2013年苏州市高一数学试卷

江苏高一高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.（2013年苏州3）的值等于_______________.2.（2013年苏州4）函数的最小正周期是_____________.3.（2015年苏州4）已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b＝________．4.（2015年苏州5）若，则＝________．5.（2015年苏州B9）已知，，则________．6.（2011年苏州B8）已知函数，则的最小正周期为______.7.（2011年苏州B10）已知，，则（______________）8.（2014年苏州B4）若，则的值为______．9.（2017年苏州10）若，则＝________．10.（2016年苏州B11）计算的值为_______.11.（2013年苏州12）中，，则_______.12.（2017年苏州13）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若sinθ＝，则折痕l的长度＝_______cm．二、解答题1.（2012年苏州B15）已知函数．（1）求f(x)的单调递增区间和最小正周期；（2）当时，求f(x)的最值及对应x的值．2.（2013年苏州15）已知.（1）若，求的值；（2）求的值；3.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值，并求取到最大值时的的集合.4.（2011年苏州16）已知向量互相垂直，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值.5.（2015年苏州16）已知且，（1）求的值；（2）求的值．6.（2017年苏州16）已知，（1）求的值；（2）求的值．7.（2014年苏州B16）已知，记．（1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值．8.（2013年苏州18）设函数（其中），且函数的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是，并过点.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.9.（2013年苏州19）如图，在半径为，圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点都在上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值.10.（2012年苏州B19）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．江苏高一高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.（2013年苏州3）的值等于_______________.【答案】【解析】2.（2013年苏州4）函数的最小正周期是_____________.【答案】【解析】3.（2015年苏州4）已知a＝(cos40°，sin40°)，b＝(sin20°，cos20°)，则a·b＝________．【答案】【解析】点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.4.（2015年苏州5）若，则＝________．【答案】【解析】＝5.（2015年苏州B9）已知，，则________．【答案】【解析】因为，，所以6.（2011年苏州B8）已知函数，则的最小正周期为______.【答案】【解析】7.（2011年苏州B10）已知，，则（______________）【答案】【解析】 ,所以8.（2014年苏州B4）若，则的值为______．【答案】【解析】点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.9.（2017年苏州10）若，则＝________．【答案】【解析】平方得10.（2016年苏州B11）计算的值为_______.【答案】4【解析】点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.11.（2013年苏州12）中，，则_______.【答案】【解析】因为,所以 ,因此12.（2017年苏州13）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若sinθ＝，则折痕l的长度＝_______cm．【答案】【解析】因为 ,所以二、解答题1.（2012年苏州B15）已知函数．（1）求f(x)的单调递增区间和最小正周期；（2）当时，求f(x)的最值及对应x的值．【答案】（1）（），（2）时，取得最大值为2；时，取得最大值为-1.【解析】（1）先根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再利用正弦函数性质求单调区间及最小正周期，（2）先确定范围，再根据正弦函数性质求最值试题解析：解：（1）令（），得（）.所以的单调递增区间为（）的最小正周期为.（2）因为，所以所以当时，即时，取得最大值为2；当时，即时，取得最大值为-1.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．2.（2013年苏州15）已知.（1）若，求的值；（2）求的值；【答案】（1）（2）【解析】（1）先根据诱导公式得，再根据平方关系解方程组得的值；（2）先根据二倍角正余弦公式以及（1）得，再将（1）代入即得试题解析：（1）解：由得，，于是有，解得，，因为, ,（2）3.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值，并求取到最大值时的的集合.【答案】（1）（）（2），【解析】（1）先根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再利用正弦函数性质求单调区间，（2）利用正弦函数性质求最值，并由（）确定自变量取法试题解析：（1）令（），得（）.所以的单调递增区间为（）（2）的最大值为；当且仅当（）时取得最大值，此时取到最大值时的的集合为点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等4.（2011年苏州16）已知向量互相垂直，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】（1）先根据向量数量积得，再根据平方关系解方程组得和的值；（2）利用，先求值，利用两角差正弦公式得，再根据平方关系解方程组得，代入可得，最后根据角的范围求角.试题解析：解：（1）因为，所以，即，又，，所以，（2）因为，，所以，从而根据，得.点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好5.（2015年苏州16）已知且，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）先根据同角三角函数关系求,再根据二倍角正切公式求的值（2））利用先求值，再利用两角差余弦公式得,根据平方关系解方程组得，代入可得，最后根据角的范围求角.试题解析：（1）由，得∴，则（2）由，得，又∵，∴由得：，∵∴.6.（2017年苏州16）已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）先根据同角三角函数关系求,再根据二倍角正切公式求的值（2））利用先求值，再利用两角差余弦公式得,根据平方关系解方程组得，代入可得，最后根据角的范围求角.试题解析：解：（1）∵，，得∴，则（2）由，，∴又∵，∴=由得：= =∵∴.7.（2014年苏州B16）已知，记．（1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值．