福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学（答案在最后）一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.122.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b> B.22b a< C.11a b< D.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.355.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3B.2C.D.7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是518.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF =D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A.310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a ca B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x ea a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22α=，则1cos sin αα+的值是（）A.2B.2C.D.12【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan 22α=，则212cos 11cos 2sin 2sin cos 22ααααα+-+=2cos 2sin cos 22ααα=1tan 2α=12=.故选：D 2.已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则z =（）A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出．【详解】由已知()()()()2i 1i 13i1i 1i 22z --==-+-，则13i 22z =+.故选：B .3.若0a b <<，则下列结论正确的是（）A.ln ln a b >B.22b a < C.11a b< D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断B ，C ，利用对数函数和指数函数的性质判断A ，D.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上单调递增，0a b <<，所以ln ln b a >，A 错误，因为0a b <<，由不等式性质可得220a b <<，B 错误，因为0a b <<，所以0a b -<，0ab >，所以110a b b a ba --=<，故11b a<，C 错误，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞，上单调递减，0a b <<，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴D 正确，故选：D.4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含4x 的项的系数为（）A.20B.25C.30D.35【答案】B 【解析】【分析】根据所有项的系数之和求解n ，写出(1)n x +的展开式，求3x 与二项式中含3x 的项相乘所得的项，-1与二项式中含4x 的项相乘所得的项，两项相加，即为(31)(1)n x x -+的展开式中含4x 的项.【详解】所有项的系数之和为64，∴(31)(11)64n -+=，∴5n =5(31)(1)(31)(1)n x x x x -+=-+，5(1)x +展开式第1r +项515r r r T C x -+=，2r =时，2333510T C x x ==，3431030x x x ⋅=，1r =时，144255T C x x ==，44(1)55x x -⨯=-，44430525x x x -=，故选：B ．5.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（）A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由图像得出解析式，再由正弦函数的单调性判断即可.【详解】根据函数()()2sin (0)f x x ωϕω=+>的部分图像，可得1122544312T πππω⋅=⋅=-解得2ω=，∴函数()()2sin 2f x x ϕ=+再把5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数的解析式，可得52sin 26ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴5sin 1,2πZ ,63k k ππϕϕ⎛⎫+=∴=-+∈⎪⎝⎭（）故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令222,232k x k k Z πππππ--+∈ ，得51212k x k πππ-π+ ，当1k =时，函数()f x 的一个单调递增区间是1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3F QF ∠=，则C 的离心率为（）A.3 B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，再由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a ，c 的关系，可求出离心率．【详解】1:1:2F P PQ =，设1||PF x =，则||2PQ x =，1||3QF x =，由双曲线的定义可得2||2PF a x =+，2||32QF x a =-，因为122cos 3F QF ∠=，在12QF F 中，由余弦定理有222121212122cos F F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠，即22224(3)(32)3(32)32c x x a x x a -⨯=+--⨯，①在2PQF 中，由余弦定理有222222122cos PF PQ QF PQ QF F QF =+-⋅⋅∠，即2222(2)(32)(2)(32)(2)32a x x a x x a x -+=-+-⨯，②由②可得83x a =，代入①可得229c a =，即3c a =.所以C 的离心率为：3ce a==，故选：A.公众号：高中试卷君7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ，满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ，则（）A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是51【答案】A 【解析】【分析】不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.可得10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.解得3d <-.可得()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，可得22010k d =-，解出即可得出.【详解】解：不妨设10a >，0d <，由对称性可得：2,*n k k N =∈.则10k k a a +>⎧⎨<⎩，130k a ++<.()110a k d +->，10a kd +<，130a kd ++>∴3d <-∴()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ，∴22010k d =-，∴220103k-<-，解得：k <，∴2k <，∴250k ≤.∴n 的最大值为50.故选：A .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质､方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.8.