2019年河南省安阳市高考数学一模试卷答案及解析
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2019届河南省安阳市高三数学（理科）一模试题答案及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{y|y＝2+}，则A∩B＝（）A．[2，+∞）B．（1，2）C．（1，2]D．（1，+∞）【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{y|y≥2}；∴A∩B＝[2，+∞）．故选：A．【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2．（5分）已知复数：z＝，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．【解答】解：z＝＝＝，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3．（5分）已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（）A．85B．84C．83D．81【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解．【解答】解：由一组数据的茎叶图得：该组数据的平均数为：（75+81+85+89+95）＝85．故选：A．【点评】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）已知向量＝（2，1），|+|＝4，•＝1，则||＝（）A．2B．3C．6D．12【分析】将|+|＝4两边平方可得．【解答】解：∵|+|＝4，∴2+2+2•＝16，∴5+||2+2＝16，∴||＝3故选：B．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．5．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M，N两点，若|MN|＝4，则|MF|＝（）A．B．6C．D．3【分析】求出M的坐标，得到p，然后求解|MF|．【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于M（，），N（，﹣）两点，若|MN|＝4，可得：p＝4，可得p＝2，所以|MF|＝＝，故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．（5分）设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】利用幂函数的性质比较b与c的大小，利用指数函数的性质比较b与1的大小，利用对数式的运算性质得到c大于1，从而得到结论．【解答】解：因为y＝x0.5在（0，+∞）上是为增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，即a＞b．c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5．所以b＜a＜c．故选：B．【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．7．（5分）+的最小值为（）A．18B．16C．8D．6【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：≥9+1+＝16，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8．（5分）在（2﹣）5的展开式中，x的系数为（）A．32B．﹣40C．﹣80D．80【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．【解答】解：（2﹣）5的展开式的通项为＝．令，得r＝1．∴x的系数为．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列区间使函数f（x）单调递减的是（）A．[﹣，π]B．[﹣，﹣]C．[﹣，]D．[，]【分析】首先利用三角函数的图象求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出函数的单调区间．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则：，所以：T＝π，则：，当x＝时，f（）＝2sin（2×+φ）＝0，所以：＝kπ（k∈Z），解得：φ＝k（k∈Z），由于：|φ|＜，当k＝0时，φ＝﹣，所以函数f（x）＝2sin（2x﹣），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，函数的单调递减区间为[]．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为，则h＝（）A．B．2C．2D．【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，画出其直观图，根据正视图、俯视图都是等腰直角三角形，通过外接球的体积，求出半径，然后求解棱锥的高h，【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，其直观图如图：O为AC的中点，∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，FO⊥底面ABC，OB＝OC＝OA＝1，∴几何体的外接球的球心为E是△ACD的外心，半径为r，该几何体的外接球体积为，∴外接球的体积V＝π×r3＝．r＝2，h＝2．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体外接球的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的性质，求得外接球的半径．11．（5分）若函数f（x）＝x4+ax3+x2﹣b（a，b∈R）仅在x＝0处有极值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[2，6]D．[﹣1，4]【分析】求导函数，要保证函数f（x）仅在x＝0处有极值，必须满足f′（x）在x＝0两侧异号．【解答】解：由题意，f′（x）＝x3+3ax2+9x＝x（x2+3ax+9）要保证函数f（x）仅在x＝0处有极值，必须满足f′（x）在x＝0两侧异号，所以要x2+3ax+9≥0恒成立，由判别式有：（3a）2﹣36≤0，∴9a2≤36∴﹣2≤a≤2，∴a的取值范围是[﹣2，2]故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点恰为圆Ω：x2+y2﹣4x ﹣8＝0的圆心，且双曲线C的近线方程为y＝±x．点P在双曲线C的右支上，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，|PF1|＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】求得圆心可得焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），由渐近线方程，可得a，b的方程，解得a＝1，设|PF2|＝t，运用双曲线的定义，化简所求式子，利用基本不等式的性质即可得出最小值时所求值．【解答】解；由圆Ω：x2+y2﹣4x﹣8＝0的圆心（2，0），可得焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），双曲线C的近线方程为y＝±x，可得＝，且a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，设|PF2|＝t，可得|PF1|＝t+2，＝＝t++4≥2+4＝8，当且仅当t＝|PF2|＝2时取等号，可得得|PF1|＝4．