江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷

江苏省苏州市2021-2021学年上学期高一期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】集合A、B的公共元素是2，进而可得到集合A、B的交集。

【详解】集合A、B的公共元素是2，则AB＝{2}.【点睛】本题考查了集合的交集，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题。

2.函数的定义域为_________．【答案】【解析】【分析】由对数的真数大于0，列出不等式求解即可。

【详解】由题意，，解得，故函数的定义域为.【点睛】本题考查了函数定义域的求法，考查了对数的性质，属于基础题。

3.若角的终边经过点,则的值为____【答案】-2【解析】由三角函数的定义可得，应填答案。

4.已知向量＝(3，5)，＝(4，1)，则向量的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】由即可得到答案。

【详解】由题意，.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示及运算，考查了学生对平面向量知识的掌握，属于基础题。

5.已知＝，且是第四象限角，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】由是第四象限角，可得，进而可以求出，结合，可得到答案。

【详解】因为是第四象限角，所以，则，则.【点睛】本题考查了三角函数求值，考查了三角函数诱导公式，属于基础题。

6.下列函数中，定义域是R且在定义域上为减函数的是_________．①；②；③；④．【答案】①【解析】【分析】对四个函数逐个分析，①满足题意；②是单调递增函数；③定义域不是R；④不是递减函数。

【详解】①，故的定义域是R且在定义域上为减函数；②，为定义域上的增函数，不满足题意；③，定义域为，不满足题意；④，在定义域上不是单调函数，不满足题意。

故答案为①.【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了函数单调性的判断，涉及指数函数、对数函数、一次函数与分段函数，属于基础题。

7.设，若，则 .【答案】【解析】当，解得（舍去），当，解得或（舍去），当，解得（舍去），综上故填．8.已知函数的零点(n，n＋1)，，则n的值是_________．【答案】1【解析】【分析】分析可得函数是上的增函数，，，可知零点在(1，2)上，进而可得到答案。

江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是（）A . 2B .C .D .2. （2分） (2018高一上·镇原期末) 若直线过点，则此直线的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （2分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A . 5B . -5C . 4D . -45. （2分） (2016高一下·淄川期中) 正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB′与A′C′所在直线的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 45°6. （2分）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A .B .C .D .7. （2分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A .B .C .D .8. （2分）下列命题中：1）平行于同一直线的两直线平行；2）平行于同一直线的两平面平行；3）平行于同一平面的两直线平行；4）平行于同一平面的两平面平行．其中正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过（）A . 12小时B . 4小时C . 3小时D . 2小时10. （2分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（）A .B .C .D . 211. （2分）侧棱长都为的三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·荆州期中) 函数y= 的图象是下列图象中的（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知直线L斜率为﹣3，在y轴上的截距为7，则直线l的方程为________14. （1分） (2019高三上·建平期中) 已知函数，则方程的解 ________15. （1分）若logab•log3a=2，则b的值为________．16. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一上·温州期中) 已知集合A={x|0＜x+2≤7}，集合B={x|x2-4x-12≤0}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∩（∁UB）．18. （10分） (2019高一上·忻州月考) 计算下列各式的值．（1）；（2）．19. （10分） (2019高二上·雨城期中) 已知的三个顶点是（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.20. （10分）已知函数f（x）= x3+x2﹣3x+a（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．21. （10分） (2019高一上·嘉善月考) 设函数的定义域为集合 ,函数的值域为集合 .（1）求集合 ,；（2）若全集 ,集合 ,满足 ,求实数的取值范围.22. （15分） (2018高一下·临川期末) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点.（Ⅰ）求证：CD 平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3} B ．{2，4} C ．{1，2} D ．{3，4}2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21x af x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．210．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 ．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = ．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += ，函数()y f x =的最小值为 ．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3}B ．{2，4}C ．{1，2}D ．{3，4}【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4}，则集合{1A =，3}， 则{2U C A =，4}． 故选：B ．2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞【解答】解：由40x ->， 得4x <． ∴函数()f x =的定义域是：(,4)-∞．故选：A ．3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：0.80331a =>=，33log 0.8log 10b =<=，300(0.8)0.81c <=<=， b c a ∴<<．故选：D ．4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【解答】解：点(3,4)P 在角α的终边上，5r ∴==， ∴4cos()sin 25y r παα+=-=-=-． 故选：D ．5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．【解答】解：2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…211()log 122f ∴=-，111[()](1)323f f f -=-==．故选：B ．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan tan(())tan()C A B A B π=-+=-+= 又(0,180)C ∈︒︒， 故30C =︒， 故选：A ．7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-【解答】解：2AB DC =，35DE AB AD λ=-，325DC DA λ=+，由向量共线定理可知，3215λ+=， 则15λ=， 故选：A ．8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2【解答】解：()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”， 则存在实数m ，(2)f m f =（2）()f m ，得221521m m a a a =++，令2mt =， 故225(21)5(1)211m m t a t ++==++，令25(1)()1t g t t +=+，0t >，()g t '=当1)t ∈时，()g t 递增；当1t ∈，)+∞时，()g t 递减；故5()1)1)2max g t g =-===， 故选：D ．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．10．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =【解答】解：1||y x =在(0,)+∞上为减函数，不符合题意， ||y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意，23y x =和||x y e =为偶函数，且在在(0,)+∞上为增函数，故选：BD ．11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-【解答】解：1(1,2)e =-，2(2,1)e =，∴向量11221(a e e λλλ=+=-，122)(2λλ+，2)λ，21(2λλ=-，122)λλ+，若使120λλ<成立，(1,0)a =，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =，则2120λλ-=，不满足题意， (1,0)a =-，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =-，则2120λλ-=，不满足题意，故选：AC ．12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=【解答】解：因为函数()f x 过点(3π，1)2， 所以1sin()23πω=+∅，所以236k ππωπ+∅=+，或5236k ππωπ+∅=+， 又因为在区间(,)126ππ上单调，所以2612T ππ-…，解得6T π…，26ππω…，所以12ω…，若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递增，则2222362k k k πππππωππ-+<+∅=+<+，()k Z ∈当0k =时，36ππω+∅=，若2ω=，则2π∅=-，若6ω=，则116π∅=-． 当1k =时，236ππωπ+∅=+，若6ω=，则6π∅=．若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递减，则532222362k k k πππππωππ+<+∅=+<+，()k Z ∈ 当0k =时，536ππω+∅=， 若2ω=，则6π∅=， 若6ω=，则76π∅=-． 当1k =时，5236ππωπ+∅=+， 若6ω=，则56π∅=， 故ω，∅可能取的值为2ω=，2π∅=-；6ω=，则6π∅=；6ω=，则56π∅=． 故选：BCD ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 (6,1) ． 【解答】解：设(,)C x y ，(2,3)A -，(8,3)B ，2AC CB =，(2x ∴-，3)2(8y x +=-，3)(162y x -=-，62)y -，∴2162362x x y y -=-⎧⎨+=-⎩，解得6x =，1y =，∴点C 的坐标为(6,1)．故答案为：(6,1)．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = 2 ． 【解答】解：函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，且n 为整数，f （2）50=-<，f （3）10=>，f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(2,3)， 故2n =， 故答案为：2．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 【解答】解：由25(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，得42sin cos 9αα=-，所以2413(sin cos )12sin cos 199αααα-=-=+=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，所以sin cos αα-，与s i n c o s αα+=联立得，sin α=cos α=，所以sin tan cos ααα===故答案为：． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += 5 ，函数()y f x =的最小值为 ．【解答】解：由题意可知，0x =与1x =是函数的零点，22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，20x ax b ∴++=的根为4，3，7a ∴=-，12b =，则5a b +=，函数22432()()(712)81912y f x x x x x x x x x ==--+=-+-．则32()42438122(2)(22f x x x x x x x '=-+-=--+-．①令()0f x '=，解得2x =，或2x =，或2x =；②令()0f x '<，解得2x <22x <<；③令()0f x '>，解得22x <<，或2x >+．()f x ∴在(,2-∞上单调递减，在(22)上单调递增，在(2,2上单调递减，在(2+)+∞上单调递增，在2x =处取得极大值，在2x =与2x =处取得极小值．65(24f -=-，5(24f =-． ∴函数()y f x =的最小值为54-．故答案为：5，54-．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）3a =时，{|13}A x x =-<<，且{|04}B x x =<<， (0,3)AB ∴=； （2）AB A =，B A ∴⊆，①2a a >-，即1a >时，{|2}A x a x a =-<<，则204a a -⎧⎨⎩……，解得4a …；②2a a <-，即1a <时，{|2}A x a x a =<<-，则024a a ⎧⎨-⎩……，解得2a -…；③2a a =-，即1a =时，A =∅，不满足B A ⊆，这种情况不存在； ∴综上得，a 的取值范围为(-∞，2][4-，)+∞．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．【解答】解：已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==，故sin α=，同理sin β， （1）131334323cos()cos cos sin sin 14798αβαβαβ+=-=-=-； （2）由1336491cos()cos cos sin sin 9898982αβαβαβ-=+=+==，又锐角α，β，且cos cos αβ>，所以αβ<，故(2παβ-∈-，0)，故3παβ-=-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．【解答】解：（1）D 为线段BC 中点，且2AB =，4AC =，∴22111()()()(164)6222AD BC AB AC AC AB AC AB =+-=-=⨯-=； （2）E 为线段AD 中点，∴EB ED DB =+1122AD CB =+ 11()()42AB AC AB AC =++- 3144AB AC =-， EC ED DC =+1122AD BC =+ 11()()42AB AC AC AB =++- 3144AC AB =-， ∴3131()()4444EB EC AB AC AC AB =-- 2253381616AB AC AB AC =-- 513324416821616=⨯⨯⨯-⨯-⨯ 54=-．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．【解答】解：（1）H 关于t 的函数关系式为()sin()H t A t B ωϕ=++， 由9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得40A =，50B =；又0t =时，(0)40sin 5010H ϕ=+=，解得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-；又30T =，所以223015T πππω===； 所以摩天轮转动一周的解析式为 ()40sin()50152H t t ππ=-+；（2）令()30H t =，得40sin()5030152t ππ-+=，即1sin()1522t ππ-=-，所以1cos 152t π=， 解得153t ππ=，或5153t ππ=， 解得5t =，或25t =；所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米；（3）由题意知，游客甲距离地面高度解析式为4050152y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，游客乙距离地面高度解析式为40501532y sin t πππ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦乙；则14040401515321515153h y y cost cos t cos t t cos t πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙甲； 令153t πππ+=，解得10t =，此时h y y =-乙甲取得最大值为40；所以两人距离地面的高度差h 的最大值为40米．。

