
A lim
0 存在
x, y 0,0
x2 y2
nx, y, f x, y
B lim
0 存在
x, y 0,0
x2 y2
d x, y, f x, y
C lim
0 存在
x, y 0,0
x2 y2
d x, y, f x, y
D lim
0
x, y 0,0
x2 y2
a x 4.设 R 为幂函数
2020 年全国硕士研究生入学考试 数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1. x 0+时，下列无穷小量中最高阶是（）
(e t t x
A
t 2 1)dt
B
x
ln(1
3)dt
C 当 f x 在 x 0 处可导时， lim f (x) 0 。
x0 x
D当
f
x 在 x 0 处可导， lim x0
f (x) x2
0。
3.设函数 f x 在点（0,0）处可微， f (0, 0) 0 ， n (f , f , 1) 非零向量 d 与 n 垂
x y
0,0
直，则（）
nx, y, f x, y
B. a2可由a1，a3线性表示
C. a3可由a1，a2线性表示
D. a1，a2，a3线性无关
7. 设 A, B,C 为 三 个 随 机 事 件 ， 且
P( A) P(B) P(C) 1 , P( AB) 0 P( AC) P(BC) 1 ，则 A, B,C 中恰有一个事件
4
12
发生的概率为
（19）（本题满分 10 分）
设函数 f ( ) 在区间0, 2 上具有连续导数 f (0) f (2) 0 ， M max f (x)
xE(0, 2)
证明：(1) (0, 2) 使得 f ( ) M
（2）若对任意的 x (0, 2) ， f (x) M 则 M 0
（20）（本题满分 11 分）
设二次型
f (x1, x2 ) x12 4x1x2 4x22
经
正
交
变
化
x1 x2
Q
y1 y2
化
为
二
次
型
g ( y1, y2 ) ay12 4 y1 y2 by22 ，其中 a b
（1）求 a, b 的值
（2）求正交变换矩阵 Q
（21）（本题满分 11 分） 设 A 为 2 阶矩阵， P (a, Aa) ，其中 a 是非零向量且不是 A 的特征向量。 （1）证明 P 为可逆矩阵；
（15）（本题满分 10 分）
求函数 x , y x 3 8 y 3 xy 的最大值
（16）（本题满分 10 分）
计算曲线积分
L
4x 4x2
y y2
dx
x y 4x2 y
dy
.其中
L
是
x2
y
2 ，方向为逆时针方向
（17）（本题满分 10 分）
设数列 a n 满足 a1
1 x 1n
B 存在矩阵 P ，使得 BP A D 方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解
6.已知直线
L1：x
a2 a1
y b2 b1
2 c2 c1
与直线L2
:
x
a3 a2
y b3 b2
2 c3 相交于一点 ， c2
ai
法向量 i
bi
,
i
1, 2,3 .则
ci
A. a1可由a2 , a3线性表示
C
sin x
sin
2dt
0
0
0
sin 1cos x
D
3t dt
0
2.设函数 f x 在区间（-1,1）内有定义，且 lim f (x) 0 ，则（） x0
A 当 lim f (x) 0 ， f x 在 x 0 处可导。
x0 x
B 当 lim x0
f (x) x2
0，
f
x在 x
0 处可导。
（2）若 A2a Aa 6a 0 ，求 P1AP ，并判断 A 是否相似于对角矩阵。
（22）（本题满分 11 分）
设随机变量 X1 , X2 , X3 相互独立，其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布， X3 的概率分布为
PX3
0
PX3
1
1 2
，Y
X3X1
(1
X 3 )X 2
。
（1）求二维随机变量 X1,Y 的分布函数。结果用标准正态分布 (x) 表示；
0 f (x)dx
12、设函数 f (x, y)
xy e xt2 dt ，则 2 f
0
xy
(1,11)
a 0 1 1
0 13、行列式
a
1
1
1 1 a 0
1 1 0 a
14、设
x 顺从区间
2
, 2
上的均匀分布， Y
= sin
X
，则 Cov(X ,Y )
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答写出文字说 明、证明过程或演算步骤．
3
A.
4
B. 2 3
1
C.
2
5
D.
12
8.设 x1, x2 ,......, x(n) 为来自总体
X
的简单随机样本，其中 P( X
0)
P(X
1)
1 2
，பைடு நூலகம்( x)
100
表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得 P( X i 55) 的近似值为 i 1
A. 1-(1)
B. (1)
C. 1 (0, 2)
最大似然估计值 。
（2）证明随机变量 Y 服从标准正态分布。
（23）（本题满分 11 分）
设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
F (t) {1
e
(
t
)m
,t
0
0,其它
其中 , m 为参数且大于零。
（1）求概率 PT t 与 PT S t T S ，其中 S 0 , t 0 。
（2）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1 , t2 ,…, tn ，若 m 已知，求 的
1
n
1 2
n
，证明：当
x
1时幂纹数
n xn 收敛，
n1
并求其和函数. （18）（本题满分 10 分）
设 为由面 Z : x2 y2 ( x2 y2 4)的下侧 ， f (x) 是连续函数，计算
I xf (xy) 2x y dydz yf (xy) 2y x dzdx 2 f (xy) 2 dxdy