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投篮问题建模

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投篮问题建模This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012.数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。

本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。

我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。

首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。

在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz之间。

并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。

其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。

我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。

因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。

接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。

最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。

最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差一．问题的重述：规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图高。

二．问题分析（1）在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度v和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。

（2）研究二分球投篮问题时，可根据入球区域的最大面积来描述命中率，通过解积分曲线的方法求出入球区域A，根据入球偏差求出所需的角度的范围。

（3）研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。

三．模型假设（1）模型I，II中忽略空气阻力。

（2）模型中不考虑打板入球的情况。

（3）模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况。

（4）投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。

（5）出手后不考虑球的自身旋转。

四．符号说明L：篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L=4.6m. 模型III中L=6.75m。

H: 篮框的高度，H=3.05m.D: 篮框的直径，D=45cm.d: 篮球的直径，d=24.6cm.h: 运动员的出手高。

一般在~2.7m之间v：运动员的出球速度，一般在8~9m/sg: 重力加速度，g=9.8m/s^2α：篮球的出手角度β：篮球的入射角度五．模型的建立与求解对三种投篮方式进行,建模，1.考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。

建立模型：水平方向上：2 ()()2A D d p As Dυπυ()-==()竖直方向上：21(sin)2y v t gtα=-消去t，得到.（1）在罚篮中如果只考虑球心正中蓝框中心这种情况：则公式中y=H-h，x=L.带入整理得：（2）这个公式表示了投篮命中所需要的条件。

不难看出投篮命中率主要由h,v,这三点决定。

对于罚篮，采用定点投篮方式，故对于每个篮球运动员h是确定的，所以命中率主要取决于出手速度v，和出手角度.，公式（2）中不难看出给定h，每一个v对应两个，并且若要（2）式有意义，则必须满足（3）解得：这样可此得出给定一个出手高度h，必然对应一个最小速度v。

并且它是h的减函数。

带入参数可算出实际罚篮时所需的最小速度。

另外球入篮框的入射角度也可由公式（1）求出：（4）与（1）式联立得：（5）以上讨论的均是球心正中蓝心得情况，在实际投篮中由于篮球直径小于篮框直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心为原点，设可允许的偏差最多为，则可以计算出：（6）此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L+，x成为变量带入（1）式得。

若v是一个确定值，那么可以用x对求导。

将d x和dα用，来替换，整理得：（7）同理若α确定，上式对v求导并做合理替换可以得到：（8）这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手角度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。

2.第二种投篮方式，在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮（1.25m内为合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100%）。

即得二分的投篮方式。

此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投等。

但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹方程即，公式（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。

因此投篮命中率我们该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面积的大小来表示。

不放射为A（q）。

两条最大偏差弧线分别为O ，O则不难验证，O过点（L-，H-h），O过点（L+，H-h）。

则由公式（1）我们可分别写出O，O的弧线方程：（9）（10）O，的方程分别为：直线P1（11）（12）所以，（13）由公式（13）可知越大tan就越大则，就越大由公式（2）知道，由v唯一确定，而v不能无限增大，故tan只能在一定范围内变化。

设曲线过点（L，H-h）带入公式（2）得到：（14）其中v满足并且：可见tan是的减函数，当最小时tan最大。

由公式（3）的解可知tan的最大值为：（15）实际中L的范围是（L+x，L-x），为方便计算这里看成是R=x，即假设那么我们就得到入射角的的范围是：（16）由此公式我们就可以根据不同的位置与出手高度计算出使篮球命中的入射角范围。

从而经过比较，得出哪一个因素才是主要因素。

3.最后建立第三个模型：三分球的投射中，要考虑空气阻力的影响，在这里我们只考虑水平方向上的空气阻力影响，因为投篮时对求运动的阻力主要体现在水平方向上。

通常阻力与速度成正比，设比例系数为k。

则篮球在水平方向上的运动可由微分方程表示：X(0)=0用数学分析的方法可以求解得：通过泰勒展开式并略去e二次方以上的项（这是由于投篮运动中k，与t较小）这样得到了更为简单的运动方程。

与模型I的运动方程相结合，投三分球时求的运动方程为：若球心正中蓝心则方程过点（L,H-h）其中L固定为6.75m。

方程变为：消去t,得：这就是投三分球时篮球的运动轨迹不难看出，他与出高度和出手速度，和出手角度有关系。

4.计算结果与MATLAB 附录：取出手高度在~之间运用MATLAB 程序结果如下：end8m/s,我们在前面去v=8~9m/s 是合理的。

我们取v=8m/s 是出手高度在~2.0m 得到出手角度。

在MATLAB 中的附录及结果为：H=；g=;L=;v=8;for h=::end和2.0m 时所对应的的角度，利用公式（7）（8）算出最大偏差，MATLAB 中的附录为：L=；V=8;g=;D=2;D=2;α=;α=(g*L-v^2*sin(α*pi/180)*cos(α*pi/180)*(D-d)/(L*(v^2-g*l*tan()a*pi/180)))v =(g*L-v^2*sin(α*pi/180)*cos(α*pi/180)*v*(D-d))/(g*L)同理算α=.α= 180/pi*actan(v^2/g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v^2*(H-h+g*L^2/2v^2)))从结果中看到，出手角度的最大偏差明显大于出手速度的偏差，也就是说罚篮时对出手速度的要求更为严格，而出手角度相对允许有较大误差。