对于曲线22:1C x y --+=，给出下列三个命题：①关于坐标原点对称；②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点．其中正确的命题个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分析两个曲线的对称性，并结合函数的图象和性质，利用数形结合，即可判断①③，利用基本不等式，即可判断②.【详解】①将曲线22:1C x y --+=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，故①正确；②设曲线C 上任一点为(),P x y ()222222222211224y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当2222y x x y=，即222x y ==时，等号成立，2≥，曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2，故②正确；③曲线3x y +=中的x 换成x -，将y 换成y -，方程不变，所以曲线关于原点对称，并且关于x 轴和y 轴对称，并且将x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线也关于y x =对称，曲线2211:1C x y +=中，21x ≥且21y ≥，将曲线2211:1C x y+=中的x 换成y ，y 换成x ，方程不变，所以曲线C 也关于y x =对称，当0,0x y >>时，联立22111x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得x y ==，当0,0x y >>时，y ==1x >时，函数单调递减，3<，所以点在直线3x y +=的下方，如图，在第一象限有2个交点，根据两个曲线的对称性可知，其他象限也是2个交点，则共有8个交点，故③错误；故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是③的判断，判断的关键是对称性的判断，以及将方程转化为函数，判断函数的单调性，即可判断.二、多选题9.已知22()1xf x x =+，则下列说法正确的有（）A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，利用奇函数的定义进行判断；对于B ，D ，利用判别式法求其值域；对于C ，利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ，()221xf x x =+，其定义域为R ，有()()221x f x f x x -=-=-+，为奇函数，A 正确；对于B ，221xy x =+，变形可得220yx x y -+=，则有2440y ∆=-≥，解可得11y -≤≤，即函数的值域为[]1,1-，B 正确，对于C ，()221xf x x =+，任取12,x x R ∈，且12x x <，则1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，当12,[1,1]x x ∈-，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 的递增区间是[1,1]-，所以C 正确，对于D ，由选项B 的结论，D 错误，故选：ABC ．10.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在准线上，过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ，B 两点，则（）A.PF 最小值为2B.若PA PB =，则2AB PF =C.若8AB =，则PF = D.若点P 不在x 轴上，则2FA FB PF⋅>【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F ，抛物线的准线方程为=1x -，设()1,P m -，2PF ==≥=，所以点P 在横轴上时PF 有最小值2，所以选项A 正确；若PA PB =，根据抛物线的对称性可知点P 在横轴上，把1x =代入24y x =中，得2y =±，()224AB =--=，此时2PF =，于是有2AB PF =，所以选项B 正确；因为8AB =，显然点P 不在横轴上，则有22PF AB m k k m=⇒=-，所以直线AB 的方程为()21y x m=-代入抛物线方程中，得()2244240x x m -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，2122x x m +=+22121182284AB x x m m =+++=⇒++=⇒=，PF ===，所以选项C 正确，点P 不在x 轴上，由上可知：2122x x m +=+，121=x x ，()()22121212111224x x x x x x FA FB m m =++=+++=++=+⋅，而224PFm =+，显然2FA FB PF ⋅=，所以选项D 不正确，故选：ABC11.已知随机变量X 、Y ，且31,Y X X =+的分布列如下：X 12345Pm11015n310若()10E Y =，则（）A .310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =【答案】AC 【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出,m n 可判断ABC ；由方差公式可判断D .【详解】由113110510m n ++++=可得：25m n +=①，又因为()()()313110E Y E X E X =+=+=，解得：()3E X =，故C 正确.所以()1132345310510E X m n =+⨯+⨯++⨯=，则7410m n +=②，所以由①②可得：13,1010n m ==，故A 正确，B 错误；()()()()()2222231113()1323334353101051010D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯3113134114101010105=⨯+⨯+⨯+⨯=,()()13117()319955D Y D X D X =+==⨯=，故D 错误.故选：AC .12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（）A.当112a =时，()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列，则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列，则12a > D.当13a =时，1221n n a -=+【答案】AD 【解析】【分析】令1n n b a =-可得21n n b b +=，据此判断A ，令n a t =，由递推关系222t t t =-+求出即可判断B ，根据B 及条件数列{}n a 为递增数列，分类讨论求出10a <或12a >时判断C ，通过对21n n b b +=取对数，构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A ，当112a =时，254a =，令1n n b a =-，则21n n b b +=，214b =，故()1024n b n <≤≥，即()5124n a n <≤≥，A 正确；对于B ，若数列{}n a 为常数列，令n a t =，则222t t t =-+，解得1t =或2,1n t a =∴=或2n a =，B 不正确；对于C ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，若数列{}n a 为递增数列，则数列{}n b 为递增数列，则210n n n n b b b b +-=->，解得0n b <或1n b >.当11b <-时，2211b b =>，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列；当110b -≤<时，201b <≤，且21n n b b +=，2312,n b b b b b ∴≥≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅<，此时数列{}n b 不为递增数列，即数列{}n a 不为递增数列；当11b >时，21n n b b +=，123n b b b b ∴<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅，此时数列{}n b 为递增数列，即数列{}n a 为递增数列.