河南省天一大联考2018-2019学年下学期高二年级期末测试文科数学试题(含答案)

2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题文（含解析）本试卷共22题，共150分，共8页，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试范围：必修3，选修1-1，1-2，选修4-4，4-5.注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法求出z,再求.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.对于函数，下列说法错误的是（）A. 函数的极值不能在区间端点处取得B. 若为的导函数，则是在某一区间存在极值的充分条件C. 极小值不一定小于极大值D. 设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.【答案】B【解析】【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的；B. 若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件，如函数，但是函数是R上的增函数，所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的；C. 极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；D. 设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.故该选项是正确的.故选：B【点睛】本题主要考查极值的概念和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3.滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（）A. 23 B. 24 C. 25 D. 26【答案】C【解析】【分析】先求出做A,B卷的人数总和，再求做C卷的人数.【详解】由题得每一个小组的人数为，由于，所以做A,B卷调查的总人数为75，所以做C卷调查人数为100-75=25.故选：C【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知双曲线的离心率为2，则（）A. 3B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意列方程，即可得解.【详解】由题得，解之得.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.5.向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出满足条件的正三角形的面积，再求出满足条件正三角形内的点到正三角形的顶点、、的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【详解】满足条件的正三角形如下图所示：其中正三角形的面积，满足到正三角形的顶点、、的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则，则使取到的点到三个顶点、、的距离都不小于2的概率是：，故选：．【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.6.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（）A. 0.4B. 0.3C. 0.7D. 0.6【答案】B【解析】【分析】利用对立事件的概率公式求解.【详解】由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.故选：B【点睛】本题主要考查对立事件的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7. 设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：，所以应是充分必要条件.故选C.考点：充分条件、必要条件.【此处有视频，请去附件查看】8.某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.甲说：我在1日和3日都有值班乙说：我在8日和9日都有值班丙说：我们三人各自值班日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A. 10日和12日B. 2日和7日C. 4日和5日D. 6日和11日【答案】D【解析】【分析】确定三人各自值班的日期之和为26，由题可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，确定丙必定值班的日期．【详解】由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：．【点睛】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9.已知，其中为自然对数的底数，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，单调递增，当时，单调递减，所以故有选D.10.已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得.设，由题得，所以，两式相减得，所以，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.11.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出焦点坐标和准线方程，得到方程，与准线方程联立，解出点坐标，因为垂直准线，所以点与点纵坐标相同，再求点横坐标，利用抛物线定义求出长．【详解】抛物线方程为，焦点，准线方程为，直线的斜率为，直线的方程为，由可得点坐标为，，为垂足，点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，，.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值．【详解】设双曲线的左焦点为由题意可得，，即有，即有，由双曲线的定义可得，即为，即有，可得．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知与之间的一组数据：21则与的线性回归方程为必过点__________．【答案】；【解析】【分析】求出样本中心点即得解.【详解】由题得.所以样本中心点为.所以线性回归方程必过点（5,4）.故答案为：【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查回归直线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动，则选中的2人都是女同学的概率__________．【答案】；【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】由古典概型的概率公式得.故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15.