福建省大田县一中2016届高三上学期第二次阶段考试数学试卷(文)

  • 格式:doc
  • 大小:556.00 KB
  • 文档页数:8

大田一中2015—2016学年第一学期第二次阶段质量检测高三数学试题(考试时间:2015年12月17日上午8:00-10:00 满分:150分 ) 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.命题“x ∀∈R ,20x >”的否定是 ( D )A. 20x ≤B.x ∃∈R ,20x >C.x ∃∈R ,20x <D.x ∃∈R ,20x ≤2.已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b + 与a b - 平行,则实数x 的值是( D )A .-2B .0C .1D .23. 已知集合{}2,0x M y y x ==>,{}lg N x y x ==,则M N 为 ( B ) A. (0,+∞) B. (1,+∞) C. [2,+∞) D.[1,+∞) 4.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于( A )2 C.65.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为( C )A. 22126x y -=B. 22162x y -=C. 2213y x -= D.2213x y -=6.已知实数52,,202m 构成一个等差数列,则圆锥曲线221x y m+= ( m<0) 的离心率为( B )D.56或7 7、设2a =5b=m ,且1a +1b=1,则m 等于( B )A .10B .10C .20D .1008.过点)2,2(P 的直线与圆5)1(22=+-y x 相切,且与直线01=+-y ax 垂直, 则a =(C )A .21-B . 1C . 2D .21 9. 已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( D )A .7 B.5 C .-5 D. -7 10.已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π,且其图像向右平移6π个单位后得到函数()()x x g ωsin =的图像,则函数()f x 的图像 ( B )A .关于直线512x π=对称B .关于直线12x π=对称 C .关于点(,0)12π对称 D .关于点5(,0)12π对称 11.已知抛物线方程为y 2=4x ,直线l 的方程为x -y +4=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1,P 到直线l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值是( D )A.522+2 B.522+1 C.522-2 D.522-1 12、定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,[)[)13log (1),0,2()14,2,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩,则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为( B ) A .31a - B .13a - C .31a -- D .13a -- 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若(1)(2)i i a bi ++=+,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=___________.4 14.已知条件p :x 2﹣3x ﹣4≤0;条件q :x 2﹣6x+9﹣m 2≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数m 的取值范围是 .解:∵条件p :x 2﹣3x ﹣4≤0;∴p :﹣1≤x ≤4,∵条件q :x 2﹣6x+9﹣m 2≤0,∴q :3﹣m ≤x ≤3+m , 若P 是q 的充分不必要条件,则,解得:m ≥4,15.已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是 .4[,5]516、已知双曲线上存在两点关于直线对称,且中点在抛物线上,则实数的值为________.0或-8三.解答题(17题到21题每题12分,选修题10分,共70分)17.(本题满分12分) 已知等差数列{a n }的首项a 1=2,a 7=4a 3,前n 项和为S n . (1) 求a n 及S n ; (2) 设b n =44n n S a n--,n ∈N *,求b n 的最大值.(1) 设公差为d ,由题意知a 1+6d =4(a 1+2d ), 2分 由a 1=2解得d =-3,故a n =-3n +5, …… 4分S n =2372n n -+,n ∈N *. … 6分(2) 由(I)得b n =44n n S a n --=312-32(n +16n). 8分由基本不等式得 n +16n≥=8,… 10分所以b n =312-32(n +16n )≤72,又当n =4时,b n =72. 从而得b n 的最大值为72.…… 12分18.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,60CAB ∠= ,4,AC BC ==(Ⅰ)求△ABC 的面积;(Ⅱ)若函数,0,0)(sin()(>>+=ωϕωM x M x f |ϕ|)2π<的图像经过A 、C 、B三点,且A 、B 为()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点,求()f x 的解析式 .(Ⅰ)在△ABC 中由余弦定理可知:3cos2222πbc c b a -+= …………2分∴24120c c --=6c AB ∴== …………4分363sin 6421=⋅⋅=∆πABC S ……6分 (Ⅱ) T=2×6=12, ∴6πω=………8分 ∵M M f =+⋅=)16sin()1(ϕπsin()16π∴+ϕ=,2,62k k Z ππ∴+ϕ=π+∈ 2πϕ< ,3π∴ϕ=. …………10分又323sin)0(==πM f ,4=∴M)36sin(4)(ππ+=∴x x f . ……………12分19.(本小题满分12分)如图,已知长方形ABCD中,AB =,AD =,M 为DC的中点.将ADM ∆沿AM 折起,使得平面ADM ⊥平面ABCM . (Ⅰ)求证:AD BM ⊥;(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点, 问点E 在何位置时,三棱锥E ADM -的体积 与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3?.(Ⅰ) 证明:∵长方形ABCD 中, AB=22,AD=2,M 为DC 的中点, ∴AM=BM=2,∴BM⊥AM . ………………2分 ∵平面ADM⊥平面ABCM ,平面ADM∩平面ABCM=AM ,BM ⊂平面ABCM ∴BM⊥平面ADM ∵AD ⊂平面ADM ∴AD⊥BM …6分 (Ⅱ)E 为DB 的中点. …………7分1112122233E ADM B ADM D ABM D ABCM D ABCM V V V V V -----===⋅= ……12分20.(本题满分12分)设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. (1)当m e =(e 为自然对数的底数)时,求()f x 的极小值;第19题图(2)讨论函数()'()3xg x f x =-零点的个数; 解:(1)由题设,当m =e 时,f (x )=ln x +e x,则f ′(x )=x -ex2, ∴当x ∈(0,e),f ′(x )<0,f (x )在(0,e)上单调递减, 当x ∈(e ,+∞),f ′(x )>0,f (x )在(e ,+∞)上单调递增,∴当x =e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +ee=2,∴f (x )的极小值为2. 6分(2)由题设g (x )=f ′(x )-x 3=1x -m x 2-x3(x >0),令g (x )=0,得m =-13x 3+x (x >0).设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0),则φ′(x )=-x 2+1=-(x -1)(x +1),当x ∈(0,1)时,φ′(x )>0,φ(x )在(0,1)上单调递增; 当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,φ(x )在(1,+∞)上单调递减. ∴x =1是φ(x )的唯一极值点,且是极大值点, 因此x =1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)=23. 9分又φ(0)=0,结合y =φ(x )的图象(如图),可知①当m >23时,函数g (x )无零点;②当m =23时,函数g (x )有且只有一个零点;③当0<m <23时,函数g (x )有两个零点;④当m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述,当m >23时,函数g (x )无零点;当m =23或m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点;当0<m <23时,函数g (x )有两个零点. 12分21. 在平面直角坐标系y x 0中,已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 经过(0,1),且离心率22=e , (1)求椭圆方程。

