生成椭圆的五种平面几何条件
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生成椭圆的五种平面几何条件
我们以焦点在x 轴上的椭圆为例探究其产生的主要的平面几何条件： １．由两定点生成椭圆（椭圆的定义）：
椭圆方程
2a +=（220a c >>）． 若动点(,)M x y 到定点1(,0)F c -、2(,0)F c 距离之和为定值2a ，其中
220a c >>，
则动点M 的轨迹是椭圆．根据这个定义，椭圆方程为：
2a =（220a c >>）．
可以进一步导出椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，其中222b a c =-．
２．由一定点与定直线生成椭圆（推导标准方程过程中的副产品）：
c
a x c
=- （0a c >>）． 根据椭圆的定义可知椭圆上的点(,)M x y 满足方程
：
2a =，将左边的一个根式移到右边并两边
平方可
得2a cx -=，可以变形
为
c
a x c
=-
，
表示(,)x y 与2(,0)F c 的距离，2
a x c
-表示(,)x y 与直线
2
a x c =的距离，因此当点(,)M x y 满足椭圆到定点2(,0)F c 与到定直线2a x c =距离之比为定值c a 时，得到点(,)M x y 的轨迹方程为22
221x y a b
+=．
３．用一个圆生成椭圆：
椭圆方程：22()()1x
y a
b
+=(a b ≠)
把22
221x y a b +=变形为22()()1x y a b +=，设椭圆上任意一点00(,)M x y ，则
2200(
)()1x y a b +=，令0x x a =，0y
y b
=，则221x y +=，注意到0x ax =，0y by =，即把圆221x y +=上的点的横坐标变为原来的a 倍，同时纵坐标变为原来的b 倍，其中a b ≠，则得椭圆22
221x y a b
+=．
４．利用两个圆生成椭圆：
椭圆方程： cos ,
sin .x a y b θθ=⎧⎨=⎩
把22
221x y a b
+=变形为22()()1x y a b +=，
联想22cos sin 1θθ+=， 于是利用三角换元cos x a
θ=，
sin y
b
θ=， 即cos x a θ=,sin y b θ=，其中cos x a θ=可以看作圆222x y a +=上点的横坐标，
sin y b θ=可以看作圆222x y b +=上点的横
坐标，于是以两个同心圆为基础可以作出椭圆，作法如下： 如图1，作射线OA 交圆222x y a +=于A ，交圆222x y b +=于B ，过A 作AN x ⊥轴于N ，过B 作BM AN ⊥轴于M ，则M 的坐标为
(cos ,sin )a b θθ，显然M 在椭圆22
221x y a b
+=上．
５．利用两直线的交点生成椭圆：
椭圆方程： 2200y y b x a x a a --⋅=--+，或2
200y b y b b x x a
-+⋅=---
（１） 把22221x y a b +=变形为22221y x b a =-，222
22
y a x b a -=，在x a ≠±的条件下，又可变为22222y b a x a =-，即2
200y y b x a x a a --⋅=--+，这表明椭圆上的
点(,)x y 与长轴端点连线的斜率之比为定值2
2b a -．即当我们过定点
(,0)a 、(,0)a -作两条直线，其斜率之积为2
2b a -时，交点M 在椭圆
22
221x y a b
+=上． （2）把22221x y a b +=变形为22221x y a b =-，22222
x b y a b -=，在0x ≠的条件下，又可变为22222
b b y a x -=，即2
200y b y b b x x a -+⋅=---，这表明椭圆上的点(,)x y 与短轴端点连线的斜率之比为定值2
2b a -．即当我们过定点(0,)b 、(0,)
b -作两条直线，其斜率之积为22b a -时，交点M 在椭圆22
221x y a b
+=上．。