在中，若，斜边上的高位，则有结论，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为且三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有结论__________．【答案】；【解析】【分析】由平面上的直角三角形中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【详解】如图，设、、为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥的高为，连接交于，、、两两互相垂直，平面，平面，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．16.若函数在上不是单调函数，则实数的取值范围是__________．【答案】；【解析】【分析】先利用导数求出函数的单调性，再由函数的单调性得到，解不等式组即得解.【详解】由题得，令，所以2＜x＜4，令，所以1＜x＜2或x＞4.所以函数的增区间为减区间为（1,2），（4，+）.因为函数在上不是单调函数，所以，解之得t∈所以实数t的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.已知且，命题：函数在区间上为增函数；命题：曲线与轴无交点，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】先化简两个命题，再根据“”为真，“”为假得到一真一假，再得到关于a的不等式组，解不等式组即得解.【详解】解：由已知得，对于，，即.若“”为真，“”为假，所以一真一假若为真命题，为假命题，则，所以若为假命题，为真命题，则，所以综上，或【点睛】本题主要考查复合命题的真假，考查对数函数的单调性和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18.某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.①.②.③.（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）选择①化简得这个常数为；（2）找到一般规律：，再化简证明.【详解】解：（1）（2）一般规律：证明：【点睛】本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（1）根据该等高条形图，完成下列列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？（2）从性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．附：0.1002.706．【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关；（2）．【解析】试题分析：（1）根据等高条形图算出所需数据可得完成列联表，由列联表，利用公式可得的观测值，与邻界值比较从而可得结果；（2）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.试题解析：（1）由题意得列联表如表：喜欢节目不喜欢节目总计假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，则的观测值，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．（2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为．被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种，所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．20.已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.（1）求证直线的斜率为定值；（2）求面积最大值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先求出，设直线，联立直线MA的方程与椭圆的方程，借助韦达定理证明直线的斜率为定值；（2）设直线，设，求出，再利用基本不等式求面积的最大值.【详解】解：（1）由，得不妨设直线，直线.由，得，设，同理得直线的斜率为定值2（2）设直线，设由，得，，，由得，且，点到的距离，当且仅当，即，当时，取等号，所以面积的最大值为1.【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题和最值问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21.已知函数.（1）求函数的单调区间及极值；（2）求证：对于区间上的任意，都有；（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.【答案】（1）当和时，为增函数；当时，为减函数，的极小值为，极大值为（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值；（2）等价于，利用第一问结论分析即得解；（3）设切点为，，则，即方程有三个实根，利用导数分析得解.【详解】解：（1）的定义域为，，当和时，，为增函数；当时，为减函数，极小值为，极大值为（2）当时，为减函数，对于区间上的任取，都有，即得证（3）设切点为，，则，，设，则，令，解得，要使过点可作曲线三条切线，必须满足，即，解得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（Ⅰ）求与交点的直角坐标系；（Ⅱ）若与相交于点,与相交于点,求的最大值.【答案】（1）交点坐标为，．（2）最大值为．【解析】试题分析：（1）根据将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组求解交点的直角坐标，（2）曲线为直线，倾斜角为，极坐标方程为，代入与的极坐标方程可得的极坐标，则为对应极径之差的绝对值，即，最后根据三角函数关系有界性求最值.试题解析：解：（Ⅰ）：，：，联立得交点坐标为，．（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到的极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析：（I）当时，化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得。