所以才篮球训练时，球员应着重注意在保证出手速度大于8m/s的同时，准确把握出手角度。

二分球投篮时的取出手高度在~2.7m（有跳投的情况），出手位置距蓝框中心水平距离在~6.75m。

根据公式（16）在MATLAB中的附录及计算结果为：H=;R=;for h=::for L=:1:a=atan((H-h)./(L+R)+sqrt(((H-h)./(L+R))^2+1))*180/pib=atan((H-h)./(L-R)+sqrt(((H-h)./(L-R))^2+1))*180/piendend小。

而保证出球距离不变，高度的改变几乎不影响入球所需角度的区间大小。

因此我们可以得出在影响二分球投篮的距离，和高度两个因素中，我们应该着重的注意出球距离，即在比赛中应该尽量保证在离篮框较近的地方出手投篮，这与实际情况也是相符合的。

问题（3）中考虑到实际中篮球运动员的身高与臂展都差不多，因此在这里臂长我们取k=~2.0m，由过小将导致入球角太小球无法进入篮框，太大将使出手速率过大，无法达到，因此这里我们的出球角度选 =30~60.在MATLAB中的附录及结果为：六．结果分析：通过对三个模型的建立与求解，在罚篮问题中我们得到结果为出手角度和出手速度是影响命中率的主要因素，并且出手角度相对于出手速度所需的偏差较大，即允许的误差较大，更能够帮助选手提高命中率，在实际篮球运动中也是选手大多比较注意自己的投篮出手角度。

二分球投篮的模型中，我们得到结论投篮位置即篮球出手时与篮板的水平距离主要影响篮球的命中率，此外出手速度和角度也都会影响命中率但位置更重要，确切的说就是离篮板越近的位置出手命中率的提高会越明显，这显然与我们的认识相符合。

对于第三个模型我们通过在罚篮模型的基础上加上空气阻力的影响来从新建立了篮球运行轨迹方程。

得到结论是命中率受出头高度，与角度影响较大，应主要注意这两个方面的练习。

总之，通过这次的数学建模对投篮问题的讨论我们可以看出，在篮球选手基本技能和心理素质良好的前提下，我们可以根据我们在比赛中所处的实际情况合理的选择三个模型中的任何一个来选择合理的角度一出手高度，这样更科学的增加我们比赛投篮的命中率七．由已建模型分析新规则改动后对篮球比赛的影响：2012年中国篮球协会修订了篮球规则的新改变，主要是以下三方面的改变：1.限制区（3秒区）改成4.9米乘以5.8米的矩形，并在限制区内以篮圈在地面的投影点为圆心以1.25米为半径画一个半圆（见附图），设为进攻合理冲撞区，进入该区域内（冲撞区的线属于该区域）发生的身体接触如果造成犯规，则判为防守的犯规。

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完整的数学建模(铅球投掷)

完整的数学建模(铅球投掷)

承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。

即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。

数学建模——投篮命中率地数学模型

数学建模——投篮命中率地数学模型

投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普与，篮球比赛中紧X、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。

根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。

本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最优出手角度和最优出手速度，得出一个既能使投篮时不过多消耗体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识与运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进展了深入分析。

其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件X围，得出模型的结果。

在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算与分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转与球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力与出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的X围内。

出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度〔罚球线〕位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。

建模篮球

建模篮球

篮球摘要该文建立数学模型，对求篮球出手速度的大小和方向进行求解，求篮球出手方向的问题可转化为求一个出手角度范围使由弧12,O P O P 及直线12P P 所围图形面积的最大问题。

再应用动能定理与运动学公式，通过求得的角度θ的范围得到出手速度v 大小的范围。

关键词：篮球投射，速度和投射角，运动学公式，动能定理一、问题重述已知篮球篮圈离地面3.05米，有一人正面对篮圈投篮，篮球出手高度为1.8米，球心距篮圈中心的水平距离为4.5米，篮球直径0.246米且其重量为0.6公斤，篮圈直径0.45米，如果篮球正好中蓝（没有擦到篮圈和篮板），只考虑地心引力，请进行数学建模，确定投篮者让篮球出手的速度大小和方向。

