荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟2020届高三4月联考 理科数学

湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题理本试卷共 2 页，共 23 题。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1．已知U R =，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U MC N φ= C ．M N U =D ．)(N C M U ⊆2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是A ．22i z = B ．2z z ⋅= C ．||2z = D ．0z z += 3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是A ．y=B ．ln y x =C ．y x =D ．10xy =4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.20.40.4log 0.543<<C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.40.20.43<log 0.5<45．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3AE AC BF FC ==，则BE AF ⋅=A ．23-B ．43-C ．83- D ．2-7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．43钱 B ．73钱 C ．83钱 D ．103钱 8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用 ②子女教育费用 ③继续教育费用 ④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元 ②子女教育费用：每个子女 每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附 加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为 A ．590元 B ．690元 C ．790元 D ．890元 9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．()2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞D ．[)2,810.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=A ．23 B ．49C11.若函数32,1()3,1xe a xf x x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩有最小值，则实数a 的取值范围为 A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e 12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是 A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知1(0,),sin cos 5απαα∈+=，则tan α=_______． 14．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤；命题2:,10q x R x mx ∀∈++>．若p q ∨为假命题，则 实数m 的取值范围为_________．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_________．16．函数21y x =-和ln 1y a x =-有相同的公切线，则实数a 的取值范围为_________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-． （Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若53b c =，a =BC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）证明：2221274n S S S +++<．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//,2AB CD CD AB =．（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点M ，()0AN mAP m =>，且//MN 平面PCD ，求实数m 的值； （Ⅱ）若,60,AB AD DP BAD PB ︒==∠=，且PD AD ⊥，求二面角A PC B --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2C x y =和直线:2l y x =-，过直线l 上任意一点P 作抛物线的两条切线， 切点分别为,A B ．（Ⅰ）判断直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由； （Ⅱ）求PAB ∆的面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知2()cos 1(0)f x x mx x =+-≥．（Ⅰ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）证明：当0x ≥时，2sin cos x e x x -≥-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线．（Ⅰ）当玫瑰线的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；（Ⅱ）求曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的点M 与玫瑰线上的点N 距离的最小值及取得最小值时的 点M 、N 的极坐标．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()223f x x a x a =-+-+，()24,g x x ax a R =++∈． （Ⅰ）当1a =时，解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式()()12f x g x >成立，求实数a 的取值范围．“宜昌一中、荆州中学、龙泉中学三校联盟”高三11月联考理科数学参考答案一、选择题： 1-4 ABAB 5-8 CDCB 9-12 ACBD 二、填空题 13．43- 14．2m ≥ 15．2 16．(]0,2e 三．解答题17．解：（Ⅰ）因为2cos b c b A =-，所以sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()C B A π=-+， 所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+-．……………………2分所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+-，即sin cos sin sin cos B B A B A =-，即sin sin()B A B =-，………………………………4分 因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<，所以B A B =-或()B A B π=--(舍去)，故2A B =．……………………………………6分 （Ⅱ）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =， 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，……………………………………………………………………………9分由1cos 3A =得，sin A =BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =．…………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，………………………………………………2分11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=，……………………………………………………………4分 从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1构成以1为首项，1为公差的等差数列．……………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，111(1)1n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=．………………………………7分则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭．…………………………………………9分 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭．……………………………………11分 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<．……………………………12分 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n=<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意， 19． 解：（Ⅰ）因为//AB CD ,所以11,23AM AB AM MC CD AC ===即．…………………………1分因为//MN PCD 平面，MN ⊂平面PAC ，平面PAC平面PCD PC =，所以//MN PC ． ……………………………………………………………………………………3分 所以13AN AM AP AC ==，即13m =．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）因为,60AB AD BAD =∠=︒,可知ABD ∆为等边三角形，所以BD AD PD ==，又BP ，故222BP PD DB =+，所有PD DB ⊥． 由已知,PD AD ADBD D ⊥=，所以PD ⊥平面ABCD ，如图，以D 为坐标原点，DA DP ,的方向为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………6分设1AB =，则1,2AB AD DP CD ====，所以(1,0,0)A ,)3,0,1(),0,1,0(),23,0,21(-C P B ，则13(,1,),(1,2PB PC =-=--，(1,1,0)PA =- 设平面PBC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则有1100n PB nPC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111120,0.x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =，则112,y z =1n =，…8分设平面APC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =,则有2200nPA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222200x yx y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩令22xy =，则22z =，即2(3,n =．…10分所以121212cos ,422n n n n nn <>===⋅11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则cos θ=．………………………………………12分20．