第3章 平稳时间序列分析(1)

第3章 平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。

本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。

计划课时：21（讲授16课时，上机3课时、习题3课时） 教学方法与手段：课堂讲授与上机操作§3.1 方法性工具一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。

在统计上，我么通常是建立一个线性模型来拟合该序列的发展，借此提取该序列中的有用信息。

ARMA(auto regression moving average)模型是目前最常用的一个平稳序列拟合模型。

时间序列分析中一些常用的方法性工具可以使我们的模型表达和序列分析更加简洁、方便。

一、差分运算 （一）p 阶差分相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算。

记▽t x 为t x 的1阶差分：▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2t x 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。

记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分相距k 期的两个序列值之间的减法运算称为k 步差分运算。

记▽k t x 为t x 的k 步差分：▽k =k t t x x --例：简单的序列：t x ：6，9，15，43，8，17，20，38，4，10，10,,1t =1阶差分：▽3x x x 122=-= ▽6x x x 233==-=……▽6x x x 91010=-=，即1阶差分序列▽t x ：3，6，28，-35，9，3，18，-34，6，10,,2t =2阶差分：▽23x =▽3x -▽2x =3▽24x =▽4x -▽3x =22……▽210x =▽10x -▽9x =-40即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t =2步差分：▽29x x x 133=-=▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨去了一个时刻。

记B 为延迟算子，有t 1t Bx x =- t 22t x B x =-……t p p t x B x =-（二）性质 1.1B 0= 2.n -t t n x x B =3.若c 为任一常数，有1-t t t x c )cB(x )x B(c ⋅==⋅4.对任意两个序列{}t x 和{}t y ，有1t 1-t t t t t y x )B(y )B(x )y B(x -±=±=±5.∑=-=-ni i i n n nB C )1()B 1(，其中)!i n (!i !n C i n -=（三）用延迟算子表示差分运算 1.p 阶差分t x =t x ∑=-=pi i i p p t pB C )1(x B)-(1例如上例中，因此，15-18+6=3 43-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=-- 三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA 模型都是一个现象差分方程。

因此，ARMA 模型的性质往往取决于差分方程的性质。

为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。

常系数微分方程是描述连续时间系统的动态性工具，相应的，描述离散型时间系统的主要工具就是常系数差分方程。

（一）线性差分方程的定义定义：称如下形式的方程为序列{} 2,1,,0t ,z t ±±=的线性差分方程：)t (h z z z z p t p 2t 21t 1t =++++---ααα（1）式中，p 21,,,;1p ααα ≥为实数；)t (h 为t 的已知函数。

特别地，若0)t (h =，则差分方程z z z z p t p 2t 21t 1t =++++---ααα（2）称为齐次线性差分方程。

否则，成为非齐次线性差分方程。

（一） 齐次线性差分方程的解 设,带入齐次线性差分方程（2）得，，方程两边同除以，得特征方程（3）这是一个一元p 次方程，应该至少有p 个非零实根，称这p 个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。

1、 为p 个不同的实根，（2）的解为，为任意常数。

2、 中有相同实根。

假设为d 个相同实根，为不同实根，则（2）的解为，为任意常数。

3、中有复根（自己看）（三）非齐次线性差分方程的解线性差分方程（1）的解是齐次线性差分方程（2）的通解+非齐次线性差分方程（1）的一个特解构成。

例1、求解以下线性差分方程设代人得，同除以得，得所以，齐次方程的通解为=例2、求解以下线性差分方程(1)、求齐次方程的通解设代人得，同除以得，得所以，齐次方程的通解为=(2)、求非齐次方程的特解（非唯一，求解方式可多种，只要找到一个解满足方程即可）设代入原方程得：2c=9,c=9/2， 即为原方程的一个特解（3）、所以原方程的解四、时间序列模型与线性差分方程（意义）线性差分方程在实际序列分析中有重要的应用，常用的时序模型和某些模型自协方差函数合自相关系数都可以视为线性差分方程，而线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有非常重要的意义。

