人教A版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入综合测试题

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a =Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ．2121212()4z z z z z z -=+-Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ） Ａ．32 Ｂ．2 Ｃ．62 Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ．2± Ｃ．2- Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数1322i ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．3i Ｄ．3i -答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）Ａ．2()1a b +=Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ）Ａ．圆Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数3z i =+与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi -=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求y x的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心， 3为半径的圆上，y x表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为3．18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a i i i+++=-， ()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ， 2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++222()44a b b =+++844b =++124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得3a =±．3z i =±+∴．32i ω=±+∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···， 由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ②又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <． 由①②，得31a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，． 故所求3a =-，1b =-．22．设z 是虚数1z zω=+是实数，且12ω-<<． （1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<． 所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi b i z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故2122(1)31a a ωμ-+-+··≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ）Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．2- Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ） Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数 Ｃ．{}{}M实数复数苘 Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b >Ｂ．11b -<< Ｃ．1b >Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ）Ａ．1个圆Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i -Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9iＢ．93i + Ｃ．9i - Ｄ．93i -－答案：Ｂ9．复数2()12mi A Bi m A B i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ） Ａ．2 Ｂ．23 Ｃ．23- Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ） Ａ．411+和411-Ｂ．3和1 Ｃ．52和34 Ｄ．39和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，1222z z +=，13z =，22z =，则12z z -=（ ） Ａ．1Ｂ．12 Ｃ．2 Ｄ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，12z +=，求复数z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120b a b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，① 又由12z +=，得22(1)2a b ++=， ②由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++． （1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，， 解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值． 解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a +=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴． 则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，． 1258OZ OZ =∴·．—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水20．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限，212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

（1）求复数 ；
（2）设 在复平面上的对应点分别为 ，求 的面积．
解：（1）设 ，则 ，
由题意得 且 ，
解得 或 ，
因此 或 ．
（2）当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
当 时， ， ，
所以得 ，
所以 ．
15．设 为虚数，求证： 为纯虚数的充要条件是： ．
证明： 为虚数， ，
则 为纯虚数
．
高中新课标数学选修（2-2）
Ａ．实数
Ｂ．纯虚数
Ｃ．是虚数但不一定是纯虚数
Ｄ．可以是虚数也可以是实数
答案：Ａ
二、填空题
7．已知 ， ， ，则实数 ．
答案：
8．已知复数 ， ，且 与 共轭复数的积是实数，则实数 的值为．
答案：
9．已知 是实系数一元二次方程 的一个根，则 ， ．
答案：1，
10．利用公式 ，把 分解成一次因式的积为．
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．对于实数 ， ，下列结论正确的是（ ）