解：（Ⅰ）设点()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y ，由22x y =两边同时对x 求导，y x '=，则抛物线在点A 处的切线方程为11111()y x x x y x x y =-+=-，……………………1分又该切线方程经过点()00,P x y ，则0101y xx y =-，……………………………………………2分同理有0202y x x y =-，故()()1122,,,A x y B x y 均在直线00y x x y =-上，又002y x =-，则直线AB 的方程为0020x x y x --+=，……………………………………4分整理得()0120x x y --+=，恒过定点()1,2．…………………………………………………5分说明：第一问若设点()00,P x y ，然后直接写出切点线方程0022y y x x +=⋅，没有给出证明 即0020x x y x --+=，得出定点()1,2．给3分，扣2分．（Ⅱ）由题联立方程20022x y y x x x ⎧=⎨=-+⎩得2002240x x x x -+-=，120120224x x x x x x +=⎧⎨⋅=-⎩， (7)分12AB x =-==， ………………………………………………………………………………………………8分点()00,2P x x -到直线AB ：0020x x y x --+=的距离为d =， (9)分则PAB ∆的面积12S AB d =⨯⨯==11分当01x =时，即()1,1P -时，PAB ∆的面积最小值为12分21．解：（Ⅰ）法一：由题意()sin 2f x x mx '=-+，()cos 2f x x m ''=-+………………1分 ① 若21m ≥，即12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增， 则()(0)0f x f ''≥=，则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……3分② 若121m -<<，即1122m -<<时，存在00x >，使得0()0f x ''=，且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；…………………………………………………………………4分 ③ 若21m ≤-，即12m ≤-时，()0f x ''<，则()f x '在[)0,+∞上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在[)0,+∞单调递减， ()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分法二：由题知(0)0f =，且()sin 2f x x mx '=-+，(0)0f '=，()cos 2f x x m ''=-+……1分要使得()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，则必须满足(0)0f ''≥，即210m -≥，12m ≥．……2分 ① 若12m ≥时，()0f x ''≥，则()f x '在[)0,+∞单调递增，则()(0)0f x f ''≥=， 则()f x 在[)0,+∞单调递增，故()(0)0f x f ≥=，满足题意；……………………………3分 ② 若12m <时，存在()00,x x ∈时，()0f x ''<，则()f x '在()00,x 上单调递减，则()(0)0f x f ''<=，则()f x 在()00,x 单调递减，此时()(0)0f x f <=，舍去；故12m ≥．……………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当12m ≥时，2()cos 10f x x mx =+-≥．取12m =， 则211cos 2x x -≥-，………………………………………………………………………………6分由（Ⅰ）()sin 0f x x x '=-+≥，则sin x x ≥，故211sin cos 2x x x x +-≥-， 要证2sin cos x e x x -≥-，只需证21212x e x x -≥+-．………………………………………8分令()2112x g x e x x =---，则()1x g x e x '=--，()1x g x e ''=-， 当0x ≥时，()0g x ''≥，则()g x '在[)0,+∞上单调递增，有()()00g x g ''≥=， 故()g x 在[)0,+∞单调递增，故()()00g x g ≥=， 故21102x e x x ---≥，即有21212x e x x -≥+-，得证． (12)分22. 解：（Ⅰ）以极点为圆心的单位圆为1ρ=与2sin 2ρθ=联立，得2sin21θ=，……2分所以1sin 22θ=，因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12πθ=或512π，则极坐标为1,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭和51,12π⎛⎫⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）曲线sin 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x+y=，……………………………………7分玫瑰线2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭取得， 连接O ，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭，与4x y +=垂直且交于点4M π⎛⎫⎪⎝⎭．所以距离的最小值为2-，此时4M π⎛⎫⎪⎝⎭，2,4N π⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………10分23.解：（Ⅰ）当1a =时，()11f x x x =-++，则()2 ,1,2, 11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥…………………2分当1x <-时，由()f x ≤4得，22x --≤4，解得21x -<-≤； 当11x -<≤时，()f x ≤4恒成立；当1x ≥时，由()f x ≤4得，2x ≤4，解得12x ≤≤．所以()f x ≤4的解集为{}22x x -≤≤．……………………………………………………5分 （Ⅱ）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，得()()12f x g x >成立，所以()()min min f x g x >．……6分因为()2223120a a a -+=-+>，所以223a a >-，且()()222223232323x a x a x a x a a a a a -+-+---+=-+=-+≥， ① 当223a x a -≤≤时，①式等号成立，即()2min 23f x a a =-+．…………………………8分又因为2222444244a a a x ax x ⎛⎫++=++-- ⎪⎝⎭≥， ②当2ax =-时，②式等号成立，即()2min 44a g x =-．………………………………………9分所以222344a a a -+>-，即a 的取值范围为()2,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．……………………10分。

湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1.已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 22i z = B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.下列函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域相同的是（ ）A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e=的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，故选C.4.三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．【详解】若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，若q≠1，则S2019()2019111a qq-=-，∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，∴a1与S2019的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A.23- B.43- C.83- D. 2-【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的部分3%2 超过3000元至12000元的部分10%3 超过12000元至25000元的部分20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（ ） A. 590元 B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B 【解析】 【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元， 不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 故选：B ．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题． 9.已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞ D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A.23B.49C.5 D.45【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得15263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()125sin x x -=-，故()21sin x x -=5故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数的取值范围为（ ）A. (],1-∞B. (],e -∞C. (]0,1D. (]0,e【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可．【详解】当x >1时，函数f （x ）为增函数，则f （x ）＝e x ﹣a ∈（e ﹣a,+∞）当x ≤1时，f （x ）＝323,x x -+则f ′（x ）＝-3x 2+6x ＝-3x （x ﹣2），则由f ′（x ）<0得或x ＜0或x ＞2（舍去），此时函数为减函数，由f ′（x ）>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数取得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f （0）＝0 要使函数f （x ）有最小值，则e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是（﹣∞，e]， 故选：B【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14.已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣（sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程， 则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 244422c c π+-==⨯ 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为： 2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________．【答案】(0,2]e 【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。