§3.2 ARMA 模型的性质一、AR 模型 （一）定义：具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(P)：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∀=≠===≠+++++=---t s 0,)x E(t s ,0)(Cov ,)Var(0,)(E 0x x x x st s t 2t t p tp t p 2t 21t 10t εεεσεεφεφφφφε 1.AR(P)的三个限制条件：（1）0p ≠φ，保证了模型的最高阶数为p 。

（2）t s ,0)(Cov ,)V ar(0,)(E s t 2t t ≠===εεσεεε，要求随机干扰序列{}t ε为零均值白噪声序列。

（3）t s 0,)x E(s t <∀=ε，说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。

通常情况下，记AR(P)模型为t p t p 2t 21t 10t x x x x εφφφφ+++++=---2. 中心化的AR(P)模型如果00=φ则以上自回归模型称为中心化的AR(P)模型：t p t p 2t 21t 1t x x x x εφφφ++++=--- ，后面的分析都是针对中心化的模型进行的。

3.用延迟算子表示AR(P)：t t p p 221x )B B B (1εφφφ=----t t x )B (ε=Φ)B B B (1)B (p p 221φφφ----=Φ 成为p 阶自回归系数多项式。

自回归模型描述了后一时刻的行为与前面时刻的行为有关。

（二）格林函数（Green 函数）设p 21,,λλλ 为平稳AR(P)模型的特征根，即0x )B (t =Φ的特征根。

任取i λ带入特征方程：0p 2-p i 21-p i 1p i =----φλφλφλ设p 21,,μμμ 为特征多项式0)u (=Φ的根。

任取i μ带入方程得：01p i p 2i 2i 1=----μφμφμφ ，两边同时除以p i μ得: 0)1()1()1(p 2-p i21-p i1p i=----φμφμφμ可见，AR(P)模型自回归系数多项式0)u (=Φ的根是齐次线性差分方程0x )B (t =Φ的特征根的倒数。

即ii 1λμ=由p 21,,μμμ 为特征多项式0)u (=Φ的根可知)B 1()B (B B B 1)B (i p1i i p1i pp 221λμφφφ-∏=-∏=----=Φ==所以，t p 21i p1i tt t )B11B 11B 11()B 1()B (x ελλλλεε⋅-⋅⋅-⋅-=-∏=Φ==t p p 2211)B 1k B 1k B 1k (ελλλ⋅-++-+-= （i k 为常数） j-t 0j j i p 1i j i j j-t i 0j p1i ji ti p1i 0j j i ti p1i j j i 22i i tp1i iiG )k G (k k )B (k )B B B 1(B 1k ελελελελλλελ∑∑∑∑∑∑∑∑∞==∞===∞=======+++++=-=令称i p1i j i j k G ∑==λ为格林函数，代入原模型得++++=--j t j 1t 1t 0t x G x G G x ε，可见，格林（Green ）函数是前j 个时刻以前进入系统的随机扰动),1,0j (j -t =ε对系统现在的行为即序列值t x 影响的权数。

根据待定系数法（略）可以推出格林函数的递推公式：⎪⎩⎪⎨⎧='==∑=-j 1k k j k j 0,2,1j ,G G 1Gφ其中，⎩⎨⎧>≤='p k 0,p k ,k k φφ 例如：对于AR(1)模型，P=12111210110G G G G 1G φφφφ=====对于AR(2)模型，P=22210211210110G G G G G 1G φφφφφφ+=+====练习AR(3)模型格林函数。

AR(3)：P=3312313122211031221322102112101102G G G G G G G G G 1G φφφφφφφφφφφφφφφφφφφ++=+++=++=+=+====）（（二） AR 模型平稳性判别要拟合一个平稳序列，用来拟合的模型显然应该是平稳的，AR 模型是常用的用来拟合平稳序列的模型之一，但并非所有的AR 模型都是平稳的，因此需要判别模型的平稳性。

例如，考察如下四个模型的平稳性 （1）t ε+=-1t tx 8.0x（2）t ε+-=-1t t x 1.1x（3）t 2t 1t t x 5.0x x ε+-=-- （4）t 2t 1t t x 5.0x x ε++=-- 拟合这四个序列的序列值，并绘制时序图，可初步判断（1）、（3）平稳，（2）、（4）不平稳（见教材图形）。