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设有下面四个命题： 1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，||0x x +>； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈； 4:p x R ∃∈，2230x x -+=．其中真命题为( ) A ．1pB ．2pC ．3pD ．4p2．（5分）已知角α终边上一点P 的坐标为(1,2)-，则cos α的值为( ) A ．25-B ．5-C ．5 D ．253．（5分）对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．若{|23}A x lnx ln =，{|1}B x x =，则A B -为( )A ．{|1}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|13}x x <D ．{|13}x x4．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(2π，)π上单调递增的函数是( )A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos2x y = 5．（5分）“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价%a ，第二次降价%b ；乙平台两次都降价%2a b+（其中020)a b <<<，则两个平台的降价力度( ) A ．甲大B ．乙大C ．一样大D ．大小不能确定6．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）若θ1cos 1cos 1cos 1cos θθθθ-+-+-( ) A ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-8．（5分）已知函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，若函数(())y f f x =-有3个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(1,4)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．[1，4]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知幂函数()f x 的图象经过点3)，则( ) A ．()f x 的定义域为[0，)+∞ B ．()f x 的值域为[0，)+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[0，)+∞10．（5分）为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点()A ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度D ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度11．（5分）已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则( )A ．a a b c <B ．log log b c a a >C ．[3]a a <D ．sin sin b c <12．（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则( )A ．函数()g x 的值域是{0，1，2}B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数()1(2)f x x lg x =-+-的定义域为 ． 14．（5分）关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间1(2-，1)()2Z +∈内，则的值为 ．15．（5分）已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为 ．16．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是 ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年．（参考数据：20.3)lg ≈ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A 为锐角，_____． （1）求角A 的大小； （2）求2021sin()cos()2A A ππ+-的值． 18．（12分）已知集合2{|230}A x x x =--<，{|||1}B x x a =-<． （1）当3a =时，求AB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象经过点(12π，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0，]π上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R 上的函数()22()x x f x R -=+⋅∈． （1）若()f x 是奇函数，求函数()(2)y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数，使()f x 在(,1)-∞-上调递减且在(2,)+∞上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q （单位：)L 、百公里耗油量W （单位：)L 与速度v （单位：/)(40120)m h v 的数据关系如表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择()0.5v Q v a =+，()Q v av b =+，32()Q v av bv cv =++．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120]（单位：/)m h ，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？22．（12分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ⋯，2n x D ∈，使得0()()i g x f x =（其中1i =，2，⋯⋯，n ，*)n N ∈，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数．”（1）判断()|1|([0g x x x =-∈，4])是否为()2([0f x x x =+∈，1])的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若22(23)1,1,()log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+⎪=⎨>⎪⎩为1221()log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()sin()([03g x x x πω=-∈，2])π为2()1xf x x =+的“21+重覆盖函数”（其中)N ∈，请直接写出正实数ω的取值范围（用表示）（无需解答过程）．2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（5分）设有下面四个命题： 1:p x R ∃∈，210x +<； 2:p x R ∀∈，||0x x +>； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈； 4:p x R ∃∈，2230x x -+=．其中真命题为( ) A ．1pB ．2pC ．3pD ．4p【解答】解：设有下面四个命题：对于1:p x R ∃∈，210x +<不成立，故该命题为假命题； 2:p x R ∀∈，当0x <时，||0x x +=，故该命题为假命题； 3:p x Z ∀∈，||x N ∈，该命题为真命题；4:p x R ∃∈，由于2230x x -+=中△41280=-=-<，故不存在实根，故该命题为假命题； 故选：C ．2．（5分）已知角α终边上一点P 的坐标为(1,2)-，则cos α的值为( )A ．B ．C D【解答】解：由题意，点(1,2)-=故cosα==故选：B ．3．（5分）对于集合A ，B ，我们把集合{|x x A ∈且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B -．若{|23}A x lnx ln =，{|1}B x x =，则A B -为( )A ．{|1}x x <B ．{|01}x x <<C ．{|13}x x <D ．{|13}x x【解答】解：集合{|23}{|03}A x lnx ln x x ==<，{|1}B x x =， {|01}A B x x -=<<．故选：B ．4．（5分）下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间(2π，)π上单调递增的函数是( )A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos2x y = 【解答】解：函数sin 2y x =的周期为22T ππ==，又(2x π∈，)π，则2(,2)x ππ∈，所以sin 2y x =在区间(2π，)π上不是单调递增，故选项A 错误；函数cos y x =的周期为2π，故选项B 错误；函数tan y x =的周期为π，且在区间(2π，)π上单调递增，故选项C 正确；函数cos2xy =的周期为2412t ππ==，故选项D 错误． 故选：C ．5．（5分）“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价%a ，第二次降价%b ；乙平台两次都降价%2a b+（其中020)a b <<<，则两个平台的降价力度( ) A ．甲大B ．乙大C ．一样大D ．大小不能确定【解答】解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1(1%)(1%)a b ---，乙平台的降价力度为：21(1%)2a b +--， 作差得：222[1(1%)(1%)][1(1%)](%)%%(%)0222a b a b a b a b a b ++-------=-⋅=-<， 所以乙平台的降价力度大， 故选：B ．6．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()y xf x =的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图象可知，函数()f x 是偶函数，则()y xf x =为奇函数，则图象关于原点对称，排除C ，D ，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B ， 故选：A ．7．（5分）若θ1cos 1cos 1cos 1cos θθθθ-+-+-( ) A ．2tan θB ．2tan θC ．2tan θ-D ．2tan θ-【解答】解：θ为第二象限角，sin 0θ∴>，∴原式22(1cos )(1cos )1cos 1cos 2cos 2(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )sin sin sin tan θθθθθθθθθθθθθ-+-+-==-==-+-+-．故选：D ．8．（5分）已知函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，若函数(())y f f x =-有3个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(1,4)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．[1，4]【解答】解：函数23,0()1,0x x f x x x ⎧-=⎨-+<⎩，当3x 时，22(())(3)3f f x x =--，当03x <时，2(())(3)1f f x x =--+， 当0x <时，2(())(1)3f f x x =-+-，作出函数(())f f x 的图象可知， 当14<时，函数(())y f f x =-有3个不同的零点．(1∴∈，4]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）已知幂函数()f x 的图象经过点3)，则( ) A ．()f x 的定义域为[0，)+∞ B ．()f x 的值域为[0，)+∞ C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[0，)+∞【解答】解：设幂函数()a f x x =， ()f x 过点3)， 33a ∴12a =， ()f x x ∴故函数的定义域是[0，)+∞，A 正确，C 错误， 值域是[0，)+∞，B 正确，D 正确， 故选：ABD ．10．（5分）为了得到函数cos(2)4y x π=+的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点()A ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍C ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移8π个单位长度D ．横坐标变为原来的12倍，再向左平移4π个单位长度【解答】解：把函数cos y x =图象上所有的点向左平移4π个单位长度，可得cos()4y x π=+的图象；再将横坐标变为原来的12倍，可得cos(2)4y x π=+的图象． 或把函数cos y x =图象上所有的点横坐标变为原来的12倍，得到cos2y x =的图象； 再向左平移8π个单位长度，可得cos(2)4y x π=+的图象． 故选：BC ．11．（5分）已知实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<，则( )A ．a a b c <B ．log log b c a a >CD ．