综上，当11b <-或11b >，即10a <或12a >时，数列{}n a 为递增数列，C 不正确；对于D ，令1n n b a =-，则21n n b b +=，12b =，两边同时取以2为底的对数，得212log 2log n n b b +=，21log 1b =，∴数列{}2log n b 是首项为1，公比为2的等比数列，12log 2n n b -∴=，即11222,21n n n n b a --=∴=+，D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题所给数列的递推关系并不常见，对学生的理性思维要求比较高，求解时将已知条件变为()2111n n a a +-=-是非常关键的一步，再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断，既有求解数列的项的取值范围的问题，又考查了数列的单调性、数列通项的求解，要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大，起到压轴的作用.公众号：高中试卷君三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________．【答案】()1,-+∞【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解：由1020x x +>⎧⎨+≠⎩，可得1x >-，所以函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是()1,-+∞，故答案为：()1,-+∞.14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________．【答案】()2212x y +-=【解析】【分析】求出圆心和半径可得答案.【详解】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)，圆的半径为R ==，故圆的方程为：22(1)2x y +-=．故答案为：22(1)2x y +-=．15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=，若()1g x +为奇函数，()23f =，则311()k g k ==∑__________．【答案】1-【解析】【分析】由()f x 的对称性及()()24f x g x -+=得()()2g x g x =--，再由()1g x +为奇函数得()()4g x g x =--，从而得()()8g x g x -=，即()g x 是周期为8的周期函数，再利用周期可得答案.【详解】由()1g x +为奇函数，得()()11g x g x -+=-+，即()()2g x g x -=-，由()()6f x f x -=+，得()()()2422f x f x f x ⎡⎤-=+=---⎣⎦，又()()24f x g x -+=，于是()()442g x g x -=---，即()()2g x g x =--，从而()()22g x g x -=---，即()()4g x g x +=-，因此()()()84g x g x g x -=--=，函数()g x 的周期为8的周期函数，显然(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)0g g g g g g g g +=+=+=+=，又(32)(0)4(2)1g g f ==-=，所以83111()4()(32)4011k k g k g k g ===-=⨯-=-∑∑.故答案为：1-【点睛】结论点睛：函数()f x 关于直线x a =对称，则有()()f a x f a x +=-；函数()f x 关于(,)a b 中心对称，则有()2()2f a x f x b -+=；函数()f x 的周期为2a ，则有()()f x a f x a -=+.四、解答题16.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan 4S ac B =⋅.（1）求B ；（2）若a ､b ､c 成等差数列，ABC 的面积为32，求b .【答案】（1）6π（2）1+【解析】【分析】（1）由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B ；（2）由a ､b ､c 成等差数列，可得22242a c b ac +=-，再由ABC 的面积为32，可得6ac =，然后利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵1sin tan 24S ac B ac B ==，∴1sin sin 24cos B B B =⋅，即3cos 2B =，∵0B π<<，∴6B π=.【小问2详解】∵a ､b ､c 成等差数列，∴2b a c =+，两边同时平方得：22242a c b ac +=-，又由（1）可知：6B π=，∴113sin 242S ac B ac ===，∴6ac =，222412a c b +=-，由余弦定理得，22222241243cos 21242a cb b b b B ac +----====，解得24b =+，∴1b =+17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +，结合题意分析判断.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c a B =-.（1）证明：2B A =；（2）若3a =，b =，求c ．【答案】（1）证明见解析（2）5c =【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简2cos a c a B =-可得sin sin()A B A =-，结合角的范围，可证明结论；（2）由正弦定理可得sin sin 3B A =，结合（1）的结论利用二倍角公式可求出cos 3A =，继而求得cos B ，结合已知条件即可求得答案.【小问1详解】由2cos a c a B =-及正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-．因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，所以B A A -=，或πB A A -+=（即B π=，不合题意，舍去），所以2B A =．【小问2详解】由正弦定理可得sin 26sin 3B b A a ==，由（1）知sin sin22sin cos B A A A ==，代入上式可得6cos 3A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=，再由条件可得12cos 3653c a a B =+=+⨯=．19.双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰.最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A ）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B ），若A 胜则A 获得冠军，若B 胜则双方再次对阵，胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局.（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ，求M 的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ，求ξ的分布列.【答案】（1）47；（2）①427；②答案见解析.【解析】【分析】（1）先求出8人平均分成四组的方法数，再求出甲，乙，丙都不分在同一组的方法数，从而可求得答案；（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，有两种情况：“胜，败，败”和“败，胜，败”，然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由题意可得{}3,4,5,6,7ξ∈，然后求出各自对应的概率，从而可得ξ的分布列【详解】（1）8人平均分成四组，共有2222864244C C C C A 种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A ，所以()352222864244A P A C C C C A =47=（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333333⨯⨯+⨯⨯427=②若甲在第一轮获胜，{}3,4,5,6,7ξ∈.