郑州市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共4小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60︒”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于60︒ B. 三个内角都大于60︒ C. 三个内角至多有一个大于60︒ D. 三个内角至多有两个大于60︒【答案】B2.设复数z a bi =+（i 为虚数单位），,a b ∈R ，且-3a ib i i=+，则复数z 的模等于（ ）A. 10 C. 5【答案】D3. 《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（ ） A. 类比推理 B. 归纳推理C. 演绎推理D. 一次三段论【答案】C4.某同学根据一组x ，y 的样本数据，求出线性回归方程y bx a =+$$$和相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A. y 与x 是函数关系 B. $y 与x 是函数关系C. r 只能大于0D. ｜r ｜越接近1，两个变量相关关系越弱【答案】B5.点 M 的直角坐标是(-，则点 M 的极坐标为（ ） A. π 2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. π2,3⎛⎫-⎪⎝⎭C. 2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. π2,2π3k ⎛⎫+⎪⎝⎭()k ∈Z【答案】C6.若关于x 的不等式｜ax ﹣3｜＜7的解集为{x ｜﹣5＜x ＜2}，则a 的值为（ ） A. ﹣4 B. 4C. ﹣2D. 2【答案】C7.雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图，蜘蛛网图（SpiderChart ），是财务分析报表的一种，现可用于对研究对象的多维分析，如图为甲、乙两人五个方面的数据雷达图，则下列说法不正确的是（ ）A. 甲、乙两人在能力方面的表现基本相同B. 甲在沟通、服务、销售三个方面的表现优于乙C. 在培训与销售两个方面甲的综合表现优于乙D. 甲在这五个方面的综合表现优于乙 【答案】C8.已知111555b a⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. log a b +log b a ＞﹣2B. log a b +log b a ＞2C. log a b +log b a ≥﹣2D. log a b +log b a ≤﹣2【答案】D9.圆ρ＝5cosθ﹣的圆心坐标是（ ） A. （5，3π） B. （5，6π） C. （5，53π） D. （5，56π） 【答案】C10.函数y ＝的最大值为（ ） A. 5 B. 8C. 10D. 12【答案】C 11.执行如图所示程序框图，如果输出的a 值大于2019，那么判断框内的条件为（ ）A. k＜10？B. k≥10？C. k＜9D. k≥9？【答案】A12.某校有A、B、C、D四个社团，其中学生甲、乙、丙、丁四人在不同的四个社团中，在被问及在哪个社团时，甲说：“我没有参加A和B社团”．乙说：“我没有参加A和D社团”．丙说：“我也没有参加A 和D社团”．丁说：“如果乙不参加B社团，我就不参加A社团”．则参加B社团的人是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B13.在同一平面直角坐标系中满足由曲线x2+y2＝1变成曲线22194x'y'+=的一个伸缩变换为（）A.'3'2x xy y=⎧⎨=⎩B.1'31'2x xy y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.'9'4x xy y=⎧⎨=⎩D.1'91'4x xy y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A14.在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为α，β，则sin2α+sin2β＝1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角分别为α1，α2，α3，与平面AC，平面AB1，平面AD1所成的角分别为β1，β2，β3，则下列说法正确的是（）①sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝1 ②sin 2α1+sin 2α2+sin 2α3＝2 ③cos 2α1+cos 2α2+cos 2α3＝1 ④sin 2β1+sin 2β2+sin 2β3＝1 A. ①③ B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】D二、填空题（每题5分，满分20分）15.已知复数z 1＝22ii-+在复平面内对应的点为A ，复数z 2在复平面内对应的点为B ，若向量AB u u u r 与虚轴垂直，则z 2的虚部为_____． 【答案】45-. 16.恩格尔系数（Engel 'sCoefficient ）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完整，生活水平越高，某学校社会调查小组得到如下数据：若y 与x 之间有线性相关关系，某人年个人消费支出总额为2.6万元，据此估计其恩格尔系数为_____．【答案】0.26.17.观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1 ②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+t an （﹣15）°tan5°＝1． 一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：_____ 【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=o则.18.已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k的取值范围是_____． 【答案】k <-1或k >1.三、解答题（本大题共1小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.已知i 是虚数单位，且复数z 满足（z +2）（3+i ）＝10． （Ⅰ）求z 及z 2；（Ⅱ）若z •（a +2）i 是纯虚数，求实数a 的值． （Ⅰ）1010(3)2213(3)(3)i z i i i i -=-=-=-++-, 22(1)2.z i i =-=-（Ⅱ）(2)(1)(2)(2)(2)z a i i a i a a i +=-+=++-， 令2+a =0，解得a =-2.20.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣3，圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ＝4π（ρ∈R ），设C 2，C 3的交点为A ，B ，求△C 2AB 的面积． （Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 3ρθ=-，2C 的极坐标方程为24cos 2sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ）将4πθ=代入24cos 2sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-=AB =由于2C 的半径为1，所以2C AB ∆的面积为12.21.已知函数f （x ）＝｜x ﹣2｜．（Ⅰ）求不等式f （x ）＞6﹣｜2x +1｜的解集； （Ⅱ）设a ，b ∈（2，+∞），若f （a ）+（b ）＝6，求41a b+的最小值． （1）2216x x -++>原不等式等价于，等价于12,1,2,2275.3,33x x x x x x ⎧><-⎧⎧⎪-≤≤⎪⎪⎪⎨⎨⎨>⎪⎪⎪><-⎩⎩⎪⎩或或 解得5733x x <->或. 