sin sin b c <【解答】解：因为实数a ，b ，c 满足01a b c <<<<， 则函数a y x =为单调递增函数，所以a a b c <，故选项A 正确；不妨取1,2,42a b c ===，则21log 12b a log ==-，214211log 222c a log log -===-，所以log log b c a a <，故选项B 错误；不妨取18a =12=<，故选项C 正确； 因为b 和c 所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b 和sin c 无法比较大小，故选项D 错误． 故选：AC ．12．（5分）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[ 2.1]3-=-，[2.1]2=．已知函数()sin |||sin |f x x x =+，函数()[()]g x f x =，则( )A ．函数()g x 的值域是{0，1，2}B ．函数()g x 是周期函数C ．函数()g x 的图象关于2x π=对称D ．方程()2g x x π⋅=只有一个实数根【解答】解：()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以()f x 是偶函数，而sin ||x 不是周期函数，|sin |x 为周期函数， 对于0x >，当22x πππ<<+时，()2sin f x x =， 当222x ππππ+<<+时，()0f x =，所以()2,2250,22,22,2226651,222662x k g x k x k k x k k x k k x k x k πππππππππππππππππππ⎧=+⎪⎪⎪=<<++<<++<<+⎨⎪⎪+<<+≠+⎪⎩且，0=，1±，2±，⋯，故A 正确，由()f x 是偶函数，则()g x 为偶函数，0x >时，()f x 成周期性，但起点为0x =，所以()g x 在(,)-∞+∞上不是周期函数，故B 不正确；函数()g x 的图象关于0x =对称，不关于2x π=对称，故C 不正确；2()g x x π=，当0x =时，(0)0g =，当2x π=时，()12g π=，2x π与()g x 只有(0,0)交点即方程()2g x x π⋅=只有一个实数根，故D 正确．故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数()1(2)f x x lg x =-+-的定义域为 [1，2) ．【解答】解：要使函数的解析式有意义， 自变量x 须满足：1020x x -⎧⎨->⎩解得：12x <．故函数()(2)f x lg x =-的定义域为[1，2) 故答案为[1，2)14．（5分）关于x 的方程sin 30x x +-=的唯一解在区间1(2-，1)()2Z +∈内，则的值为 2 ．【解答】解：设()sin 3f x x x =+-，33333()sin 3sin 022222f =+-=-<，5555155()sin 3sin sin sin 02222226f π=+-=-=->， 355(426ππ<<，所以55sin sin )26π>． 由零点定理知，()f x 在区间3(2，5)2内一定有零点，所以2=．故答案为：2．15．（5分）已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为 6 ． 【解答】解：因为a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，所以2113399(3)9()332a b a b ab b a ++=-=-⋅-⨯，当且仅当3a b =时取等号，解得，36a b +或318a b +-（舍)， 则3a b +的最小值为6． 故答案为：6．16．（5分）当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A ，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是57301()2xy A =⋅ ，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约 年．（参考数据：20.3)lg ≈【解答】解：由题意知，57301()2xy A =⋅，当62.5%y A =时，有5730162.5%()2x A A =⋅，即573051()82x =，∴1222210581222log 8log 533573085223lgx lg log log lg lg -===-=-=-≈， 3820x ∴=，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：57301()2xy A =⋅；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+；②24sin 4cos 1A A =+；③1sin cos tan 2A A A =中任选一个，补充在下面的问题中，并求解． 已知角A 为锐角，_____． （1）求角A 的大小； （2）求2021sin()cos()2A A ππ+-的值． 【解答】解：若选择条件①， （1）由于2sin cos 13sin 4cos 7A A A A -=+，可得14sin 7cos 3sin 4cos A A A A -=+，可得sin cos A A =，即tan 1A =， 因为A 为锐角， 可得4A π=；（2）220211sin()cos()(sin )cos(1010)sin 222A A A A A ππππ+-=-+-=-=-． 若选择②，（1）由于24sin 4cos 1A A =+，24(1cos )4cos 1A A -=+，可得24cos 4cos 30A x +-=，解得1cos 2A =，或32-（舍去），因为A 为锐角，可得3A π=．（2）220213sin()cos()(sin )cos(1010)sin 224A A A A A ππππ+-=-+-=-=-． 若选择③，（1）因为21sin cos tan sin 2A A A A ==，可得sin A =，或，因为A 为锐角，sin 0A >，可得sin A =，可得4A π=； （2）220211sin()cos()(sin )cos(1010)sin 222A A A A A ππππ+-=-+-=-=-． 18．（12分）已知集合2{|230}A x x x =--<，{|||1}B x x a =-<． （1）当3a =时，求AB ；（2）设:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意得，{|13}A x x =-<<，{|11}B x a x a =-<<+． （1）3a =时，{|24}B x x =<<， {|14}(1,4)AB x x ∴=-<<=-．（2）因为:p x A ∈，:q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件， 则BA ，所以1113a a --⎧⎨+⎩，解之得02a ，所以实数a 的取值范围是[0，2]．19．（12分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的图象经过点(12π，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0，]π上的单调增区间．【解答】解：（1）由题意可得2A =，T π=，所以22Tπω==， 所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象经过点(12π，所以()2sin(2)1212f ππϕ=⨯+=sin()6πϕ+=，因为||2πϕ<，所以6πϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．（2）令222262x πππππ-++，Z ∈，解得36x ππππ-+，Z ∈，再根据[0x ∈，]π，可得函数的单调增区间为[0，]6π，2[3π，]π．20．（12分）已知定义在R 上的函数()22()x x f x R -=+⋅∈． （1）若()f x 是奇函数，求函数()(2)y f x f x =+的零点；（2）是否存在实数，使()f x 在(,1)-∞-上调递减且在(2,)+∞上单调递增？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即2222x x x x --+⋅=--⋅，可得1=-， 所以()22x x f x -=-，令22()(2)22220x x x x y f x f x --=+=-+-=， 即(22)(122)0x x x x ---++=， 所以220x x --=，解得0x =，即函数()(2)y f x f x =+的零点为0x =． （2）当0时，函数()22x x f x -=+⋅在R 上单调递增，不符合题意；当0>时，令2x t =，当(,1)x ∈-∞-时，1(0,)2t ∈，当(2,)x ∈+∞时，(4,)t ∈+∞，因为()f x 在(,1)-∞-上单调递减且在(2,)+∞上单调递增， 所以()g t t t=+在1(0,)2上单调递减且在(4,)+∞上单调递增，所以142，解得1164，故存在实数1[4∈，16]使()f x 在(,1)-∞-上单调递减且在(2,)+∞上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q （单位：)L 、百公里耗油量W （单位：)L 与速度v （单位：/)(40120)m h v 的数据关系如表：为描述Q 与v 的关系，现有以下三种模型供选择()0.5v Q v a =+，()Q v av b =+，32()Q v av bv cv =++．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90)，[90，110)，[110，120]（单位：/)m h ，问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W 最小？ 【解答】解：（1）填表如下：由题意可得符合的函数模型需满足在40120v 时，v 都可取，三种模型都满足， 且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合， 若选择第二种模型，代入(40,5.2)，(60,6)， 得 5.240660a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得0.043.6a b =⎧⎨=⎩，则()0.04 3.6Q v v =+，此时(90)7.2Q =，(100)7.6Q =，(120)8.4Q =， 与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2)，(60,6)，(100,10)，则323232404040 5.2606060610010010010a b c a b c a b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⨯+⨯+⨯=⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎩，解得0.0000250.0040.25a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，32()0.0000250.0040.25Q v v v v ∴=-+． （2）221000.00250.4250.0025(80)9W Q v v v v=⨯=-+=-+， ∴当80v =时，W 取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80/m h 的速度行驶时W 最小．22．（12分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若足对任意01x D ∈，恰好存在n 个不同的实数1x ，2x ⋯，2n x D ∈，使得0()()i g x f x =（其中1i =，2，⋯⋯，n ，*)n N ∈，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数．”（1）判断()|1|([0g x x x =-∈，4])是否为()2([0f x x x =+∈，1])的“n 重覆盖函数”，如果是，求出n 的值；如果不是，说明理由．（2）若22(23)1,1,()log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+⎪=⎨>⎪⎩为1221()log 21x x f x -=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()sin()([03g x x x πω=-∈，2])π为2()1xf x x =+的“21+重覆盖函数”（其中)N ∈，请直接写出正实数ω的取值范围（用表示）（无需解答过程）．【解答】解：（1）因为()|1|([0g x x x =-∈，4])，()2([0f x x x =+∈，1])，则对0[0x ∀∈，1]，n ∃个不同的实数1x ，2x ⋯，[0n x ∈，4)，使得0()()(1i g x f x i ==，2，⋯，)n ，即0|1|2[2i x x -=+∈，3]，则[3i x ∈，4]，所以对于0[0x ∀∈，1]，都能找到一个1x ，使10|1|2x x -=+， 所以()g x 是()f x 的“n 重覆盖函数”，故1n =；（2）因为1221()log 21x x f x -=+，其定义域为(0,)+∞，即对0(0,)x ∀∈+∞，存在2个不同的实数1x ，2x R ∈，使得0()()(1i g x f x i ==，2)， 即0001122212()(1)(0,)2121x i x x g x log log -==-∈+∞++， 即对任意0>，()g x =要有两个实根， 当1x >时，2()log g x x ==已有一个根， 故只需1x <时，()g x =仅有一个根， ①当0a =时，()312g x x =-+>-，有一个根；②当0a >时，则必须满足g （1）2310a a =+-+，解得23a； ③当0a <时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意； 综上可得，实数a 的取值范围为2[0,]3．；（3）正实数ω的取值范围为17[,),412N ++∈．。