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义、标准方程与几何性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为．【分析】由条件知﹣1≤x≤3，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：在区间[﹣1，3]之间随机抽取一个数x，则﹣1≤x≤3，由|x|≤1得﹣1≤x≤1，∴根据几何概型的概率公式可知满足|x|≤1的概率为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础．14．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x﹣4y的最小值是﹣7．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移求出最优解，代入即可求z的最小值．【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z＝x﹣4y，得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z最小．由解得A（1，2），此时z的最小值为z＝1﹣4×2＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．注意目标函数的几何意义．15．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），异面直线A1D与C1P所成的角为θ，则cosθ的取值范围是（0，）．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），设P（a，a，0），1＜a＜2，C1（0，2，2），＝（﹣2，0，﹣2），＝（a，a﹣2，﹣2），∵异面直线A1D与C1P所成的角为θ，∴cosθ＝＝＝，∵1＜a＜2，∴cosθ∈（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16．（5分）如图，平面四边形MNPQ中，∠MQP＝90°，∠NMQ＝60°，MN＝3，NQ＝2，则NP的最小值为．【分析】设∠PQN＝α，∠MQN＝90°﹣α，由正弦定理可得cosα＝，在△NPQ中，设PQ＝x，由余弦定理得NP2═（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：设∠PQN＝α，∠MQN＝90°﹣α，则在△AMNQ中，MN＝3，NQ＝2，由正弦定理可得＝，则cosα＝．在△NPQ中，设PQ＝x，NQ＝2，由余弦定理得NP2＝NQ2+PQ2﹣2NQ•PQ•cosα＝12+x2﹣2×2•x•＝x2﹣3x+12＝（x﹣）2+，当x＝时，NP最小，则NP＝故答案为：【点评】本题考查了正余弦定理的应用，考查了转化思想、函数思想，属于中档题．三、解答题：共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a n≠0，且满足32a3+32a11＝a72，数列{b n}满足b n+1﹣2b n＝0，b7＝a7．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n＝nb n，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11＝a72＝32×2a7≠0，解得a7．利用等比数列的通项公式即可得出．（II）c n＝nb n＝n•2n﹣1，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）由等差数列的性质可得：32a3+32a11＝a72＝32×2a7≠0，解得a7＝64．数列{b n}满足b n+1﹣2b n＝0，可得：数列{b n}是等比数列，公比为2．∵b7＝a7＝64．∴a1•26＝64，解得a1＝1．∴b n＝2n﹣1．（Ⅱ）若c n＝nb n＝n•2n﹣1，∴数列{c n}的前n项和S n＝1+2×2+3×22+……+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，2S n＝2+2×22+3×23+……+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣S n＝1+2+22+……+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n，可得S n＝（n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，点D，E分别为A1B1，AC的中点．（1）证明：AD∥平面EB1C1；（Ⅱ）求直线AA1与平面EB1C1所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取B1C1的中点F，证得AEFD为平行四边形，进而得AD，EF平行，得证；（Ⅱ）利用平行把AA1转化为CC1，只需作CM⊥EC1于M，可证得CM⊥平面EB1C1，从而确定∠EC1C为所求角，结合正弦，余弦定理不难求解．【解答】（1）证明：取B1C1的中点F，连接FD，FE，∵D为A1B1的中点，∴，又E为AC中点，∴AE，∴DF∥AE，DF＝AE，∴四边形AEFD为平行四边形，∴AD∥EF，又AD⊄平面EB1C1，EF⊂平面EB1C1，∴AD∥平面EB1C1；（2）解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC1，∴只需求CC1与平面EB1C1所成角，在平面ACC1A1内作CM⊥EC1于M，∵平面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥CM，∵BC∥B1C1，∴CM⊥B1C1，∴CM⊥平面EB1C1，∴∠CC1M即为C1C与平面EB1C1所成角，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝2，∵侧面ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，∴CC1＝2，CE＝，∠ECC1＝120°，由余弦定理可得EC1＝，再由正弦定理得，得sin∠CC1M＝．故直线AA1与平面EB1C1所成角的正弦值为．【点评】此题考查了线面平行，直线与平面所成角等，难度适中．19．