【答案】（1）（2），【解析】（1）根据向量数量积得（2）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再利用正弦函数性质求函数最小值，得,即得,最后由解出自变量的取法试题解析：(1)(2)∵, ∴, ∴,∴∴, 此时, .点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解.8.（2013年苏州18）设函数（其中），且函数的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是，并过点.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.【答案】（1）=2 (2x+). （2）【解析】（1）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式 ,再根据五点作图法得2+=,解得＝,由的图象过点（0，2）解得,（2）先根据解得sin(2+)= ,根据平方关系及解得cos(2+)=－＝－，最后根据两角差余弦公式展开得cos2=cos[(2+)－]＝cos(2+)+ sin(2+) ＝.试题解析：（1）解：∵的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为,∴ 2+=，解得＝又∵的图象过点（0，2），∴，即 2+=2，解得, ∴=2 (2x+).(2) 由，得2sin(2+)+1=，即sin(2+)= ,∵≤≤，∴≤2+≤，∴cos(2+)=－＝－，cos2=cos[(2+)－]＝cos(2+)+ sin(2+),＝×（－）+×＝.9.（2013年苏州19）如图，在半径为，圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点都在上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值.【答案】的最大值是，相应的【解析】先取角为自变量:，再在直角三角形中,解得，在中，解得,因此,根据矩形面积公式得,根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数形式,再利用正弦函数性质求函数最大值试题解析：解：连接，则，设，在中，，四边形是矩形，,，在中，于是，当时，，当时，，的最大值是，相应的10.（2012年苏州B19）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量．（1）若，求向量与的夹角；（2）若对任意实数都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据向量夹角公式得,再将代入得,即得向量与的夹角为.（2）先根据向量的模化简得,分类变量得,根据恒成立条件得，解不等式得实数的取值范围试题解析：解：（1）由题意，，，所以，，设向量与的夹角为,所以.因为，即，所以.又因为，所以,即向量与的夹角为.（2）因为对任意实数都成立，而,所以，即任意实数都成立. .因为，所以任意实数都成立.所以任意实数都成立.因为，所以任意实数都成立.所以，即，又因为，所以。

2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学 201４．6注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差∑=-=n i i x x ns 122)(1，其中∑==n i i x nx 11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1. 已知集合]2,3[-=A ，]3,1[-=B ，则A B ⋂= ▲ ．2. 学校进行体质抽测，计划在高中三个年级中共抽取160人，已知高一、高二、高三学生数比例为5:5:6，则应在高一分配 ▲ 个名额． 3. 函数12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．4. 若一组样本数据4,5,7,9,a 的平均数为6，则该组数据的方差2s = .5. 将一根长为4米的木棍锯成两段，则锯成的两段都大于1米的概率是 ▲ ．6. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是 ▲ ．7. 已知变量x ，y 满足220,220,0,x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是 ▲ ．8. 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有2只白球、1只红球、1只黄球，从中一次随机取出2只球，则“恰有1只球是白球”的概率是 ▲ ．9. 已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，2()(R)f x x ax a =+∈，且(2)8f =，则a =▲ ．10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，5812=-m S ，则=m▲ ．11. 若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12. 如图，平面内有三个向量、、,其中与与OB 的夹角为120°，与的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝若OC ＝mOA uu r +nOB uuu r （,R m n ∈）,则m n +的值为 ▲ ．13．已知函数()28log ,3f x x =-若关于x 的方程()()2210f x f x +-=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ▲ ． 14.已知0>a ，0>b ，11121=+++b b a ，则b a +的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知函数2()5f x x x a =-+．（1）当4-=a 时，求不等式2)(≥x f 的解集；（2）对任意R x ∈，若2)(-≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围．O ABC16．（本小题满分14分）已知,cos )x x m =+a ，(cos ,cos )x x m =-b ，记()f x =⋅a b ． (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 当]3,6[ππ-∈x 时, )(x f 的最小值是4- , 求此时函数)(x f 的最大值, 并求出相应的x 的值．17. （本小题满分14分）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且()1113N 2n n n n a a *++=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若,log 22n n n a a b +=求数列{}n b 的前n 项和n S ．18. （本小题满分16分）如图，在ABC ∆中，4=AB ，1=AC ，60=∠BAC .（1）求BC 的长和ACB ∠sin 的值；（2）延长AB 到M ，延长AC 到N ，连结MN ，若四边形BMNC 的面积为33，求BM CN ⋅uuu r uuu r的最大值．19. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为M 到N 的“折线距离” ．如图所示的路径123MD D D N 与路径MEN 都是M 到N 的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面xOy 内三点)1,8(-A ，)2,5(B ，)14,1(C ，现计划在这个平面上某一点(),P x y 处修建一个超市．