2021-2022学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题一、单选题1．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是 A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2．已知集合M ＝{}|1x x <，N ＝{x |0≤x ≤4}，则M ∩N ＝（ ） A ．（0，1] B ．（1，4]C ．[0，1）D ．{1，4}【答案】C【分析】化简集合M ，利用交集定义求解.【详解】∵集合M ＝{}|1x x <＝{x |0≤x ＜1}，N ＝{x |0≤x ≤4}， ∴M ∩N ＝[0，1）. 故选：C.3．在三角形ABC 中，“6A π∠=”是“1sin 2A =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，当，可得1sin 2A =，而在三角形ABC 中，当1sin 2A =时，或56A π∠=，所以“”是“1sin 2A =”的充分不必要条件．【解析】充分不必要条件的判定．4．若定义域为R 的奇函数f （x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．[0，1）C ．[1,1)2D ．（1，＋∞）【答案】A【分析】由奇函数在对称区间上的单调性相同，可得到f （x ）在R 上单调递增，将原不等式移项得f （2x ﹣1）＜f （x ），脱“f ”，可解得原不等式的解集. 【详解】解：∵f （x ）为R 上的奇函数， ∴f （0）＝0；又f （x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同， ∴f （x ）在R 上单调递增；∴由不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0，得f （2x ﹣1）＜f （x ）， ∴2x ﹣1＜x ，解得x ＜1，∴不等式f （2x ﹣1）﹣f （x ）＜0的解集为（﹣∞，1）. 故选：A.5．若三个变量1y 、2y 、3y ，随着变量x 的变化情况如下表.则关于x 分别呈函数模型：log a y m x n =+、x y pa q =+、a y t kx =+变化的变量依次是（ ）A ．1y 、2y 、3y B ．3y 、2y 、1y C ．1y 、3y 、2yD ．3y 、1y 、2y【答案】B【分析】根据表中数据，结合函数的变化率，即可求解.【详解】解：由表可知，2y 随着x 的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化， 3y 随着x 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，1y 相对于2y 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选：B.6．已知a ，b ＞0，且a ＋2b ＝1，则12a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】C【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】∵a ＋2b ＝1，∴1212()(2)a b a b a b +=++＝22221452a b a b b a b a+++>+⨯＝9， 当且仅当22a b b a=时即13a b ==时等号成立,故选：C.7．已知函数y ＝f （x ）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的解析式最可能是（ ）A ．y ＝x cos xB ．y ＝sin x －x 2C ．1cos 2xxy -=D ．y ＝sin x ＋x【答案】A【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论. 【详解】由f （x ）的图象关于原点对称，可得f （x ）为奇函数，对于选项B ，f （x ）＝sin x －x 2，f （－x ）＝－sin x －x 2≠－f （x ），f （x ）不为奇函数，故排除B ；对于选项C ，f （x ）＝1cos 2xx-，f （－x ）＝1cos()2x x ---＝2x （1－cos x ）≠－f （x ），f （x ）不为奇函数，故排除C ；对于选项D ，f （x ）＝x ＋sin x ，f （－x ）＝－sin x －x ＝－f （x ），可得f （x ）为奇函数， 由f （x ）＝0，可得sin x ＝－x ，f （0）＝0，由y ＝sin x 和y ＝－x 的图象可知它们只有一个交点，故排除D ；对于选项A ，f （x ）＝x cos x ，f （－x ）＝－x cos （－x ）＝－x cos x ＝－f （x ），可得f （x ）为奇函数，且f （x ）＝0时，x ＝0或x ＝k π＋2π（k ∈Z ），f （23π）＜0，f （π）＜0，故选项A 最可能正确. 故选：A.8．若函数2log 2,0()sin ,03x x x f x x x πωπ+>⎧⎪=⎨⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎩有4个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．47,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】易知x ＞0时有一个零点，然后由﹣π≤x ≤0时有3个零点求解. 【详解】解：当x ＞0时，令2log 20x x +=， 解得：12x =， 又因为f （x ）＝0有4个根，所以当﹣π≤x ≤0时，f （x ）有3个零点， 因为﹣π≤x ≤0， 所以333x ππππωω-++，所以323πππωπ-<-+-，解得：71033ω<， 故选：B. 二、多选题9．下列结果为1的是（ ） A ．111824e e e B ．lg 2lg5+C ．213289-D ．234log 3log 4log 2⨯⨯【答案】BCD【分析】由对数运算及指数运算的性质化简即可.【详解】对于选项A ，11117118248824e e e e e 1++==≠，故A 错误； 对于选项B ，lg 2lg5lg101+==，故B 正确； 对于选项C ，213289431-=-=，故C 正确；对于选项D ，23424log 3log 4log 2log 4log 21⨯⨯=⨯=，故D 正确. 故选：BCD.10．已知a ＞b ＞c ＞0，下列结论中一定正确的是（ ） A ．ab ＞bc B ．a ba cb c>-- C ．tan a ＞tan b D ．20222022a c b c a b --+>+【答案】AD【分析】直接利用不等式的性质判断A ，利用作差法判断B ，利用特例判断C ，构造函数判断D.【详解】对于A ：由于a ＞b ＞c ＞0，所以ab ＞bc ，故A 正确； 对于B ：()0()()a b b a c a c b c a c b c --=<----，故B 错误； 对于C ：当04b a ππ<=<=时，tan 0tan 1a b =<=，故C 错误；对于D ：设()2022c x x f x -=+，由于函数在（0，＋∞）上单调递增，故当a ＞b ＞c ＞0，不等式20222022a c b c a b --+>+成立，故D 正确. 故选：AD.11．若关于x 的不等式e 0x a bx c ++<的解集为(－1，1)，则（ ） A ．b ＞0 B ．|a |＜|c | C ．a ＋b ＋c ＞0 D ．8a ＋2b ＋c ＞0【答案】BD【分析】根据题意，分析可得方程e 0x a bx c ++=的两个根为－1和1，可得1ee 0a b c a b c ⎧⨯-+=⎪⎨⎪++=⎩，联立两式，用a 表示b 、c ，进而分析可得a ＞0，据此依次分析选项，综合可得答案.【详解】根据题意，关于x 的不等式e 0x a bx c ++<的解集为(－1，1)， 则方程e 0x a bx c ++=的两个根为－1和1，则有1e e 0a b c a b c ⎧⨯-+=⎪⎨⎪++=⎩，联立可得：11e e e e ,22c a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-， 又0∈(－1，1)，则有0e e e 0021a b c a c a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+⨯+=+=-<， 变形可得：12(e )e 2-+⋅a ＜0，则有a ＞0， 依次分析选项：对于A ，由于1e e 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，且a ＞0，则有1e e 2b a⎛⎫- ⎪⎝⎭=-＜0，A 错误； 对于B ，由于1e e 2c a⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，则|c |＝1e e 2+|a |＞|a |，B 正确； 对于C ，a ＋b ＋c ＝a －1(e )e 2-a －1(e )e 2+a ＝(1－e)a ＜0，C 错误；对于D ，8a ＋2b ＋c ＝8a －（e －1e ）a －1(e )e 2+a ＝(8－3e 2＋12e )a ＞0，D 正确；故选：BD.12．记区间M ＝[a ，b ]，集合N ＝{y |y ＝||||1k x x +，x ∈M }，若满足M ＝N 成立的实数对（a ，b ）有且只有1个，则实数k 可以取（ ） A ．﹣2 B ．12C ．1D ．3【答案】AD【分析】分类讨论，对a ,b 的取值情况分类考虑，由集合与函数的性质进行分析，即可求出满足题意的k . 【详解】∵y ＝||||1k x x +，当x ＝0时，y ＝0， 当x ≠0时，y ＝11||kx +，可知函数为偶函数，若存在唯一实数对（a ，b ）使M ＝N ，若x a =，y a =，x b =，y b =，即11k aa a kb b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，此时||||a b = ,若a b = ，不合题意，若 a b -=，则0,0a b <>，此时区间内含有0， 由x ＝0时，y ＝0时知，此时必有0a = ，或0b =，矛盾； 所以综上述只有当x ＝a 时，y ＝b ，当x ＝b 时，y ＝a ， 即11k ab a k b ab ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，两式相乘得2|||(||1)(||1)k a b ab a b =++， ∴k 2＝（|a |＋1）（|b |＋1）或k 2＝﹣（|a |＋1）（|b |＋1）， ∵k 2＞0，∴k 2＝（|a |＋1）（|b |＋1）， 又∵|a |＞0，∴|a |＋1＞1，同理|b |＋1＞1， ∴（|a |＋1）（|b |＋1）＞1， 即k 2＞1， k ＞1或k ＜﹣1，故满足条件的为AD ， 故选：AD. 三、填空题13．写出一个满足“对任意实数a ，b ，f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ）”的增函数f （x ）＝______. 【答案】(1)x a a >（答案不唯一） 【分析】根据幂运算性质r s r s a a a +=⋅求解. 【详解】解：由幂运算性质r s r s a a a +=⋅知， 满足“对任意实数a ，b ，f （a ＋b ）＝f （a ）f （b ）”， 故满足条件的增函数可以为()(1)x f x a a =>， 故答案为：(1)x a a >（答案不唯一）.14．若对任意a ＞0且a ≠1，函数1()1x f x a +=+的图象都过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ＝__. 【答案】-2【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】令x ＋1＝0，求得x ＝－1，y ＝2，可得函数1()1x f x a +=+（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点P (－1,2)， 所以点P 在角θ的终边上，则tanθ＝21-＝－2. 故答案为：－2.15．若实数a 、b 满足22log 4aa b b ⋅=⋅=，则a 、b 的大小关系a __b （填“<”，“=”或“>”）. 【答案】<【分析】画出指数函数，对数函数，反比例函数的图象求解即可.【详解】解：242log 42a aa b b a ⋅=⋅=⇔=，24log b b=， 则a 为函数2x y =与函数4y x =图象交点的横坐标，b 为函数2log y x =与函数4y x=图象交点的横坐标，在同一直角坐标系画出函数2x y =、2log y x =、4y x=的图象如下，由图知a b <， 故答案为：<. 四、双空题16．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环而的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）.当43θ=时，x ＝_____米.现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M 最小为___元()M =总费用花坛总面积.【答案】 5103133【分析】由题意可得，30102(10)x x θθ=++-，当43θ=时，解得x ＝5，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解.【详解】由题意可得，30102(10)x x θθ=++-， 解得10210xxθ+=+， 当43θ=时，解得x ＝5， ()222 111010100550(010)222S x x x x x θθθ=⨯⨯⨯-⋅⋅=-=-++<<花，装饰费为9(10)2(10)49908(10)17010x x x x x θθθ++-⋅=++-=+ 故M ＝217010550x x x +-++＝210(17)550x x x +---，令t ＝17＋x ，17＜t ＜27，则M ＝210(17)5(17)50t t t -----＝21039324t t t --+＝1032439t t --+，∵32436t t +>，当且仅当326t t =，即t ＝18时，等号成立，∴M 的最小值为101036493-=-，花坛每平方米的装饰费用M 最小为103元. 故答案为：5；103. 【点睛】本题主要考查函数的实际应用，掌握换元法，以及基本不等式的公式是解本题的关键. 五、解答题17．已知集合A ＝{x |x 2－5x ≤0}，B ＝{x |(x －t )(x －t －6)≤0}，其中t ∈R. (1)当t ＝1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求t 的取值范围. 【答案】(1)[0,7]； (2)[－1,0].【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 和集合B ，然后根据并集的定义进行求解；（2）根据A ⊆B ，然后建立关系式，解之即可. (1)∵集合A ＝{x |x 2－5x ≤0}＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |(x －t )(x －t －6)≤0}＝{x |t ≤x ≤t ＋6}， 当t ＝1时，B ＝[1，7]， 故A ∪B ＝[0,7]. (2)因为A ⊆B ，所以065t t ≤⎧⎨+≥⎩，解得－1≤t ≤0，所以t 的取值范围为[－1,0].18．