当3ξ=时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即()1113339P ξ==⨯=.当4ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327⨯⨯=；（ii ）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率为12211433327C ⋅⨯⨯=，所以()844427279P ξ==+=当5ξ=时，有两种情况：（i ）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327⨯⨯=；（ii ）甲在接下来的2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为1221218333381C ⋅⨯⨯⨯=；所以()48205278181P ξ==+=.当6ξ=时，有两种情况：（i ）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为2212833381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；（ii ）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；所以()8832681243243P ξ==+=.当7ξ=时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即()41216733243P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列为：ξ34567P 194920813224316243【点睛】关键点点睛：此题考查互斥事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，解题的关键是正确理解题意，求出3,4,5,6,7ξ=对应的概率，考查分析问题的能力，考查计算能力，属于中档题20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos()1B A C ++=.（1）求角B 的大小；（2）若M 为BC 的中点，且AM AC =，求sin BAC ∠.【答案】（1）3π（2）7【解析】【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式计算可得；（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．【小问1详解】解：在ABC 中，A B C π++=()cos 1B A C ++=，()cos 1B B π+-=cos 1B B -=，∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0B π<<，∴5666B πππ-<-<，∴66B ππ-=，∴3B π=；【小问2详解】解：在ABC 中，222222cos AC a c ac B a c ac =+-=+-，在ABM 中，2222212cos 2242a a a AM c c B c ⎛⎫=+-⨯=+- ⎪⎝⎭，又AM AC = ，∴2222142a a c ac c ac +-=+-，32a c ∴=，代入上式得2AC =，在ABC 中，sin 21sin 7BC B BAC AC ⋅∠==．21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x e a a g x e x +-=+-∈=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对∀a ∈(0，1)，是否存在实数λ，[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--，使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案不唯一见解析（2）存在，e λ≥.【解析】【分析】（1）求函数导数，分0,0,0a a a =><三种情况，分析()f x '与0的关系，即可求出函数的单调区间；（2）由题意转化为0λ>且2min min [()]()f n g m λ<，利用导数求出min 22[()](1)f n a =-，min ()(1)0g x g ==，即转化为21(1)a a e a λ-->-，构造函数21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，利用导数可求出21(1)a a e e a--<-，即可求解.【详解】（1）()211ax f x x e a +=+-(R)a ∈的定义域为(,)∞∞-+，1()(2)ax f x x ax e +'=+⋅，①当a =0时，0,()0,0,()0x f x x f x ''>><<，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.②当a >0时，22,,()0,,0,()0,(0,)x f x x f x x a a ⎛⎫⎛⎫''∈-∞->∈-<∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为2,,(0,)a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.③当a <0时，22(,0),()0,0,,()0,,x f x x f x x a a '⎛⎫⎛⎫'∈-∞<∈->∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '<所以函数()f x 的单调递减区间为2(,0),,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由1()xg x e x -=-，得1()1x g x e -'=-，当1x >时，()0, 1 g x x '><时，()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，故当[1,]m a a ∈-时，1min ()()0a g m g a e a -==->当(0,1)a ∈时，21a a ->-，由（1）知，当[1,]n a a ∈-时，min ()(0)10f n f a ==->所以min 22[()](1)f n a =-，若对[1,],[1,]m a a n a a ∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立，即2[()]()f ng m λ<则0λ>且2min min [()]()f n g m λ<.所以()21(1)e a a a λ--<-，所以21(1)a a e a λ-->-.设21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-，则()()1121(1)31()x x x x e xe x h x e x --'-----=-，令11()3e e 1,[0,1]x x r x x x x --=---∈则1()(2)e 1x r x x -'=--，当[0,1)x ∈时，由1x e x >+，故1e 2x x ->-，所以1(2)1x x e --<，故()0r x '<，所以()r x 在[0,1]上单调递减，所以[0,1)x ∈时，()(1)0r x r >=，即()0r x >,又[0,1)x ∈时,10x -<,所以当[0,1)x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，所以当(0,1)x ∈时，()(0)h x h e <=，即(0,1)a ∈时，21(1)a a e e a--<-，故e λ .所以当e λ 时，对(0.1),[1,],[1,]a m a a n a a ∀∈∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，恒成立问题，转化思想，分类讨论思想，考查了推理能力和运算能力，属于难题.。