二、问题假设(1)假设不考虑空气阻力等因素； (2)假设篮球为一质点。

三、符号说明(1)篮圈半径为R ；(2) 球心距篮圈中心的水平距离为0S ; (3) 篮球篮圈离地面为0H ; (4) 篮球出手高度为0h ；(5)篮球出手速度为v ；(6)篮球出手速度与地面所成角度为θ；(7)篮球入篮时水平和竖直速度大小分别为,x y v v 。

四、模型建立与求解建立平面直角坐标系，如图1所示，以篮球出手点为坐标原点，以人站立的竖直方向为y 轴，以人正面对篮圈方向为x 轴正方向。

设12,P P 为篮圈横截面的两个端点，篮圈距地面高度为0H ，篮圈半径为R ，球心距篮圈中心的水平距离为0S ，篮球出手高度距地面为0h 。

4.1 篮球出手角度范围的求解求篮球出手方向的问题可转化为求一个出手角度范围使由弧12,O P O P 及直线12P P 所围图形面积的最大问题。

由动力学知以初速度v（方向与x 轴成θ角）投射篮球的运动轨迹与时间t 的方程为2cos 1sin 2x vt y vt gt θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ （1）消去时间t 后得直角坐标系下运动轨迹方程与初速度的v 表达式 222tan 2cos g y x xv θθ=-（2）设由弧12,O P O P 及直线12P P 所围图形面积()A θ为 0200020tan()()()()[tan ]d ()S R S R H h A x x x S R θθθ++--=-+⎰020000020tan()()()[tan ]d ()2()S R S R H h x x x H h RS R θθ---------⎰00024tan()()33S R R H h θ=-- （3）从()A θ的表达式可知，当tan θ越大()090οθ≤≤，则()A θ越大。

投篮模拟问题的程序说明

投篮模拟问题的程序说明

投篮模拟问题的程序说明一、问题的提出在激烈的篮球比赛中,投篮命中率对于球队获胜起着决定性作用.影响投篮能否命中的因素非常复杂,但投篮时篮球的出手角度和出手速度无疑是两个关键因素。

设p 点表示投篮点,Q 点为篮筐中心,P 和Q 点的水平距离Sm(由程序运行者输入),Q 点高H=3.05m,篮球直径d=24.6㎝,质量M=600g,篮筐直径D=45.0㎝ .根据实际情况,我们分析投篮命中时,篮球的出手角度和速度的大小以及它们的关系.二.问题分析影响篮球在空中运动的因素有很多,在这里我们约定:我们将忽略篮球在空中运动过程中自身旋转的影响,也不讨论篮球碰篮板, 篮筐反弹后落入球筐的情况,并且假设篮球运行的轨迹始终在由篮球出手点和篮筐中心所确定的垂直平面内.三.应用知识根据题意,我们需要列出球的运行轨迹找到篮球出手角度和速度的关系,因此,需要用到质点轨迹运动方程.四.模型建立1.模型的假设假设不考虑篮球的大小,把篮球看作集中在篮球球心的一个质点,讨论篮球球心命中球筐中心的条件.假设不考虑空气阻力对投篮的影响.2.符号说明S:投篮点与篮筐中心的水平距离;H:篮筐中心高度;d: 篮球直径;M:篮球质量;r:篮筐直径;h:出手高度;v:出手速度;θ:出手角度3.建模及解答:不考虑篮球和篮筐大小的简单情况,相当于将篮球视为质点的斜抛运动.建立坐标。

将坐标系原点O 取在篮球出手瞬间篮球球心的位置,水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴,篮球球心的坐标(x,y),列出关于x,y 的方程,就能得到篮球球心的运动轨迹.篮球球心命中球筐中心Q,意味着点Q 在篮球球心运动的轨迹上,由此可以推导出篮球出手角度和速度的关系.设时间从篮球出手的瞬间开始计算,此时t=0.在t=0时以出手速度v,出手角度θ投出篮球,篮球出手后在空中飞行时,沿水平方向是一个速度为θcos 0v 的匀速运动,沿竖直方向是一个初速度为θsin 0v 的上抛运动,因而t 时刻的方程 θcos 0v v x =gt v v y -=θsin 0g 是重力加速度,t 时刻球心位置(x(t),y(t))为: t v x ⋅=θcos2021sin gt t v y -⋅=θ消去t 得运动轨迹方程:2220cos 2tan x v gx y θθ-⋅=因为运动员的出手角度是一个自己的习惯问题，所以在此程序中，我采用的是让程序运行者输入一个自己习惯的出手角度，然后程序给运行者三个反馈：分别是能使球入筐的出手的大速度和最小速度即篮球出手的力量，以及两条投篮模拟曲线。