已知1sin()25sin παα+-=，其中α为第二象限角.(1)求cos α﹣sin α的值；(2)求221sin tan cos ααα++的值.【答案】(1)75-.(2)299. 【分析】（1）由已知条件可得5s n 1os i c a α=-，利用同角三角函数基本关系式可得2112cos cos 0525αα--=，结合α在第二象限，解得cos α的值，利用同角三角函数基本关系式即可求解.（2）利用同角三角函数基本关系式可求tan α的值，进而即可求解. (1)解：由已知条件可得1sin cos 5αα+=，化简可得1sin cos 5αα=-，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得2112cos cos 0525αα--=， 所以4cos 5α=或3cos 5α=-， 又α在第二象限，故cos α＜0，所以3cos 5α=-，所以24sin 1cos 5αα， 所以347cos sin 555αα-=--=-.(2)解：由（1）得sin tan s 43co ααα==-， 所以2222221sin cos 2sin 29tan tan 12tan tan cos cos 9ααααααααα+++=+=++=. 所以221sin 29tan cos 9ααα++=. 19．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式和单调增区间； (2)将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的解1x 、2x ，求122x x g +⎛⎫⎪⎝⎭的值及实数m 的取值范围.【答案】(1)()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)122x x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭12m ⎡∈⎢⎣⎭. 【分析】（1）结合图象和2T πω=，求得ω的值，再根据38f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()01f =-，求得()f x 的解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可得解；（2）根据函数图象的变换法则写出()g x 的解析式，再结合正弦函数的对称性以及图象，即可得解. (1)解：设()f x 的最小正周期为T ，由图象可知73288T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则22T πω==， 故()()sin 2f x A x ϕ=+， 又38f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以3sin 4A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()32Z 42k k ππϕπ+=+∈，所以()2Z 4k k πϕπ=-+∈，因为2πϕ≤，所以4πϕ=-，所以()0sin 142f A A π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，所以A =所以()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，令()222Z 242k x k k πππππ-≤-≤+∈，则()3,Z 88x k k k ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦， 故()f x 的单调增区间为()3,Z 88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. (2)解：将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，由()20g x m -=，知sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()Z 42x k k πππ+=+∈可得()Z 4x k k ππ=+∈，由[]0,x π∈可得4x π=，若关于x 的方程()20g x m -=在区间[]0,π上有两个不同的解1x 、2x ， 则点()1,2x m 、()2,2x m 关于直线4x π=对称，故1224x x π+=，所以，2sin 242g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，作出函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2y m =在区间[]0,π上的图象如下图所示：221m ≤<时，即当122m ≤<函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与函数2y m =在区间[]0,π上的图象有两个交点.综上所述，1222x x g +⎛⎫= ⎪⎝⎭m 的取值范围是122⎡⎢⎣⎭. 20．已知函数f （x ）＝x |x ﹣m |＋n . (1)当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；(2)当m ＝1，n ＞1时，求函数y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值. 【答案】(1)0(2)最大值为2112,14212,n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩【分析】（1）利用f （x ）为奇函数，通过f （﹣x ）＝﹣f （x ），求解m 值即可. （2）化简函数的解析式，利用函数的单调性，求解函数的最大值，推出结果即可. (1)因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣0）＝﹣f （0）， 所以f （0）＝0，即n ＝0，所以f （x ）＝x |x ﹣m |， 又f （﹣1）＝﹣f （1），所以|1﹣m |＝|1＋m |，解得m ＝0， 此时f （x ）＝x |x |，对∀x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ）， 所以f （x ）为奇函数,故m ＝0. (2)f （x ）＝x |x ﹣1|＋n ＝22,1,1x x n x x x n x ⎧-++⎨-+>⎩所以f （x ）在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[1，n ]上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其中211(),()24f n f n n =+=，21111()()()2422f n f n n n n -=--=--，令214n n >+得，12n >12n >1()()2f n f >，2max ()f x n =.1n <≤1()()2f n f ≤，所以max 1()4f x n =+，因此y ＝f （x ）在[0，n ]上的最大值为2112,1421,2n n n n ⎧++⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩. 21．已知函数1()1og ()a f x a x =+，其中实数a ＞0且a ≠1.(1)若关于x 的函数2()()log a g x f x x =+在13,24⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，求a 的取值范围；(2)求所有的正整数m 的值，使得存在a ∈（0，1），对任意x ∈[m ，7]，均有不等式1()()|1|1xf f ax a>--成立. 【答案】(1)4(,1)(1,2)9⋃(2)6【分析】（1）求出g （x ）的解析式，令g （x ）＝0，则ax 2＋x ＝1，得到211()a x x =-，利用换元法求解函数的值域，得到a 的取值范围；（2）不等式转化为：1﹣a ＞x |ax ﹣1|，即a ﹣1＜ax 2﹣x ＜1﹣a ，对任意x ∈[m ，7]成立，推出()2max4971ax xa a -=-<-恒成立，利用函数的最值转化求解m 的范围，然后可得答案. (1)2221()()log log ()log log ()a a a a g x f x x a x ax x x =+=++=+，令g （x ）＝0，则ax 2＋x ＝1，由题意，13,24x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得ax 2＋x ＝1，所以211()a x x =-，令14(,2)3t x =∈，所以a ＝t 2﹣t ，在4(,2)3上单调递增，所以4(,2)9a ∈.所以a 的取值范围为4(,1)(1,2)9⋃(2)当a ∈（0，1）时，1()1og ()a f x a x=+在（0，＋∞）上单调递增，而*10,,|1|m N a ax >∈-∈（0，1），x ∈[m ，7]，01xa>-，所以1111|1|1x x f f ax a ax a ⎛⎫⎛⎫>⇔> ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 所以211a x ax ax x ->-=-，即a ﹣1＜ax 2﹣x ＜1﹣a ，对任意x ∈[m ，7]成立，x ＝7时，a ﹣1＜49a ﹣7＜1﹣a ，所以14825a <<，所以函数y ＝ax 2﹣x 的对称轴方程为125(,4)28x a =∈， 所以14,,7]825[a x m <<∈时，()2max 74,49712m ax x a a +≥-=-<-恒成立， 当m ≤3时，()2min 114ax x a a-=->-， 则﹣1＞4a 2﹣4a ，所以（2a ﹣1）2＜0，不可能，舍去；当4≤m ≤6时，()22min1ax xam m a -=->-，所以a （1﹣m 2）＜1﹣m ，即a （1＋m ）＞1， 即a ＞11m +，而11m +425≤，所以214m ≥，又6m ≤所有m 的正整数的取值为6.22．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为e e 2x xccc y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中c 为参数.当1c =时，该方程就是双曲余弦函数()e e cosh 2x xx -+=，类似的我们有双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=.(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值； ①()()22cosh sinh 1x x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ②()()()sinh 22sinh cosh x x x =；③()()()22cosh 2cosh sinh x x x =+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.(2)求证：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析，函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78； (2)证明见解析.【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算可证得①②③成立，令()e e sinh R 2x x t x --==∈，利用二次函数的基本性质可求得函数()()cosh 2sinh y x x =+的最小值；（2）,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，将所证不等式等价转化为cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-，分[],0x π∈-、0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦两种情况讨论，利用指数函数的单调性结合正余弦函数的性质可证得结论成立. (1)证明：选①，()()22222222c 1e e e 2osh sin e h e e 2e e 2244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎪++-=-=-= ⎪⎝⎭⎝⎭； 选②，()()()()()22e e e e e e sinh 222sinh cosh 222x x x x x x x x x ----+-==⨯=⨯；选③，()()()222222e e e e e e cosh 2cosh sinh 222x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫++-⎡⎤⎡⎤==+=+ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭. ()()22e e e e cosh 2sinh 22x x x xy x x --+-=+=+，令()e e sinh 2x x t x --==，因为函数e 2x y =、e 2xy -=-均为R 上的增函数，故函数()sinh y x =也为R 上的增函数，故()e e sinh R 2x x t x --==∈，则222e e 24x x t -+-=，所以()2cosh 221x t =+， 所以22177212488y t t t ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当14t =-时取“=”，所以()()cosh 2sinh y x x =+的最小值为78.(2)证明：,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cos cos sin sin e e e ecosh cos sinh sin 22x x x xx x --+->⇔> cos cos sin sin e e e e x x x x --⇔+>-，当[],0x π∈-时，cos cos e e 0x x -+>，sin 0sin x x ≤≤-，所以sin sin e e x x -≤，所以sin sin e e 0x x --≤，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，则022x x ππ<≤-<，且正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，cos sin sin 2x x x π⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，所以cos sin e e x x ≥，sin cos e 0e x x ---<<，所以cos cos sin sin e e e e x x x x --+>-成立，综上，,4x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()cosh cos sinh sin x x >.。