（1）请写出点P 到居民区A 的“折线距离”d 的表达式（用,x y 表示，不要求证明）； （2）为了方便居民，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小．20. （本小题满分16分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量1(,)4n n AB S a =-uu u r ，其中*N n ∈，1(1,)2CD =-uu u r ，且满足//AB uu u r ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a ->L 恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若数列{}n b 对任意的*N n ∈都有12132121212n n n n n n nb a b a b a b a b a ---+++++=--L ,求数列{}n b 的通项公式．x2013～2014学年第二学期期末调研测试高一数学参考答案及评分标准 201４．6一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．]2,1[- 2．60 3．4π 4．165 ５．216．3 7．6- 8．23 9．6 10．15 11．725- 12．12 13．3 14．23二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当4-=a 时，由不等式2)(≥x f ，得2542,x x --≥即2560,x x --≥()()610,x x ∴-+≥ ………………………４分 ∴不等式2)(≥x f 的解集为}{1,6.x x x ≤-≥或 ………………………７分（2）Q 任意R x ∈， 2)(-≥x f 恒成立，∴R x ∈，不等式252x x a -+≥-恒成立， 2R,52x a x x ∴∈≥-+-恒成立． ………………………9分2251752,24x x x ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭Q ∴当52x =时，252x x -+-的最大值为17.4 ………………………12分∴当174a ≥时，2)(-≥x f 恒成立． ………………………14分 16．解: (1) (),cos )(cos ,cos )f x x x m x x m =⋅=+⋅-a b22cos cos x x x m =+- ………………３分 (2)2221)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f -++=-++=π ……6分 ∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, ∴]65,6[62πππ-∈+x , ∴]1,21[)62sin(-∈+πx , ……9分 ∴22114, 4.22m m -+-=-∴= ………………11分 ∴254211)(max -=-+=x f , 此时262x ππ+=, 6x π=. …………14分17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为0>q ，()1113N 2n n n n a a *++=∈Q ， 1223113,2113.4a a a a ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩ 111131'21131.4a q a q q ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩…………3分 11,2a q ∴==, ………………………………………6分∴12.n n a -= ………………………………………7分（2）()141n n b n -=+-Q ……………………………………………………9分∴()()()()12110414241n n S n -⎡⎤=++++++⋅⋅⋅++-⎣⎦()()()12104441121-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n n ………………11分 ()21314n n n -+-= 21223326n n n ++--= ………………………14分18．解：（1）由余弦定理,得13cos 2222=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，∴13=BC . ………………………3分 由正弦定理,得sin sin AB BC ACB BAC=∠∠，4sin sin AB BAC ACB BC ⋅∠∴∠=== ………………………6分 （2）343323421=+⋅⋅=+=∆∆BMNC ABC AMN S S S ， ………………………8分 设y CN x BM ==,，0,0x y >>， 则有3423)1)(4(21=++y x ，∴16)1)(4(=++y x ∴124=++y x xy ， ………10分 ∵0,0x y >>，∴xy y x xy y x 442124=⋅≥-=+， ∴0124≤-+xy xy ，∴26≤≤-xy ，∴xy 的最大值为4，当且仅当1,4==y x 时等号成立． ………………………14分 1cos 602,2BM CN xy xy ︒∴⋅==≤uuu r uuu r ∴当4,1BM CN ==时，BM CN ⋅uuu r uuu r 的最大值为2． ………………………16分19．解：（1）点P 到居民区A 的“折线距离”18-++=y x d ，R y x ∈,．………3分（2）点P 到居民区A 、B 、C 的“折线距离”之和为1412518-+-+-+-+-++=y x y x y x d ， ………6分 下面分别确定x 和y 的值，使d 最小． 令1581-+-++=x x x d ，14212-+-+-=y y y d ， Q 132,512,1585114,8132,8x x x x d x x x x x x x +>⎧⎪+<≤⎪=++-+-=⎨--<≤⎪⎪--≤-⎩ ∴当1=x 时，1d 的最小值为13. ………10分 Q 2317,1411,214121415,123171y y y y d y y y y y y y ->⎧⎪+<≤⎪=-+-+-=⎨-+<≤⎪⎪-+≤⎩ ∴当2=y 时，2d 最小值为13， ………14分答:当点P 取在)2,1(时，到三个居民区的“折线距离”之和最小为26. ………16分20．解：（1）由已知1(,)4n n AB S a =-uu u r ，1(1,)2CD =-uu u r ， Q //AB uu u r CD ，∴212-=n n a S . …………………2分 当1=n 时，211=a ． 当2≥n 时，111112(2)2222n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭， 12n n a a -∴=（2≥n ）， ∴所以，数列{}n a 是首项为21，公比为2的等比数列，故22-=n n a ．………………5分 （2） (35)125(34)21473222n n n n a a a a --++++--⋅⋅==L L ,76782=a ，假设存在满足题意的正整数M ，使得当M n >时，1473278n a a a a a -⋅⋅>L 恒成立, 则有762)53(>-n n ， ………………8分 即0152532>--n n ，∴解得319-<n 或8>n ， N n *∈Q ,8n ∴>.∴存在满足题意的min 8M =． ………………10分（3）∵12132121212nn n n n n n b a b a b a b a b a ---⋅+⋅++++=--L …①对任意*N n ∈都成立， ∴当2≥n 时，111223322111212n n n n n n n b a b a b a b a b a -------⋅+⋅++++=--L ………②， ………………12分②式两边同乘以2，得12132231221n n n n n n b a b a b a b a b a n ----⋅+⋅++++=--L ………③①-③,得12n n b a =，∴(2)n b n n =≥， ………………15分 在①式中令1=n ，得2111=a b ，∵211=a ，∴11=b . ∴*(N )n b n n =∈． ………16分。

