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一元二次方程培优专题(教师版)

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一元二次方程培优专题Part1 可化为一元二次方程的高次方程在遇到这类可转化为一元二次方程的高次方程时，通常有两种转化方法．1．因式分解法：如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可以用因式分解法．2．整体换元法：在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的．Part2可化为一元二次方程的分式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的分式方程时，通常有两种转化方法．1．去分母法：在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解．2．整体换元法：在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的．注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，分母不为0，在这个过程中可能产生增根．Part3 可化为一元二次方程的绝对值方程在遇到这种可转化为一元二次方程的绝对值方程时，通常有两种转化方法．1．分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论．第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x的取值，由此划分x取值．第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程．第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内．第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根．2．整体换元法：在遇到一个特定的方程时，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换元法．注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性．Part4 可转化为一元二次方程的根式方程在遇到这类可转化为一元二次方程的根式方程时，通常有两种转化方法．1．两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程．2．整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换元法．特别注意：在根式中解的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根．【例1】解方程：（1）x x x 53+5+6=0（2）()x x x x 222-2-3=2-4-7（3）()()=x x 331999-+-19981【答案】（1）由题意得()x x x 42+5+6=0，所以x =0或x x 42+5+6=0，当x x 42+5+6=0时，得()()x x 22+2+3=0， 此时方程无解．综上所述，原方程得解为x =0． （2）令t x x 2=-2-3，则x x t 2-2=+3，代入原方程得：()t t 2=2+3-7，即得到t t 2-2+1=0，()t 2-1=0，t =1， 将t 的表达式代入得x x 2-2-3=1，即x x 2-2-4=0，解得x =1±所以x x 12=1+=1-（3）令t x =1999-，则x t -1998=1-，则()=t t 33+1-1，所以t t 23-3+1=1， 得t 1=0，t 2=1，将t 的代数式代入得到x 1=1999，x 2=1998．【例2】解分式方程：（1）x x x x2142++=1+2-42-（2）()()x x x x 222+16+1+=7+1+1【答案】（1）把第三个分式的分母x 2-变形为x -2，得()()x x x x x 142+-=1+2+2-2-2． 方程两边都乘以()()x x +2-2，得()()()x x x x x -2+4-2+2=+2-2， 即x x 2-3+2=0，解得x 1=1，x 2=2．检验：把x =1化入最简公分母，它不等于0，所以x =1是原方程的根； 把x =2代入最简公分母，它等于0，所以x =2是增根． 因此原方程的根是x =1．（2）设x y x 2+1=+1，那么x x y 2+11=+1，于是原方程变形为y y 62+=7． 方程的两边都乘以y ，约去分母，得y y 22-7+6=0．解这个方程，得y 1=2，y 23=2．当y =2时，x x 2+1=2+1，去分母，整理得x x 2-2-1=0．所以x =，当y 3=2时，x x 2+13=+12，去分母，整理得x x 22-3-1=0．所以x ．检验：把x x 分别原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根．综上：原方程的根是x 1x 2，x 3，x 4 【例3】（1）x x x x x2212-6++2+=0 （2）x x x x 4322+3-16+3+2=0（3）x x x x x 54326-41+97-97+41-6=0【答案】（1）换元的方法x 1=1，x 2=-2x 3=-2（2）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22322+3-16++=0，即x x x x 2211⎛⎫⎛⎫2++3+-16=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令t x x1=+，则x t x 2221+=-2，所以方程可化为：()t t 22-2+3-16=0，即：t t 22+3-20=0，解得t 1=-4，t 25=2，解得x x 1+=-4，或x x 15+=2，∴x 1=-2+x 2=-2x 31=2，x 4=2．（3）观察知x =1为原方程的一个解，于是x -1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432-16-35+62-35+6=0．得x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，x 5=1．【例4】解方程()||x x 22-1-32-1+2=0．