所以原不等式的解集为57.33x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或(2),(2,)a b ∈+∞，()()622610f a f b a b a b +=-+-=+=即，，414111419()()(5)(510101010b a a b a b a b a b +=++⋅=++≥+= 当且仅当4,10,b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 即 20,310.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取等号.22.2019年4月22日是第50个世界地球日，半个世纪以来，这一呼吁热爱地球环境的运动已经演变为席卷全球的绿色风暴，让越来越多的人认识到保护环境、珍惜自然对人类未来的重要性．今年，自然资源部地球日的主题是“珍爱美丽地球，守护自然资源”．某中学举办了以“珍爱美地球，守护自然资源”为主题的知识竞赛．赛后从该校高一和高二年级的参赛者中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩分为7组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如下频率分布表：现规定，“竞赛成绩≥80分”为“优秀”“竞赛成绩＜80分”为“非优秀” （Ⅰ）请将下面的2×2列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩与年级有关”？ 附：独立性检验界值（1）优秀总人数：（0.22+0.13）*100=35人.（2）221002015-1550K 4.239 6.635.35657030⨯⨯⨯=≈<⨯⨯⨯（）所以，没有99％的把握认为“竞赛成绩与年级有关”23.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222x t t y =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩，（为参数），曲线C 的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．（Ⅰ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（3，2π），判断点P 与直线l 位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． （1）把极坐标系下的点(3,)2P π化为直角坐标得点(0,3).因为点P 的直角坐标满足直线l 的方程260x y -+=， 所以点P 在直线l 上.（2）因为点Q在曲线C上，可设点Q的坐标为(2cos)αα，从而点Q到直线l的距离为d==由此得，当cos(+)13πα=-时，d24.设函数f（x）＝｜x+3｜+｜2x﹣a｜﹣1，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）+｜x+3｜≥3对任意的x∈R成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＞﹣6时，函数φ（x）＝2（｜x+3｜﹣x）﹣f（x）有三个不同的零点，求a的取值范围．（Ⅰ）2624x x a++-≥原式即恒成立，即()min2624x x a++-≥，262(26)(2)6x x a x x a a++-≥+--=+，所以，64a+≥，解得102a a≤-≥-或（Ⅱ）x2a,(x3),ax x32x a2x1x4a,(3x),2a3x4a,(x),2φ⎧⎪---<-⎪⎪=+---+=+--≤≤⎨⎪⎪-++>⎪⎩（）有三个零点，即a-302φφ⎛⎫⎪⎝⎭（）＜0且＞，解得1<a<8 .25.设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：a＞0且﹣2＜＜﹣1．证明：f（0）＞0，∴c＞0，又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①而a+b+c=0即b=﹣a﹣c代入①式，∴3a﹣2a﹣2c+c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c．∴a＞c＞0．又∵a+b=﹣c＜0，∴a+b＜0．∴1+＜0，∴＜﹣1．又c=﹣a﹣b，代入①式得，3a+2b﹣a﹣b＞0，∴2a+b＞0，∴2+＞0，∴＞﹣2．故﹣2＜＜﹣1．26.某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）参考公式对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…（x n ，y n ），其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1221ˆˆˆ,5ni ii nii x y nxybabx xnx ==-==--∑∑ （Ⅰ）1(12345)3,5x =++++= 1(3495124181216)130,5y =++++=122221(2)(96)(1)(35)051286450ˆ45,(2)(1)01410ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯-+-⨯-+++⨯====-+-+++-∑∑ˆˆ130453 5.ay bx =-=-⨯=- 45 5.y x =-所以线性回归方程为$6,y265,2019x ==令.年该小区有26到5户居，民有以意向所加得截底装暖气止 （Ⅱ）（i ）由频率分布直方图知，拟报竞价不低于180元的频率为（0.09+0.07+0.02）×4=0.72， 0.72×50=36，所以拟报竞价不低于180元的户数为36户.（ii ）由题意知1205=2169 所以按竞价由高到低排列， 位于前59的居民可以竞拍成功，设竞拍成功的最低报价为x （十元）， (22)50.094(0.070.02)4.49x -⨯⨯++⨯= 19.83,199x ≈解得：所以竞拍成功的最低报价为元.。

天一大联考2018-2019学年（下）高二年级期末测试文科数学一、选择题1.3ii=-（ ） A.1388i - B. 1388i -+C. 131010i -+ D.131010i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则直接计算即可得解.【详解】由题意()()()3133331010i i i i i i i +==-+--+. 故选：C【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题. 2.已知集合{}1,3A =-，{}22,B a =，若{}1,3,2,9A B =-U ，则实数a 的值为（ ）A .±1B. 3±C. 1-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由{}1,3,2,9A B =-U ，可得出29a =，于此可得出实数a 的值. 【详解】Q 集合{}1,3A =-，{}22,B a =，且{}1,3,2,9A B =-U ，29a∴=，因此，3a =±，故选B.【点睛】本题考查利用集合的并集运算求参数的值，考查有限集之间的运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.