高 一 数 学第一学期期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上．1.已知集合{}5,4,3,2,1=U ,集合{}3,2,1=A ，{}4,3=B ,则=)(B C A U ___________ 2.计算：=-)3cos(π___________3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且2)2()3(=-+f f ，则=-)3()2(f f ___________4.函数612++-=x x y 的定义域为___________5.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正向，终边经过点)6,(-x P ，且53tan -=α，则x 的值为____________6.函数x y sin )21(=的值域为___________ 7.已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和)32cos(2)(π+=x x g 两图像的对称轴完全相同，则ω的值为____________8.设向量)2,2(),161,(t b t a ==，且b a //，则实数=t ____________ 9.函数)1(log 22x y -=的单调递增区间为____________10.已知向量)1,4(),2,2(==OB OA ,在x 轴上一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标为_______11.设向量)1,2(),2,(==b x a ，若b a 和的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为___________12.已知3cos sin cos sin =-+αααα，则=--αααα22cos cos sin sin 1___________ 13.关于x 的不等式0222≤++-a ax x 的解集为M ，如果[]M ⊆4,1，则实数a 的取值范围为______14.对于函数)(x f y =和其定义域的子集D ，若存在常数M ，使得对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，满足等式M x f x f =+2)()(21，则称M 为)(x f 在D 上的均值。

