(合集)西南交通大学2005-2013研究生数值分析试题

西南交通大学2005年硕士研究生招生入学考试试题一、解释下列名词（每题3分，共24分）1、共析转变由一个固相同时析出成分和晶体结构均不相同的两个新固相的过程称为共析转变2、二级相变从相变热力学上讲，相变前后两相的自由能（焓）相等，自由能（焓）的一阶偏导数相等，但二阶偏导数不等的相变称为二级相变，如磁性转变，有序-无序转变，常导-超导转变等。

3、上坡扩散原子从低浓度向高浓度处的扩散，扩散的驱动力是化学位梯度。

4、螺型位错位错线附近的原子按螺旋形排列的位错称为螺型位错。

5、热弹性马氏体相变当马氏体相变的形状变化是通过弹性变形来协调时，称为热弹性马氏体相变。

6、成分过冷界面前沿液体中的实际温度低于由溶质分布所决定的凝固温度时产生的过冷。

7、伪共晶非平衡凝固条件下，某些亚共晶或过共晶成分的合金也能得到全部的共晶组织，这种由非共晶成分的合金得到的共晶组织称为伪共晶。

8、共格相界如果两相界面上的所有原子均成一一对应的完全匹配关系,即界面上的原子同时处于两相晶格的结点上,为相邻两晶体所共有,这种相界就称为共格相界。

二、画出下列材料的组织示意图并在途中标出各种组织的名称。

（每小题2分，共12分）二、画出下列材料的组织示意图并在途中标出各种组织的名称1、共析钢的平衡组织2、灰口铸铁（未腐蚀）3、T12钢的淬火+低温回火组织4、铝硅共晶组织5、45#钢淬火+高温回火组织6、45#钢的平衡组织答：如图所示。

三、公式题（每小题6分，共18分）1、写出螺型位错的应力场，并说明每个物理量的物理含义。

答：⎪⎩⎪⎨⎧=====+==+−==0ττ0σσσy x x 2πGb ττy x y 2πGbττyz xy zz yy xx 22zy yz 22zx xz 式中，σ为正应力，τ为切（剪）应力，b 为柏氏矢量。

2、写出扩散第二定律，说明每个物理量的含义和量纲单位。

答：菲克第二定律（一维）22xC D t C ∂∂=∂∂式中，C 为浓度（g/cm 3）；D 为扩散系数（cm 2/s）；t 为时间（s）；x 为距离（cm）。

工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一 填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3） 设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______． （4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）． （6） 给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________． （7） 设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ． （8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶． （9） 常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10） 对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ； （2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵． 七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ） （1）求上述求积公式（A ）的代数精度； （2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=． 试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案 （1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=； （7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根． 根 （a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛． （2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ． 因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈． 三. 解 设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775． 根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ． 根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解 （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛． （2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解 所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解 对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解 （1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(； 当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=； 当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=． 则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。

1.填空(1). 在等式∑==nk k kn x f ax x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。

（限填“有”或“无”） (2). Gauss 型求积公式不是 插值型求积公式。

（限填“是”或“不是”）或“无”） (3). 设l k (x )是关于互异节点x 0, x 1,…, x n , 的Lagrange 插值基函数，则∑=-nk k m k x l x x 0)()(≡0 m=1,2,…,n(4). ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3211A ，则=1||||A 4 ，=2||||A 3.6180340 ，=∞||||A 5 ； (5). 用1n +个不同节点作不超过n 次的多项式插值，分别采用Lagrange 插值方法与Newton 插值方法所得多项式 相等(相等, 不相等)。

(6). 函数3320,10(),01(1),12x f x x x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪+-≤≤⎩与函数3321,10()221,01x x x g x x x x ⎧++-≤<=⎨++≤≤⎩中,是三次样条函数的函数是 g(x)，另一函数不是三次样条函数的理由是二阶导不连续 。

(7). n 个不同节点的插值型求积公式的代数精度一定会超过n-1 次2.设)5()(2-+=x x x αϕ，要使迭代法)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*=x ，则α取值范围 解：因x x αϕ21)(+='，由1521*)(<+='αϕx ，即0522<<-α故α的取值范围是051<<-α。

3.给定方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 211111112321x x x证明Jacobi 方法发散而Gauss-Seidel 方法收敛。

分析 观察系数矩阵的特点，它既不严格对角占优，也不对称正定，因此应该写出Gauss-Seidel 方法的迭代矩阵B ，然后再观察是否11<B或1<∞B 或求出)(B ρ，看其是否小于1。