某拖拉机厂生产了400台新型农用拖拉机，出厂前测试时，这批拖拉机通过某一路段的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)50,70内的拖拉机台数大约为（ ）A. 28B. 70C. 160D. 280【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图求得时速在[)50,70内的拖拉机的频率后即可直接得解. 【详解】时速在[)50,70内的拖拉机的频率为()0.030.04100.7+⨯=，所以时速在[)50,70内的拖拉机台数大约为4000.7280⨯=（台）. 故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.4.给定下列两种说法：①已知,,a b c ∈R ，命题“若3a b c ++=，则2223a b c ++≥”的否命题是“若3a b c ++≠，则2223a b c ++<”，②“0x R ∃∈，使()00f x >”的否定是“x R ∀∈，使()0f x ≤”，则（ ） A. ①正确②错误 B. ①错误②正确C. ①和②都错误D. ①和②都正确【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题和命题的否定形式，即可判定①②真假. 【详解】①中，同时否定原命题的条件和结论， 所得命题就是它的否命题，故①正确； ②中，特称命题的否定是全称命题， 所以②正确，综上知，①和②都正确. 故选：D【点睛】本题考查四种命题的形式以及命题的否定，注意命题否定量词之间的转换，属于基础题.5.已知2sin 2cos ,2k k Z παααπ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ） A.43B. 1C.34D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合二倍角的正弦，求出tan α，再由二倍角的正切公式，即可求解, 【详解】由2sin 2cos αα=，得22sin cos cos ααα=. 又因2k παπ≠+，得1tan 2α=. 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==-. 故选：A【点睛】本题考查三角函数求值、二倍角公式的应用，属于基础题. 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 4643π+B. 8643π+C. 16643π+D. 648π+【答案】B 【解析】 【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体，由体积公式直接求解. 【详解】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体． ∴该几何体的体积V 3214223π=+⨯⨯⨯=6483π+． 故选B ．【点睛】本题考查了正方体与圆锥的组合体的三视图还原问题及体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知直线:40l ax y c -+=与圆2216x y +=相交于,A B 两点，120AOB ∠=o （O 为坐标原点），且直线l 与直线230x y +-=垂直，则直线l 的方程为（ ）A. 20x y -±=B. 340x y -±=C. 340x y -+=D. 240x y --=【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得2a =，圆心到直线l 的距离2d =2=，即可得解.【详解】由于直线230x y +-=的斜率2k =-，直线:40l ax y c -+=的斜率为4a， 而两直线垂直，所以()214a-⋅=-，得2a =，直线:240l x y c -+= 由圆的方程2216x y +=可得该圆圆心为()0,0，半径4r =， 设圆心到直线l 的距离为d ，则1cos604cos60422d r =⋅==⨯=oo，由点到直线的距离公式可得2d ===，解得c =±故所求的直线方程为240x y -±=，即20x y -±=. 故选：A.【点睛】本题考查了直线与直线、直线与圆位置关系的应用，考查了点到直线距离公式的应用，属于基础题.8.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（ ） ①若a α⊥，b β⊥，且α∥β，则a ∥b ； ②若a α⊥，b ∥β，且α∥β，则a b ⊥r r；③若a ∥α，b β⊥，且αβ⊥，则a ∥b ；④若a α⊥，b β⊥，且αβ⊥，则a b ⊥r r.其中真命题的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【详解】由b β⊥且αβ∥，可得b α⊥，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确； 由于αβ∥，a α⊥，所以a β⊥，则a b ⊥r r，故②正确； 若a 与平面,αβ的交线平行，则a b ⊥r r，故不一定有a b ∥，故③错误；设l αβ=I ，在平面β内作直线c l ⊥，αβ⊥，则c α⊥，又a α⊥，所以a c P ，,b c ββ⊥⊂，所以b c ⊥，从而有b a ⊥，故④正确.因此，真命题的个数是3. 故选：B【点睛】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.9.函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】函数()f x 图象是由函数12x y =图象向左平移1个单位，做出函数12x y =的图象，即可求解. 【详解】作出函数1()01222x xx x y x ⎧≥⎪==⎨⎪<⎩的图象，如下图所示，将12xy =的图象向左平移1个单位得到()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭图象.故选：B【点睛】本题考查函数图象的识别、指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题. 10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）A. 2213218x y -=B. 2211832x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】D 【解析】 【分析】设12(,0),(,0)F c F c -，根据已知可得34b a =，由12PF PF ⊥，得到2221212PF PF F F +=，结合双曲线的定义，得出2122PF PF b ⋅=，再由已知求出b ，即可求解.【详解】设c ，则由渐近线方程为34y x =，34b a =， 又1222212122,,PF PF a PF PF F F ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 所以22212122221224,4.PF PF PF PF a PF PF c ⎧+-⋅=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减，得21224PF PF b ⋅=，而1218PF PF ⋅=，所以29b =，所以3b =，所以5c =，4a =，故双曲线的方程为221169x y -=. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，注意焦点三角形问题处理方法，一是曲线的定义应用，二是余弦定理（或勾股）定理，利用解三角形求角或面积，属于中档题.11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，也是周期为4的周期函数，且在区间[]0,2上单调递减，则()2016f -与()2019f 的大小为（ ）A. ()()20162019f f ->B. ()()20162019f f -<C. ()()20162019f f -=D. 不确定【答案】A 【解析】 【分析】由函数的单调性和周期性可得()()20160f f -=，()()20191f f =，由函数的单调性可得()()01f f >，即可得解.【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为4，∴()()()2016201645040f f f -=-+⨯=，()()()()20192019450511f f f f =-⨯=-=. Q ()f x 在区间[]0,2上单调递减，∴()()01f f >，即()()20162019f f ->.故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性和周期性的应用，属于基础题. 12.已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,22ππωϕ⎛⎫>-<<⎪⎝⎭在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，且636f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()1sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()sin 2f x x =D. ()1sin2f x x = 【答案】C 【解析】 【分析】 由函数在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数，得周期23T π≥，66f fππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出图像关于()0,0对称，可求出ϕ，63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的对称轴，结合对称中心和周期的范围，求出周期，即可求解. 【详解】设()f x 的最小正周期为T ，()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则266T ππ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，即23T π≥，由66f f ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知， ()f x 有对称中心()0,0，所以0ϕ=.由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且23T π≥， 所以()f x 有对称轴12634x πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭.故0444T ππ-==.解得T π=，于是2ππω=， 解得2ω=，所以()sin 2f x x =. 故选：C【点睛】本题考查正弦函数图象的对称性、单调性和周期性及其求法，属于中档题.二、填空题13.已知向量()1,2a =r ，()1,4b =--r ，若a b λ-r r 与()3,2c =r共线，则实数λ=______.【答案】52- 【解析】 【分析】由平面向量线性运算的坐标表示可得()1,24a b λλλ-=++r r，再由向量共线的条件可得()()12243λλ+⨯=+⨯，即可得解.【详解】由题意得()()()1,21,41,24a b λλλλ-=---=++r r. Q 向量a b λ-r r 与()3,2c =r共线，∴()()12243λλ+⨯=+⨯，∴52λ=-. 故答案为：52-. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.14.已知,x y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的最大值为______.【答案】1 【解析】 【分析】做出满足条件的可行域，根据图形即可求解.【详解】约束条件0,23,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的可行域如图中阴影部分所示.由23,23x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,1P ，则目标函数2z x y =-过点()1,1P 时， z 取得最大值，max 211z =-=.故答案为：1【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 15.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22cos c a b A -=，则B =______. 【答案】3π【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得2sin sin 2sin cos C A B A -=，再结合()sin sin C A B =+化简可得sin 2sin cos A A B =，即可得解.【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=可得2sin sin 2sin cos C A B A -=， 由()C A B π=-+可得()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=即sin 2sin cos A A B =， 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =， 由()0,B π∈可得3B π=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了正弦定理和三角函数的综合问题，属于基础题.16.已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.【答案】(]0,e【解析】【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解.【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-. 由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x +-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. 于是()()()min min 1ln 022a a f x g x g a a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .故答案为：(]0,e【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225-【解析】【分析】（1）求出公差d ，根据通项公式即可求出42n a n =-；（2）由（1）可写出231n b n =-，则数列{}n b 是等差数列.根据通项公式求出使得0n b ≤的n 的最大值，再根据前n 项和公式求出n T （或根据前n 项和公式求出n T ，再根据二次函数求最值，求出n T 的最小值）.【详解】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =.所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =.所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-. 方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列.所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值，最小值为15225T =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力.18.“过桥米线”是云南滇南地区特有的一种小吃.在云南某地区“过桥米线”有,,A B C 三种品牌的店，其中A 品牌店50家，B 品牌店30家，C 品牌店20家.（Ⅰ）为了加强对食品卫生的监督管理工作，该地区的食品安全管理局决定按品牌对这100家“过桥米线”专营店采用分层抽样的方式进行抽样调查，被调查的店共有20家，则,B C 品牌的店各应抽取多少家？ （Ⅱ）为了吸引顾客，所有品牌店举办优惠活动：在一个盒子中装有标号为1,2,3,4的4个白球，另一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5,6的6个红球（所有球的形状、大小相同）.顾客从这两个盒子中各抽取1个球，若两个被抽取的球的标号之和大于或等于8，则打八折（按原价的80%付费）.求顾客参加优惠活动后获得八折用餐的概率.【答案】（Ⅰ）B 品牌店6家，C 品牌店4家；（Ⅱ）14 【解析】【分析】（Ⅰ）由分层抽样的概念直接求解即可得解；（Ⅱ）由题意可列出所有基本事件，再找出符合要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意得，应抽查B 品牌店30206503020⨯=++家， 应抽查C 品牌店20204503020⨯=++家. （Ⅱ）因为顾客在一个盒子中抽取的白球标号分别为1,2,3,4；在另一个盒子中抽取的红球标号分别为1,2,3,4,5,6，所以顾客从两个盒子中各抽取1个球的基本事件有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6；共24个基本事件.其中，两个被抽取的球的标号之和大于或等于8的基本事件有()2,6，()3,5，()3,6，()4,4，()4,5，()4,6，共6个基本事件.设“两个被抽取的球的标号之和大于或等于8”的事件为H ，则顾客参加优惠活动后获得八折用餐的概率为()61244P H ==. 【点睛】本题考查了分层抽样的应用和古典概型概率的求解，属于基础题.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，点,E F 分别为,BC PD 边上的中点.（Ⅰ）求证：CF //平面PAE ；（Ⅱ）若平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，求三棱锥P ABE -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】【分析】（Ⅰ）取AP 的中点G ，连接,FG EG ，由中位线和正方形的性质可得//CE FG 且CE FG =，进而可证//CF GE ，由线面平行的判定即可得证；（Ⅱ）取AD 的中点H ，连接PH ，由等腰三角形的性质和面面垂直的性质可得PH ⊥平面ABCD ，求出3PH =、1ABE S ∆=后，利用三棱锥体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：取AP 的中点G ，连接,FG EG .因为,F G 分别是PD 和PA 的中点，所以//FG AD 且12FG AD =. 因为E 为BC 的中点，所以12CE BC =. 又因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC 且AD BC =.所以//CE FG 且CE FG =，所以四边形CEGF 是平行四边形，所以//CF GE .又因为CF ⊄平面PAE ，CE ⊂平面PAE ，所以//CF 平面PAE .（Ⅱ）如图，取AD 的中点H ，连接PH .因为PA PD =，H 为AD 的中点，所以PH AD ⊥. 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，所以PH ⊥平面ABCD .因为2PA PD AD ===，所以3PH =，12112ABE S ∆=⨯⨯=， 故三棱锥P ABE -的体积133P ABE ABE V S PH -∆=⨯⨯=.【点睛】本题考查了线面平行的判定和面面垂直的性质，考查了三棱锥体积的求解，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点为()2,0A ，定点()0,1P -，直线PA 与椭圆交于另一点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）试问是否存在过点P 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，使得6PAM PBNS S ∆∆=成立？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，61y x =-或61y x =- 【解析】【分析】 （1）由已知可得2a =，再将点31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，求出b 即可； （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，由已知可得2PAPB =，结合6PAM PBN S S ∆∆=，可得3PM PN=，从而有123x x =-，验证MN 斜率不存在时是否满足条件，当MN 斜率存在时，设其方程为1y kx =-，与椭圆方程联立，根据根与系数关系，得出12,,x x k 关系式，结合123x x =-，即可求解.【详解】（Ⅰ）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点为()2,0A 知，2a =.把B 点坐标31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得219144b+=. 解得23b =.所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （Ⅱ）()3(1,),(0,1),222,0,A B P PA PB ---== 所以2PA PB =.由6PAM PBNS S ∆∆=， 得1sin 2261sin 2PA PM APM PM PN PB PN BPN ⋅∠==⋅∠， 即3PM PN=，所以3PM PN =-u u u u r u u u r . 