Ａ． 是实数Ｂ． 是虚数
Ｃ． 是复数Ｄ．
答案：Ｃ
2．下列说法正确的是（ ）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集；⑤虚轴上的点表示的数都是纯虚数；⑥实轴上的点表示的数都是实数．
答案：
11．已知 ， ，则 的值是．
答案：
12．对于任意两个复数 ， （ 为实数），定义运算“ ”为： 。设非零复数 在复平面内对应的点分别为 ， ，点 为坐标原点．如果 ，那么在 中， 的大小为．
答案：
三、解答题
13．已知 ， ， ，若 ，求 ， 的值．
解： ， ，

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( )A．复数的模是正实数B．虚轴上的点与纯虚数一一对应C．相等的向量对应着相等的复数D．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数解析复数的模可能为0，故A错．虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错．复数可以用向量表示，相等的向量对应的复数也相等，故C正确．实部相等，虚部互为相反数的两个复数为共轭复数，故D错．答案 C2.10i 2－i ＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4iD ．2－4i解析 10i 2－i ＝10i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝20i －104＋1＝－2＋4i.答案 A3．若n 是大于2000的奇数，则复数(1＋i 1－i )2n ＋(1－i 1＋i )2n的值是( )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．0解析 (1＋i 1－i )2n ＋(1－i 1＋i )2n＝(2i －2i )n ＋(－2i 2i )n＝(－1)n ＋(－1)n ＝2(－1)n ∵n 是大于2000的奇数， ∴原式＝－2. 答案 B4．复数z ＝a (a ＋2)a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A ．a ＝0B ．a ＝0且a ≠－1C ．a ＝0或a ＝－2D ．a ≠1或a ≠－3解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＋2)a －1＝0，a 2＋2a －3≠0，解得a ＝0，或a ＝－2. 答案 C5．复数(1＋2i )23－4i 的值是( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析 (1＋2i )23－4i ＝－3＋4i 3－4i ＝－1.答案 A6．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)， 则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i ＝(2＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝12[(2－b )＋(2＋b )i]． ∵z ＋21－i∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2， ∴z ＝－2i. 答案 D7．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 由已知得α(i)＝i n ＝1， ∴n 的最小正整数为4. 答案 B8．(2010·陕西)复数z ＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析 z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12(i ＋1)＝12＋12i. ∴复数z 的对应点在第一象限． 答案 A9．复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i解析 3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝i (2－3i )2－3i ＋i (2＋3i )2＋3i＝i ＋i ＝2i. 答案 D10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )A ．3－iB ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析 依题意知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝4＋2i ， ∴z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.答案 A11．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( )A ．1±2iB ．－1±2iC ．1＋2i 或－1－2iD ．2＋i 或－2－i解析 若按复数相等的条件去解方程组，计算很繁，本题可采用验证的方法．∵(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝－3＋4i ，∴z ＝1＋2i 或－1－2i.答案 C12．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )A ．|z －z |＝2yB ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析 ∵z ＝x ＋y i ，(x ，y ∈R )， 则z ＝x －y i ，∴z －z ＝2y i.∴|z －z |＝|2y |≥2y ，故A 、C 错．又z 2＝x 2－y 2＋2xy i ≠x 2＋y 2，故B 错．因此，正确答案为D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．复数2＋i1＋i 的共轭复数是________．解析 2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ，∴共轭复数为32＋12i.答案 32＋12i14．若z 1＝1＋i ，z 1·z －2＝2，则z 2＝__________. 解析 ∵z 1＝1＋i ，z 1·z －2＝2， ∴z －2＝21＋i＝1－i. ∴z 2＝1＋i. 答案 1＋i15．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部是________．解析 (z 1－z 2)i ＝[4＋29i －(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i.∴(z 1－z 2)i 的实部是－20. 答案 －2016．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1－z 2|＝22，则|z 1＋z 2|＝________.解析 由复数及模的几何意义知，以z 1，z 2对应向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|＝2 2.答案 2 2三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)要使复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i 为纯虚数，实数a 是否存在？若存在求出a 的值；若不存在说明理由．解 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＝0， ①a 2＋2a －15a 2－4≠0， ②由①解得a ＝3，或a ＝－2，分别代入②都不合题意，所以不存在使z 为纯虚数的实数a . 18．(12分)已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2为实数，求z 2.