【答案】原方程可写为||||x x 22-1-32-1+2=0，令||t x =2-1，得t t 2-3+2=0，即()()t t -1-2=0，解得t 1=1，t 2=2．由||x 2-1=1，得x 1=0，x 2=1．由||x 2-1=2，得x 33=2，x 41=-2．∴原方程的根为x 1=0，x 2=1，x 33=2，x 41=-2． 【例5】解方程：（1）||x x 2-2-1-4=0（2）()()x x x -2+3=3+【答案】（1）令,x 2-1=0得x 1=2，以12为分界点把数轴划分为两个区间，分别求解． ①当x 1<2时，则x 2-1<0，原方程可化为x x 2+2-5=0．所以x =x =；②当≥x 12时，则≥x 2-10，原方程可以化为x x 2-2-3=0，所以x =3或x =-1（舍去）．综上所述，原方程的解为x 1=-1-，x 2=3．（2）分情况讨论：令()()x x -2+3=0得x =2或x =-3，以-3和2为分界点把数轴划分为四个区间，分别求解．①当≥x 2时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即x 2=9， 解得：x 1=3，x 2=-3（舍去）；②当≤x -3<2时，方程化为()()x x x --2+3=3+，即x x 2+2-3=0， 解得：x 3=1，x 4=-3；③当x <-3时，方程化为()()x x x -2+3=3+，即=9x 2， 解得：x 5=3（舍去），x 6=-3（舍去），综上所述，原方程的解为x 1=3，x 2=1，x 3=-3．【例6】解方程：（12 （2=（3【答案】（12；两边平方，得x x +8=5+20+4，x --4；两边平方整理，得x x 2+3-4=0，解得x 1=-4，x 2=1；经检验，x 2=1是增根，舍去，x 1=-4是原方程的根．（2）x x x 2+1+-3+=4；x +2=()x x x x 22+4+4=42-5-3；x x 27-24-16=0；()()x x 7+4-4=0，∴x 14=-7，x 2=4；经检验，x 14=-7是增根，舍去；x 2=4是原方程的根．（3）y =，y 1=，于是原方程可变形为y y 2-=1化为整式方程得y y 2--2=0，解之得y 1=2，y 2=-1；当y =22，解得x =10，当y =-1=-1，无实数解；经检验x =10是原方程的解． 【例7】x 7x 7，两边同时平方得x x x x x 2227+9+13=49+7-5+13-14整理得x x 249-14=14两边同时除以()x x 7≠0，得x 7-2=， 两边同时平方得x x x x 2249-28+4=28-20+52， 整理得()()x x 3+47-12=0，解得x 14=-3，x 212=7，经检验，x 4=-3是原方程的增根，则原方程的解为：x 12=7．【课后作业】1.解方程：()()x x x x 22++1+=22. （1）x x x x x x 2+11+5-=-33-3（2）x x x x 2213--2=1-1-3. （1）x x x x 2⎛⎫⎛⎫+5+6=0 ⎪ ⎪+1+1⎝⎭⎝⎭（2）()()x x x x x x 22228+23-1+=11-1+2 （3）x x x x 2318⎛⎫2-+12=-5 ⎪⎝⎭4. 解方程：（1）x x x x 4326-35+62-35+6=0（2）22+229+x x x x x 54326-9+77-6=05. 解方程：||||x x x -3+2=06.解方程：（13（25=0【作业答案】1. 令x x y 2+=，原方程为y y 2+-2=0，y 1=-2，y 1=1．由y 1=-2，得x x 2++2=0，因为<△0，所以无解．由y 2=1，得x x 2+-1=0，x =． 2. （1）x =-4，x =1（舍去，增根）；（2）x 1=-3，x =1（增根）；3.（1）x 12=-3，x 23=-4；（2）设x xy x 22+2=-1，得y 13=8，y 2=1，由y 13=8，得x 11=-5，x 2=-3，由y 2=1，得x 1=-2．（3）先别忙着把x x 23⎛⎫2- ⎪⎝⎭展开．把等号右边各式都移到等号左边，得x x x x 2318⎛⎫2-+12-+5=0 ⎪⎝⎭．可变形为x x x x 233⎛⎫⎛⎫2-+62-+5=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设x y x 32-=， 原方程可化为y y +6+5=0．所以y 1=-1，y 2=-5．由x x 32-=-1，得x x 22+-3=0，得x 13=-2，x 2=1．由x x 32-=-5，得x x 22+5-3=0．得x 3=-3，x 41=2．经检验，这四个根都适合．所以原分式方程的解是x 13=-2，x 2=1，x 3=-3，x 41=2．4. （1）显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1），令y x x1=+，则y x x 2221=++2，所以方程（1）可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2，x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．（2）观察知x =-1为原方程的一个解，于是x +1必为左边代数式的一个因式．于是有()()x x x x x 432+16-35+62-35+6=0．得-x =1或x x x x 4326-35+62-35+6=0， 下面来解x x x x 4326-35+62-35+6=0， 显然x ≠0，两边同除以x 2，得：x x x x 22166-35+62-35+=0，即：x x x x 2211⎛⎫⎛⎫6+-35++62=0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令y x x 1=+，则y x x2221=++2，所以方程可化为：()y y 26-2-35+62=0，即：y y 26-35+50=0．解得：y 15=2，y 210=3，即x x 15+=2或x x 110+=3．解得：x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3．于是原方程的解为x 1=2，x 21=2，x 3=3，x 41=3，-x 5=1．5. （1）当x <0时，原方程化为x x 2-3-2=0，解得x =x =（舍去）；（2）当≥x 0时，原方程化为x x 2-3+2=0，解得x =1或x =2；综上所述，原方程有3个解：x 1，x 2=1，x 3=2．6.（1）先把一个根号移到右边，然后两边同时平方，最后解得x =1；（2）换元法，最后得到x 3=5．。