苏州高一数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 已知集合A={x|x<3}，B={x|x>1}，则A∩B为（）A. {x|x<3}B. {x|x>1}C. {x|1<x<3}D. {x|x>3}答案：C3. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，则向量a·b的值为（）A. 1B. 2C. -1D. 5答案：C4. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为（）A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x+1D. 3x^2-6x-2答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值为（）A. 14C. 20D. 23答案：C6. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，b=1，则该双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. √5D. 2答案：B7. 若直线l的方程为y=kx+b，且直线l过点(1,2)和(2,3)，则k 的值为（）A. 1/2B. 1D. 2答案：B8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的最小值（）A. -1B. 0C. 1D. 3答案：A9. 已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(1,-4)，则a的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -2答案：B10. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，圆心为C(2,3)，半径为3，则圆C与直线l:x+y=5的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b4的值为______。

答案：5412. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)的值为f'(x)=3x^2-12x+11。

江苏省苏州市2013届迎一模十校联考数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ★ ．2．已知复数112i z =+，21i z a =+（i 是虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则实数a ＝__★_ 3．直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是__★ 4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S = ★ ． 5．已知点A 、B 、C 满足3=AB ，4=BC ，5=CA ，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是_____★________.6．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ★ ． 7．已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 ★ .8．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 ★9．设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =__★_ 10．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_★_11．已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ★ ．12．实数,x y 满足tan ,tan x x y y ==，且x y ≠，则sin()sin()x y x y x y x y+--=+- ★13．已知一个正三棱锥P －ABC 的主视图如图所示，若AC ＝BC ＝32，PC ＝6，则此正三棱锥的全面积为_____★____ 14．已知命题：“在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_★___C BA P二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C的对边，cos A =，tan 3B =． （Ⅰ）求角C 的值;（Ⅱ）若4a =，求△ABC 面积．16．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面P AB ．17．已知数列(){}f n 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+．（Ⅰ）求数列(){}f n 通项公式；（Ⅱ）若()11a f =，()()1*n n a f a n +=∈N ，求证数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的前n 项和n T ．PABCDE F18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．19. 已知⊙C 过点)1,1(P ,且与⊙M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.（Ⅰ）求⊙C 的方程；（Ⅱ）设Q 为⊙C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；（Ⅲ）过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.20．已知函数()2ln bx x a x f -=图象上一点P （2，f (2)）处的切线方程为22ln 23++-=x y ．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若方程()0=+m x f 在1[,e]e内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底，e 2.7≈）；（Ⅲ）令()()g x f x nx =-，如果()x g 图象与x 轴交于()()()21210,,0,x x x B x A <，AB 中点为()0,0x C ，求证：()00g x '≠．数 学（附加题）21．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求A 特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2．22．已知直线cos()14πρθ-=和圆)4πρθ=+，判断直线和圆的位置关系．23．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1PD AD ==，2AB =，点E 是AB 上一点，AE 等于何值时，二面角P EC D --的平面角为4π．24．已知方程b a b ax x ,,02=++为常数。