解 由(z 1－2)i ＝1＋i ，得 z 1－2＝1＋ii ＝(1＋i)(－i)＝1－i ，∴z 1＝3－i.依题意可设z 2＝x ＋2i(x ∈R )，则z 1·z 2＝(3－i)(x ＋2i)＝3x ＋2＋(6－x )i 为实数， ∴x ＝6，∴z 2＝6＋2i.19．(12分)已知虚数z 满足|z |＝2，且(z －a )2＝a ，求实数a . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)， 则(z －a )2＝(x ＋y i －a )2 ＝(x －a )2－y 2＋2y (x －a )i. 又(z －a )2＝a ，|z |＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－y 2＝a ，2y (x －a )＝0，x 2＋y 2＝2.解得a ＝－1.20．(12分)已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根. (1)求a ，b 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根． 解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝0， 即(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴a ，b 的值为a ＝－2，b ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0， 把1－i 代入方程左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2 ＝－2i －2＋2i ＋2 ＝0显然方程成立．∴1－i 也是方程的一个根． 21．(12分)设w ＝－12＋32i ，(1)求证：1＋w ＋w 2＝0；(2)计算：(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2)． 解 (1)证明：∵w ＝－12＋32i ，∴w 2＝(－12＋32i)2＝14＋2(－12)(32i)＋(32i)2 ＝14－32i －34 ＝－12－32i ，∴1＋w ＋w 2＝1－12＋32i －12－32i ＝0.(2)由1＋w ＋w 2＝0知， (w －1)(1＋w ＋w 2)＝0， ∴w 3－1＝0，∴w 3＝1. ∴(1＋w －w 2)(1－w ＋w 2) ＝(－2w 2)(－2w ) ＝4w 3＝4.22．(12分)设z 1，z 2∈C ，(1)求证：|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2； (2)设|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1＋z 2|＝6，求|z 1－z 2|.解(1)证明：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＋(a－c)2＋(b－d)2＝2a2＋2c2＋2b2＋2d2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，又2|z1|2＋2|z2|2＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)，故|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.(2)∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2，∴62＋|z1－z2|2＝2×32＋2×52.∴|z1－z2|2＝68－36＝32.∴|z1－z2|＝4 2.。

人教A 版选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入基础测试题一、单选题1．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．1B ．iC iD i 2．已知复数512z i=+，则z =（ ）A ．1BCD ．53．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i -5．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．46．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数z 满足22z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ）A ．恒在实轴上B ．恒在虚轴上C ．恒在直线y x =上D ．恒在直线y x =-上8．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12-C ．32D ．32- 9．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i10．已知12z t i =+，212z i =-，若12z z 为实数，则实数t 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．14 D ．－1411．i 是虚数单位，x 、y 是实数，()()2x i i y yi +=++，则x =（ ）A ．3B ．1C ．12-D ．1312．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =二、填空题13．若复数z 满足()142i z i +=+，则z 的虚部为______．14．已知i 为虚数单位，复数()3z i ai =-，且5z =，则实数a =__________.15．已知复数12z =-+，则202120202019z z z ++值是______________． 16．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4ii e e ππ表示的复数在复平面中位于__________象限.三、解答题17．实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18．已知复数(2)(2)z m m m i =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.19．已知复数1(z i i =-是虚数单位）.（1）求2z z -；（2）如图，复数1z ，2z 在复平面上的对应点分别是A ，B ，求12z z z +. 20．已知复数z 1＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数.（1）求实数m 的值；（2）若(3＋z 1)z ＝4＋2i ，求复数z .21．已知复数23121z i m m i i ⎛⎫=⋅+++-⎪⎝⎭.当实数m 取什么值时，复数z 是 （1）1；（2）复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.22．已知复数()242z i i i =+-+.（1）求复数z 的模z ；（2）若223z mz n i --=+（m ，n ∈R ），求m 和n 的值.参考答案1．D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D2．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+故选:C.3．B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.4．C【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z .【详解】()()()()421426231112i i i i z i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.5．