（12分）为了应对日益严重的交通压力和空气质量问题，某城市准备出台新的交通限行政策，为了了解市民对“汽车限行”的态度，在当地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如表：年龄段[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数51520n2010赞成人数3121718162（Ⅰ）求出表格中n的值，并完成参与调查的市民年龄的频率分布直方图；（Ⅱ）从这100人中任选1人，若这个人赞成汽车限行，求其年龄在[35，45）的概率；（Ⅲ）若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成汽车限行进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成汽车限行的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）由样本容量求出n的值，填写频率分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）利用条件概率公式计算所求的概率值；（Ⅲ）利用分层抽样求出抽取的人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的频率值，写出分布列，求出数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，n＝100﹣5﹣15﹣20﹣20﹣10＝30，填写频率分布表如下；年龄段[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]调查人数51520302010频率0.050.150.200.300.200.100.0050.0150.0200.0300.0200.010画出频率分布直方图如下；（Ⅱ）从这100人中任选1人，则这个人赞成汽车限行，且年龄在[35，45）的概率为P＝＝；（Ⅲ）从年龄在[45，55）中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取10×＝6（人），不赞成的抽取4人，再从这10人中随机抽取3人，则随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝；∴X的分布列为：X0123P数学期望值为E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了频率分布直方图与分层抽样应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20．（12分）设椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的上焦点为F，椭圆E上任意动点到点F的距离最大值为+1，最小值为﹣1．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F作两条相互垂直的直线，分别与椭圆E交于P，Q和M，N，求四边形PMQN 的面积的最大值．【分析】（Ⅰ）根据题中条件列出关于a、c的方程组，解出a和c的值，可得出b的值，进而可得出椭圆E的标准方程；（Ⅱ）对直线PQ与直线MN的斜率是否都存在分两种情况讨论．①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，求出这两条弦的长度，并求出此时四边形PMQN的面积；②当直线PQ与直线MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+1，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y，列出韦达定理，利用弦长公式得出|PQ|的表达式，同理得出|MN|的表达式，从而得出四边形PMQN面积的表达式，通过换元，利用函数相关知识求出四边形PMQN面积的取值范围．结合①②得出四边形PMQN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E的焦距为2c（c＞0），则有，解得，∴，因此，椭圆E的方程为；（Ⅱ）如下图所示，椭圆E的上焦点为F（0，1）．①当直线PQ与直线MN分别与x轴、y轴垂直时，则，，此时，四边形PMQN的面积为；②当直线PQ、MN的斜率都存在时，设直线PQ的方程为y＝kx+1，则直线MN的方程为，设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆E的方程联立，消去y得（k2+2）x2+2kx﹣1＝0，△＝4k2+4（k2+2）＝8（k2+1）＞0，由韦达定理可得，，∴＝＝＝，同理可得，所以，四边形PMQN的面积为＝，令t＝k2+1＞1，则k2＝t﹣1，所以，＝，∵t＞1，所以，，由二次函数的基本性质可知，当，所以，．综上所述，四边形PMQN的面积的最大值为2．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程，以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题的问题，同时也考查了弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为，求a的值；（Ⅱ）若函数h（x）＝f（x）+，且h（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅲ）若b，c∈（0，+∞），且b＞c，求证：＜lnb﹣lnc．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）＝，求出a的值即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性确定a的范围即可；（Ⅲ）问题转化为证明ln﹣＞0，设q（x）＝lnx﹣，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣，故f′（2）＝﹣＝，解得：a＝4；（Ⅱ）h（x）＝f（x）+＝lnx﹣，h′（x）＝，由函数在（0，+∞）递增，得h′（x）≥0在x＞0恒成立，即x2+（2﹣2a）x+1≥0，（x＞0），故2a﹣2≤x+，由x+≥2＝2，当且仅当x＝1时取最小值2，故2a﹣2≤2，解得：a≤2，即a∈（﹣∞，2]；（Ⅲ）要证明＜lnb﹣lnc，只需证明＜，即证ln＞，即证ln﹣＞0，设q（x）＝lnx﹣，由（Ⅱ）得，q（x）在（1，+∞）递增，而＞1，故q（x）＞q（1）＝0，即ln﹣＞0，故＜lnb﹣lnc．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，M的极坐标为（，）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程及M的直角坐标；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，M的极坐标为（，）．转换为直角坐标为（1，1）．（Ⅱ）把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0，得到：，（t1和t2为A、B对应的参数），故：，t1•t2＝﹣3．所以：|MA||MB|＝|t1•t2|＝3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|1﹣2x|+|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥m2﹣对任意x恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由绝对值的意义，讨论x≥时，当﹣2＜x＜时，当x≤﹣2时，去掉绝对值解不等式，即可得到所求解集；（Ⅱ）若f（x）≥m2﹣对任意x恒成立，可得m2﹣不大于f（x）的最小值，再由绝对值的意义和绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤4即为|2x﹣1|+|x+2|≤4，当x≥时，2x﹣1+x+2≤4，解得≤x≤1；当﹣2＜x＜时，1﹣2x+x+2≤4，解得﹣1≤x＜；当x≤﹣2时，1﹣2x﹣x﹣2≤4，即有x≥﹣，解得x∈∅，综上可得原不等式的解集为[﹣1，1]；（Ⅱ）若f（x）≥m2﹣对任意x恒成立，可得m2﹣不大于f（x）的最小值，由f（x）＝|1﹣2x|+|x+2|＝|x﹣|+（|x﹣|+|x+2|）≥0+|x﹣﹣x﹣2|＝，当且仅当x＝时，f（x）取得最小值，可得m2﹣≤，即m2≤4，解得﹣2≤m≤2，即m的取值范围是[﹣2，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