高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．（ 4 分）若集合 M={x|2 ﹣x ＜ 0} ， N={x|x ﹣ 3≤0} ，则 M ∩N 为（） A ． （ ﹣ ∞，﹣ 1）∪（ 2，3] B ．（﹣ ∞，3]C ．（ 2， 3]D ． （1， 3]2．（ 4 分） “ ”是 “A=30 °的”（）A ． 充分而不必要条件 C ． 充分必要条件B ． 必要而不充分条件 D ．既不充分也必要条件3．（ 4 分）下列函数中，既是偶函数又在（ A ． y=x3B ． y=|x|+1 0， +∞）内单调递增的是（）C ．y=﹣ x +12D ． y=2﹣ x4．（ 4 分）已知 sin α= ， α是第二象限的角，则 cos （π﹣ α）=（） A ．B ．C ．D ．5．（ 4 分）已知 f （ x ） = ，若 f （ x ） =3，则 x 的值为（）A ． 1 或B ． ±C ．D ． 1 或或6．（ 4 分）将函数 y=sin （ 2x+ ）图象上的所有点向左平移 个单位，得到的图象的函数解析式是（）A ． y=sin （ 2x+） B ． y=sin （ 2x+ ） C ．y=sin （ 2x ﹣ ） D ． y=sin2x7．（ 4 分） △ ABC 中，已知 a=2 A ． 60°B ． 30° ， b=2 ，A=60 °，则 B= （）C ．60°或 120°D ． 120°8．（ 4 分）若 x 满足不等式 |2x ﹣ 1|≤1，则函数 y=（ ） x的值域为（） A ． [0， ）B ． （ ﹣ ∞， ]C ．（ 0， 1]D ． [ ， 1]9．（ 4 分）函数在区间 [5 ， +∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（） A ． [6， +∞）B ． （ 6， +∞）C ．（ ﹣ ∞， 6]D ．（﹣ ∞， 6）10．（ 4 分）设 f （ x ）=asin （ πx+ α）+bcos （πx+ β），其中 a ，b ，α，β均为非零实数，若 f= ﹣ 1，则 f 等于（） A ． ﹣ 1B ． 1C ．0D ． 2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填写在题中横线上）11．（ 4 分）函数的定义域是．12．（ 4 分）若 sin α+2cos α=0，则 sin 2α﹣ sin αcos α=．13．（ 4 分）已知 f （x ）是以 2 为周期的奇函数，在区间 [0 ， 1] 上的解析式为 f （x ） =2x ，则 f （ 11.5） =．x14．（ 4 分） f （ x ）是 R 上的偶函数，当 x ≥0 时， f （ x ） =2 +1，若 f （ m ） =5，则 m 的值为．15．（ 4 分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是天．三、解答题（本大题共8 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（ 8 分）计算： log 24+（﹣ 1） ﹣（ ）+cos ．17．（ 10 分）设 a ，b ， c 分别是 △ ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边， S 是△ ABC 的面积，已知 a=4， b=5 ， S=5 ．（ 1）求角 C ； （ 2）求 c 边的长度．x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．18．（12 分）已知函数f（x）=a+b（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x ∈（﹣3，4] 时，求函数g（x）=log 2f（x）+x 2 6 的值域．﹣19．（12 分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a?b）=f （a）+f （b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f （4）的解集．20．（12 分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．22．（ 14 分）已知函数 f （ x ）=x 恒成立．求：（ 1） y=f （x ）的解析式；2 +（ a+1）x ﹣ b 2﹣2b ，且 f （ x ﹣ 1） =f （2﹣ x ），又知 f （ x ） ≥x （ 2）若函数 g （x ） =log 2[f （ x ）﹣ x ﹣1] ，求函数 g （x ）的单调区间．23．（ 14 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥 上的车流速度 v （单位：千米 / 小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/ 小时，研究表明：当 20≤x ≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． （Ⅰ）当 0≤x ≤200 时，求函数 v （ x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时） f （ x ） =x ?v （x ）可以达到最大，并求出最大值． （精确到 1 辆/小时）．（ ） 的值域为 江苏省苏州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上） C ．BB ． A ．C ． A ．7．（ 4 分） △ ABC 中，已知 a=2 ， b=2 ，A=60 °，则 B= （）A ． 60°B ． 30°C ． 60°或 120°D ． 120°考点 ： 正弦定理． 专题 ： 解三角形．分析： 由正弦定理可得： sinB== ， B=30 °+k360 °或 B=150 °+k360 °， k ∈Z ，由 0＜ B ＜180°， a=2＞ b=2，即可求 B 的值．解答： 解：∵由正弦定理可得： sinB=== =sin30 °．∴ B=30 °+k360 °或 B=150 °+k360 °， k ∈Z ， 又∵ 0＜B ＜ 180°，a=2 ＞b=2 ，∴由大边对大角可得： 0＜B ＜ 60°，∴ B=30 °． 故选： B ．点评： 本题主要考察了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．x8．（ 4 分）若 x 满足不等式 |2x ﹣ 1|≤1，则函数 y=（ ） 的值域为（）A ． [0， ）B ． （ ﹣ ∞， ]C ． （ 0， 1]D ． [ ， 1]考点 ： 函数的值域．专题 ： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由不等式可得 0≤x ≤1；从而化简求函数的值域．解答： 解：由不等式 |2x ﹣1|≤1 解得，0≤x ≤1； 则 ≤≤1；故函数 y= x[ ，1]； 故选 D ． 9．（ 4 分）函数 在区间 [5 ， +∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ． [6， +∞）B ． （ 6， +∞）C ． （ ﹣ ∞，6]D ．（﹣ ∞，6）﹣ 11．（ 4 分）函数的定义域是（ 0， 1]．12．（ 4 分）若 sin α+2cos α=0，则 sin α﹣ sin αcos α= 2． 解答： 解：∵ sin α+2cos α=0，∴移项后两边同除以 cos α可得： tan α=﹣ 2， ∴由万能公式可得： sin2α===﹣ ，cos2α= = =﹣ ，∴ sin α﹣ sin αcos α=2=﹣= ．考点 ： 复合函数的单调性． 专题 ： 函数的性质及应用．2t分析： 令 t=x ﹣ 2（ a ﹣1）x+1 ，则二次函数 t 的对称轴为 x=a ﹣ 1，且 f （ x ）=g （ t ）=2 ，故 函数 t 在区间 [5 ， +∞）上是增函数，故有 a ﹣ 1≤5，由此求得 a 的范围．解答： 解：令 t=x 2 2（ a ﹣ 1）x+1 ， t则二次函数 t 的对称轴为 x=a ﹣1，且 f （ x ） =g （ t ） =2 ，根据 f （ x ）在区间 [5 ，+∞）上是增函数， 故二次函数 t 在区间 [5 ，+∞）上是增函数， 故有 a ﹣1≤5， 解得 a ≤6，故选： C ．点评： 本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想， 属于中档题．10．（ 4 分）设 f （ x ）=asin （ πx+ α）+bcos （πx+ β），其中 a ，b ，α，β均为非零实数，若 f= ﹣ 1，则 f 等于（） A ． ﹣ 1B ． 1C ． 0D ． 2考点 ： 运用诱导公式化简求值．专题 ： 分析： 三角函数的求值． 把 x=2012 ， f= ﹣ 1 代入已知等式求出 asin α+bcos β的值，再将x=2013 及 asin α+bcos β 的值代入计算即可求出值．解答： 解：由题意得： f=asin+bcos=asin α+bcos β=﹣ 1，则 f=asin+bcos= ﹣（ asin α+bcos β） =1， 故选： B ．点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填写在题中横线上）13．（ 4 分）已知 f （x ）是以 2 为周期的奇函数，在区间 [0 ， 1] 上的解析式为 f （x ） =2x ，则 f （ 11.5） =﹣1．考点 ： 函数的周期性．专题 ： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由 f （ x ）是以 2 为周期的奇函数知 f （ 11.5） =﹣f （ 0.5） =﹣1． 解答： 解：∵ f （ x ）是以 2 为周期的奇函数，∴ f （ 11.5） =f （ 12﹣ 0.5） =f （﹣ 0.5） =﹣ f （ 0.5） =﹣ 1； 故答案为：﹣ 1．点评： 本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．x14．（ 4 分） f （ x ）是 R 上的偶函数，当 x ≥0 时， f （x ）=2 +1，若 f （ m ）=5，则 m 的值为 ±2．考点 ： 函数奇偶性的判断． 专题 ： 函数的性质及应用．分析： 根据函数奇偶性的性质进行求解即可． 解答： 解：若 m ≥0，则由 f （ m ）=5 得 f （ m ） =2m=4 ，解得 m=2 ， ∵ f （ x ）是偶函数， ∴ f （﹣ 2）=f （2） =5， 则 m= ±2， 故答案为： ±2m+1=5 ，点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，解方程即可，比较基础．