B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.6．C【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果．【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限，故选：C ．7．A【分析】先由题意得到z x yi =+，然后分别计算2z 和2z ，再根据22z z =得到关于x ，y 的方程组并求解，从而可得结果．【详解】由复数z 在复平面内对应的点为(),x y 得z x yi =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+， 根据22z z =得222220x y x y xy ⎧-=+⎨=⎩，得0y =，x ∈R .所以复数z 在复平面内对应的点(),x y 恒在实轴上，故选：A ．8．C【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，即可得出结果.【详解】 因为()()()()21223113111222i i i i z i i i i ++++-====+--+， 所以其虚部为32. 故选：C.9．B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．10．D【分析】利用复数的除法法则将复数12z z 表示为代数形式，令虚部为零，求出实数t 的值． 【详解】12z t i =+，212z i =-，()()()()()12212224121212125t i i t t i z t i z i i i ++-+++∴===--+， 又12z z 为实数，410t ∴+=，即14t =-.故选D. 【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的概念，对于复数问题，通常利用复数的四则运算法则将复数表示为代数形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题． 11．D【分析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数x 的值.【详解】()()23x i i y yi y yi +=++=+，31y x y =⎧∴⎨=⎩，解得13x y ==. 故选：D.【点睛】本题考查利用复数相等求参数，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 12．D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+ 222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．13．1-【分析】利用复数的运算解出z ，判断即可.【详解】解：()1i 42i z +=+，42(42)(1)6231(1)(1)2i i i i z i i i i ++--∴====-++-， 故答案为：1-.14．4±【分析】求出3z a i =+，根据5z =即可求出.【详解】()33z i ai a i =-=+，5z ∴==，解得4a =±.故答案为：4±.15．0【分析】根据12z =-+，2z =122--，31z =计算. 【详解】202120202019z z z ++67332(1)z z z ⨯=++11()()122=--+-++0=. 故答案为：0【点睛】本题考查了复数的运算，属于容易题.16．第二【分析】根据欧拉公式将4i ie e ππ化简，根据实部与虚部的值确定象限位置.【详解】因为4cos sin22cos sin4422iie iieππππππ+===++，所以对应点22⎛-⎝⎭在第二象限.故答案为：第二象限.17．（1）5m=或3m=-；（2）5m≠且3m≠-；（3）3m=.【分析】根据实部和虚部的不同取值决定何时是实数、虚数和纯虚数.【详解】（1）若22150m m--=，则z为实数，此时3m=-或者5m=.（2）若22150m m--≠，则z为虚数，此时3m≠-且5m≠.（3）若2302150mm m-=⎧⎨--≠⎩，则z为纯虚数，此时3m=.【点睛】对于复数,,z a bi a b R=+∈，（1）若0b=，则z为实数；（2）若0b≠，则z为虚数，特别地，如果0,0a b=≠，则z为纯虚数，解题中注意合理分类．18．（1）2m=；（2）0m=；（3）1m=或2m=.【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实数为0，虚部不为0；点在直线y x=上，其实部与虚部的绝对值相等；【详解】（1）z为实数，∴20m-=，解得：2m=；（2）z为纯虚数，(2)0,20,m mmm-=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z在复平面内对应的点在直线y x=上，∴()221m m m m-=-⇒=或2m=.【点睛】本题考查复数的相关概念，考查运算求解能力，属于基础题.19．（1）1i --；（2）15i 22-+. 【分析】（1）把1z i =-代入2z z -，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）由图形求得1z ，2z ，代入12z z z +，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：（1）1z i =-，222(1)(1)1211z z i i i i i i ∴-=---=-+-+=--；（2）12z i =，22z i =+， ∴122223(23)(1)1511(1)(1)22z z i i i i i i z i i i i ++++++====-+---+. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 20．（1）m ＝0；（2）1＋i .【分析】(1)根据纯虚数的定义列出等式,解出即可.(2)将z 1＝－i 代入(3＋z 1)z ＝4＋2i 化简即可得出答案.【详解】（1）根据纯虚数的概念，需实部为0，虚部不为0.()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩， 解得m ＝0.（2）当m ＝0时，z 1＝－i .由(3＋z 1)z ＝4＋2i ，即(3－i )z ＝4＋2i ，得z ＝423i i +-＝()()()()42333i i i i ++-+＝1＋i . 【点睛】本题考查纯虚数的定义与复数的运算,属于基础题.牢记复数的分类与复数的运算规律是解本题的基础.21．（1）2；（2）1或3【分析】（1）根据实部为1，虚部为零可求m 的值；（2）根据实部和虚部相等可求m 的值.【详解】解：()22i (3i 1)2i 1(1)32i z m m m m m =⋅+-++-=-+-+. （1）当211,320,m m m -=⎧⎨-+=⎩即2m =时，z 为1.（2）当2132m m m -=-+，即1m =或3m =时，z 为复平面内第一、三象限角平分线上的点对应的复数.【点睛】本题考查复数的分类、复数的几何意义以及复数的运算，注意根据实部和虚部的性质来解决问题，本题属于容易题.22．（1）5；（2）25m n =-⎧⎨=⎩． 【分析】（1）根据复数的代数形式的四则运算及复数的模的计算公式求解即可；（2）由（1）知43z i =+，由此可得4422333m n m --=⎧⎨--=⎩，解出即可． 【详解】解：（1）()24224243z i i i i i i =+-+=+-+=-，则5z ==；（2）由（1）知43z i =-，43z i =+， ∴()24343223z mz n i m i n i --=--+-=+，即()4423323m n m i i --+--=+，∴4422 333m nm--=⎧⎨--=⎩，解得25mn=-⎧⎨=⎩．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模与共轭复数，属于基础题．。