(2)经过点()2,0且斜率k 的直线l 与椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 有两个不同的交点P 和Q.①求k 的取值范围.②设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B,是否存在常数k ,使的向量Q O P O+与B A 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.解: (1)依题意得椭圆方程为2212x y +=(2) ①由已知条件,直线l 的方程为2+=kx y 代入椭圆方程得1)2(222=++kx x①整理得(0122)21(22=+++kx x k 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于△=024)21(48222>-=+-k k k 解得.2222>-<k k 或 即k 的的取值范围为).,22()22,(+∞⋃--∞ ②设P(),(),,2211y x Q y x , 则Q O P O+=),(2121y y x x ++ 由方程①得,2124221k kx x +=+ 又22)(2121++=+x x k y y 而A ),1,2(),1,0(),0,2(-=B A B 所以Q O P O+与B A 共线等价于)(22121y y x x +-=+解得,22=k由(1)知.2222>-<k k 或矛盾,故没有符合题意的常数k . 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ,延长CF 交AB 于E .(1) 求证:E 是AB 的中点;(2)求线段BF 的长.22.解:(1)证明:连结,DF DO ,则CDO FDO ∠=∠,因为BC 是的切线,且CF 是圆D 的弦,所以12BCE CDF ∠=∠,即CDO BCE ∠=∠,故Rt Rt △△CDO BCE ≅,所以12EB OC AB ==; ---------------------5分23. (本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线1C 的极坐标方程为32cos 2=θρ,曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12t y mt x ,(t 是参数,m是常数)(1)求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程;(2)若2C 与1C 有两个不同的公共点,求m 的取值范围. .解:(1)由极直互化公式得3)sin (cos:2221=-θθρC ,所以322=-y x ;----2分消去参数t 得2C 的方程:122--=m x y ---------------4分(2)由(1)知1C 是双曲线,2C 是直线,把直线方程代入双曲线方程消去y 得:2234(21)4440x m x m m -++++=,-------------------------7分若直线和双曲线有两个不同的公共点, 则2216(21)12(444)0m m m ∆=+-++>, 解得:21-<>m m 或-----------10分 24.选修4-5:不等式选讲 设函数()f x x a =-.(Ⅰ)当2a =时,解不等式()41f x x ≥--; (Ⅱ)若()1f x ≤的解集为[]0,2,()110,02a m n m n+=>>,求证:24m n +≥. 解:(1)当2a =时,不等式为214x x -+-≥,不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭; ---------------- 5分(2)()1f x ≤即1x a -≤,解得11a x a -≤≤+,而()1f x ≤解集是[]0,2,∴1012a a -=⎧⎨+=⎩,解得1a =,所以()1110,02m n m n +=>>所以112(2)42m n m n m n ⎛⎫+=++≥⎪⎝⎭.----------------- 10分。