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,1PM x y =+u u u u r ，()22,1PN x y =+u u u r ，所以123x x =-.①当直线MN 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，2PM PN ==+3PM PN =矛盾. ②当直线MN 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =-.联立方程221,143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx +--=. 122843k x x k +=+，122843x x k -=+. 由123x x =-可得228243k x k -=+，2228343x k =+， 即2224834343k k k -⎛⎫= ⎪++⎝⎭.整理得232k =.解得k =±综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为12y x =-或12y x =--. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()ln m f x x x=+. （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值情况； （Ⅱ）证明：当312m -<≤时，()2m x f x ->在[)1,+∞上恒成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求导后，根据0m ≤、0m >分类，讨论函数()f x 的单调性，再根据极值的概念即可得解；（Ⅱ）设()()22ln 1m g x x x m x x =++-≥，求导后可得()2222x x m g x x +-'=，设()222h x x x m =+-，由二次函数的性质可得()()132h x h m ≥=-，进而可得()0g x '≥，最后由()()110g x g m ≥=+>即可得证.【详解】（Ⅰ）依题意得，0x >，()221m x m f x x x x-'=-=. 若0m ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 在()0,∞+上无极值.若0m >，当()0,x m ∈时，()0f x '<，函数()f x 在()0,m 上单调递减；当(),x m ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(),m +∞上单调递增.此时，函数()f x 在()0,∞+上只有极小值()1ln f m m =+，无极大值.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 无极值；当0m >时，函数()f x 只有极小值1ln m +，无极大值. （Ⅱ）证明：要证()2m x f x ->在[)1,+∞上恒成立， 即证22ln 0m x x m x++->在[)1,+∞上恒成立.设()()22ln 1m g x x x m x x =++-≥，则()22222221m x x m g x x x x +-'=-+=. 设()222h x x x m =+-，则()h x 是[)1,+∞上的增函数，即()()132h x h m ≥=-. 当312m -<≤时，()0h x ≥，所以()0g x '≥，因此()g x 是[)1,+∞上的增函数. 于是当312m -<≤时，()()110g x g m ≥=+>， 所以22ln 0m x x m x++->在[)1,+∞上恒成立. 所以，当312m -<≤时，()2m x f x ->在[)1,+∞上恒成立. 【点睛】本题考查了利用导数确定函数的极值情况，考查了利用导数证明不等式恒成立，考查了推理能力，属于中档题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin 30ρθθ--=.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16，求实数r 的取值范围.【答案】（Ⅰ）C ：222x y r +=，l ：430x --=；（Ⅱ）12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数，得到曲线C 的普通方程，再由cos x ρθ=，sin y ρθ=化直线l 为直角坐标方程；（2）与直线l 的距离为16的点在与l 平行且距离为16的两平行直线上，依题意只有一条平行线与圆C 相交，另一条平行线与圆相离，利用圆心到直线的距离与半径关系，即可求解.【详解】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0r >）消去参数ϕ， 可得曲线C 的普通方程222x y r +=.cos x ρθ=，sin y ρθ=代入4cos sin 30ρθθ--=，得直线l的直角坐标方程为430x --=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线l的直角坐标方程为430x --=，曲线C 的直角坐标方程为222x y r +=，曲线C 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆，且原点到直线l12=.所以要使曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为16， 则须11112626r -<<+，即1233r <<. 所以实数r 的取值范围是12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化，以及直线与圆的位置关系，属于中档题.23.已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.。

驻马店市 2018～2019 学年度第二学期期终考试
高二（文科）数学试题参考答案
一、选择题
1—5 ACBAC 6—10 CCABD 11-12 BD
二、填空题
13. 2 14. 4 n n 1 （或 4(n2 n) ） 15. 2
3
3
三、解答题
17.解：(1) an1 2an 3 n N
210
90
300
……………………………8 分
结合列联表可算得 K 2 300 (45 60 30 165) 2 100 4.762 6.635
75 225 210 90
21
……………………………10 分
没有 99% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
……………………………12 分
2b2
20.（1）由题可知
a
c a

2
a
2 ，解得 b 22 2椭圆C
x2 y2 的标准方程为 ＋ ＝1，
42
……………………………4 分
（2）（法一）设点 A(t,2)，B(x0，y0)，
① 当 t=0 时， A(0,2), B(2,0) ，此时 AB 2 2

0
等价于
ln
x

a(x 1) x 1

0.
令
g(x)

ln
x

a(x 1) x 1
，
则 g(x)

1 x

2a (x 1)2

x2
2(1 x(x
a)x 1)2

1
,
g
(1)