15．（ 4 分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是 7 天．考点 ： 流程图的作用． 专题 ： 图表型．分析： 本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答． 解答： 解：由题意可知：工序 ①→ 工序 ② 工时数为 2；工序 ②→ 工序③ 工时数为2． 工序 ③→ 工序⑤ 工时数为2，工序 ⑤→ 工序⑥ 工时数为 1，所以所用工程总时数为： 2+2+2+1=7 天． 故答案为： 7．点评： 本题考查的是工序流程图 （即统筹图） ，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、 读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．即 2三、解答题（本大题共8 小题，共90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8 分）计算：log 24+（﹣1）﹣（）+cos ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质进行计算即可．解答：解：原式====1．点评：本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．17．（10 分）设a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A 、B、C 所对的边，S 是△ABC 的面积，已知a=4，b=5 ，S=5 ．（1）求角C；（2）求 c 边的长度．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由题意和三角形的面积公式求出，由内角的范围求出角C；（2）由（1）和余弦定理求出 c 边的长度．解答：解：（1）由题知，由S= absinC 得，，解得，又C 是△ABC 的内角，所以或；（2）当时，由余弦定理得= =21，解得；当时，=16+25+2 ×4×5×=61，解得．综上得，c 边的长度是或．点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式的应用，注意内角的范围．﹣x18．（12 分）已知函数f（x）=a+b（1）求f（x）的表达式；（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x ∈（﹣3，4] 时，求函数g（x）=log 2f（x）+x 2 6 的值域．考点：指数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把点代入即可求出f（x）的表达式，（2）根据指数的单调性，原不等式转化为2x＞x2﹣3，解不等式即可；2（3）根据对数函数的图象和性质，函数g（x）转化为g（x）=（x+1 ）﹣7，根据定义域即可求出值域解答：解：（1）由题知解得或（舍去）x∴数f（x）=4 ，（2）f（x）＞（），∴4x＞（），∴22x＞∴2x＞x 2 3解得﹣1＜x＜3∴不等式的解集为（﹣1，3），2 x 2 2 2（3）∵g（x）=log 2f（x）+x ﹣6=log 24 +x ﹣6=2x+x ﹣6=（x+1 ）﹣7，∴x∈（﹣3，4]，∴g（x）min =﹣7，当x=4 时，g（x）max=18∴值域为[ ﹣7，18]点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题19．（12 分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a?b）=f （a）+f （b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；2（2）不等式f（x ）＜2f （4）的解集．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（a?b）=f （a）+f （b），令a=b=1 得，令a=b=2 ，从而解得．（2）化简f（x2）＜2f （4）得f（x2）＜f（16）；从而由函数的单调性求解．解答：解：（1）∵f（a?b）=f （a）+f （b），﹣令 a=b=1 得， f （ 1） =f （1） +f （ 1）， ∴ f （ 1） =0；令 a=b=2，则 f （ 4） =f （2） +f （ 2） =2；2（ 2）∵ f （x ）＜ 2f （ 4）， ∴ f （ x 2f （16）； ∵ f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的增函数，2 ∴ 0＜ x ＜ 16；故﹣ 4＜x ＜ 0 或 0＜ x ＜ 4；故不等式 f （x 22f （ 4）的解集为（﹣ 4，0）∪（ 0， 4）． 点评： 本题考查了抽象函数的应用及单调性的应用，属于基础题．20．（ 12 分）已知函数 ．（Ⅰ）求 f （x ）的最小正周期： （Ⅱ）求 f （x ）在区间上的最大值和最小值．考点 ： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值． 专题 ： 三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期． （Ⅱ）利用 x 的范围确定 2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．解答： 解：（Ⅰ）∵，=4cosx （ ）﹣ 12= sin2x+2cos x ﹣ 1 = sin2x+cos2x=2sin （ 2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣ ≤x ≤ ，∴﹣≤2x+≤，∴当 2x+= ，即 x=时， f （ x ）取最大值 2，当 2x+=﹣时，即 x= ﹣时， f （x ）取得最小值﹣ 1．点评： 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．）＜）＜﹣ ﹣ 22．（ 14 分）已知函数 f （ x ）=x 恒成立．求：（ 1） y=f （x ）的解析式；2 +（ a+1）x ﹣ b 2﹣2b ，且 f （ x ﹣ 1） =f （2﹣ x ），又知 f （ x ） ≥x （ 2）若函数 g （x ） =log 2[f （ x ）﹣ x ﹣1] ，求函数 g （x ）的单调区间．考点 ： 专题 ： 对数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法． 函数的性质及应用．分析： （ 1）由 f （x ﹣ 1） =f （ 2﹣ x ），得出 f （ x ）的对称轴，求出 a 的值，再由 f （ x ）≥x 恒 成立， △ ≤0，求出 b 的值即可；（ 2）求出 g （ x ）的解析式，利用复合函数的单调性，判断 g （ x ）的单调性与单调区间． 解答： 解：（ 1）∵ f （ x ﹣ 1）=f（ 2﹣ x ），∴ f （ x ）的对称轴为 x= ；（ 1 分）又∵函数 f （x ） =x 2∴﹣= ，2+（ a+1） x ﹣b ﹣ 2b ，解得 a=﹣2，22∴ f （ x ） =x ﹣ x ﹣ b ﹣2b ； （ 1 分）又∵ f （ x ）≥x 恒成立， 即 x 2x ﹣ b 22b ≥x 恒成立，22也即 x ﹣ 2x ﹣ b ﹣ 2b ≥0 恒成立；∴△ =（﹣ 2） 24（﹣ b 2整理得 b 22b ） ≤0， （ 1 分） +2b+1 ≤0，2即（ b+1） ≤0； ∴ b=﹣ 1， （ 2 分） ∴ f （ x ） =x 2﹣ x+1 ；（ 1 分）（ 2）∵ g （ x ） =log 2[x 2x+1 ﹣ x ﹣ 1]=log 2（ x 2﹣2x ）， （ 1 分） 令 u=x 2﹣ 2x ，则 g （ u ） =log 2u ； 由 u=x 22x ＞ 0，得 x ＞ 2 或 x ＜ 0， （2 分） 当 x ∈（﹣ ∞，0）时， u=x 22x 是减函数， 2 当 x ∈（2， +∞）时， u=x ﹣ 2x 是增函数； （ 2 分） 又∵ g （u ） =log 2u 在其定义域上是增函数，（ 1 分）∴ g （ x ）的增区间为（ 2，+∞），减区间为（﹣ ∞， 0）． （ 2 分）点评： 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．23．（ 14 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥 上的车流速度 v （单位：千米 / 小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/ 小时，研究表明：当 20≤x ≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． （Ⅰ）当 0≤x ≤200 时，求函数 v （ x ）的表达式；﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 小时）f（x）=x ?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到 1 辆/小时）．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x ≤200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200 ，然后在区间[20，200] 上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200] 上的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x ≤20 时，v（x）=60；当20＜x ≤200 时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x ＜20 时，f（x）为增函数，故当x=20 时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200 时，当且仅当x=200 ﹣x，即x=100 时，等号成立．所以，当x=100 时，f（x）在区间在区间[0 ，200]上取得最大值为，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333 辆/ 小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333 辆/小时．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．。