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(教师)一元二次方程综合培优

(教师)一元二次方程综合培优

七中近几年考试真题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是（ D ） A 、2001 B 、2002 C 、2003 D 、2004 答案：D解：由0200052=--x x 得：200042+=-x x x()()()()20042004224421122112222223=-+=-+-++-=-+--+-=-+---x x x x x x x x x x x x x2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a .答案：2002解：由0120042=+-a a 得：a a 200412=+，120042-=a a ，20041=+aa原式()200212200420044007120042=+-=+--=aa a a a3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba.答案：57解：由05200572=++b b 得：0712005152=+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛b b∵1≠ab ，即ba 1≠∴把a 和b 1作为一元二次方程07200552=++x x 的两根∴571==⨯b a b a答案：897分析：此题只需先令06≥=-t x ，用x 表示t ，代入求y 关于t 的二次函数的最值即可。

解：令06≥=-t x ，26t x -=则811241212221262222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=+-=-+=t t t t t x x y又0≥t ，且y 关于t 的二次函数开口向下，则在41=t 处取得最大值即y 最大值为8112，即8976、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）A 、0 abB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 答案：B分析：由0=++c b a ，2=abc ，0 c ，得到a ，b 两个负数，再由c b a -=+，cab 2=，这样可以把a ，b 看作方程022=++c cx x 的两根，根据根的判别式得到0242≥⨯-=∆cc ，解得2≥c ，然后由c b a -=+得到2-≤+b a .解：∵0=++c b a ，2=abc ，0 c ∴0 a ，0 b ，0 c∴c b a -=+，cab 2=∴可以把a ，b 看作方程022=++ccx x∴0242≥⨯-=∆cc ，解得2≥c∴()2≥+-=b a c ，即2-≤+b a7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 答案：0分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口。

培优专题01 一元二次方程的解法-解析版

培优专题01 一元二次方程的解法-解析版

培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)

一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。

解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。

给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。

解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。

根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。

由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。

公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。

由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。

因式分解法还可推广到高次方程。

2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。

事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。

我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。

下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。

原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。

在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。