微积分讲义(高中物理竞赛辅导)

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微积分讲义(高中物理竞赛辅导)

高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数自变量和因数量绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。

高中物理竞赛讲座23(物理微积分2word)

2
式中已略去高阶小量 (Δri ) 。，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为
Δqi 2σΔS i 2σ 0 ri
2
2
2π ri Δri
4π 0 Δri ri
设时刻 t，细圆环转动的角速度为 w
0 t
单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流
ΔI i Δqi
2 3 4k 2 0 πa 0 (a 2 a1 ) 2 2 a12 a 2 R
0 t
(12)
由（12）式可见，张力 F 随时间 t 线性减小
五、（23 届复赛）（25 分）磁悬浮列车是一种高速运载的工具，它具有两个重要系统，一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触，另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力。为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为
d
得
2nπ k
n 0,1,2,
（8）
F0 0 （9）
当 kd
2n 1 π ，即 d
2n 1 π k
n 0,1,2,
（10）
F0 达最大值
F0 max
4 B02l 2 v k （11） R
当 d 取其它值时， F0 介于 0 与最大值 F0 max 之间．
（1）
平移速度 v0 为恒量．由此可见，题给出的磁场 B x, t B0 cos t kx 可视为一在空间按余弦规律分布的非均匀磁场区域以速度 v0 沿 x 轴的正方向平移．如果金属框移动的速度小于磁场区域平移的速度，那么通过金属框的磁通将随时间发生变化，从而在金属框中产生感应电流，感应电流将受到磁场的安培力作用．由题已知，在时刻 t，金属框移动的速度为 v ，金属框 MN 边位于坐标 x 处，PQ 边位于坐标 x d 处．设此时金属框的磁通为（规定由纸内到纸外为正）；经过一很短的时间间隔 t ，整个磁场分布区域向 x 方向移动了一段距离 v0 t ，金属框向 x 方向移动了一段距离 vt ，其结果是：MN 边左侧穿过面积为金属框，PQ 边左侧穿过面积为

高中物理竞赛讲义(完整版)

最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (4)一、高中物理奥赛概况 (4)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (15)第二部分牛顿运动定律 (19)第一讲牛顿三定律 (19)第二讲牛顿定律的应用 (20)第二讲配套例题选讲 (31)第三部分运动学 (32)第一讲基本知识介绍 (32)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (34)第四部分曲线运动万有引力 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (51)第五部分动量和能量 (51)第一讲基本知识介绍 (51)第二讲重要模型与专题 (54)第三讲典型例题解析 (71)第六部分振动和波 (71)第一讲基本知识介绍 (71)第二讲重要模型与专题 (77)第三讲典型例题解析 (89)第七部分热学 (89)一、分子动理论 (90)二、热现象和基本热力学定律 (92)三、理想气体 (95)四、相变 (104)五、固体和液体 (109)第八部分静电场 (111)第一讲基本知识介绍 (111)第二讲重要模型与专题 (116)第九部分稳恒电流 (130)第一讲基本知识介绍 (130)第二讲重要模型和专题 (135)第十部分磁场 (148)第一讲基本知识介绍 (148)第二讲典型例题解析 (153)第十一部分电磁感应 (160)第一讲、基本定律 (161)第二讲感生电动势 (165)第三讲自感、互感及其它 (170)第十二部分量子论 (174)第一节黑体辐射 (174)第二节光电效应 (178)第三节波粒二象性 (187)第四节测不准关系 (190)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称IPhO）①1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。

高中物理竞赛讲座22(物理微积分1word)

f ( x) sgn x 1( x 0) 或 0 ( x 0) 或 1 ( x 0)
lim f ( x) B
x A
例：
lim(2 x 1 ） 3
x 2
lim
x 3
x-3 x 3 1 1 lim lim 2 x 3 x 3 x 9 ( x 3)( x 3) x3 6
2、t 时刻的瞬时速度
1 1 [v0 (t t ) a(t t ) 2 ] (v0 t at 2 ) s 2 2 vt lim lim t 0 t t 0 t
= lim
(v0 at )t v0 at t 0 t
3、 t (t t ) 平均加速度
2、t 时刻的瞬时速度
v lim
x x x [5 3(t+t ) 2(t+t )3 ] (5 3t 2t 3 ) lim t t t lim t 0 t t 0 (t t ) t t 0 t
3 6t 2
3、 t (t t ) 平均加速度
v vt t vt [3 6(t+t )2 ] (3 6t 2 ) a t t t
4、t 时刻的瞬时加速度
[3 6(t+t )2 ] (3 6t 2 ) a lim a lim 12t t 0 t 0 t
例题：加在电容器两端的电压 u u0 sin t ，求 t 时刻瞬时电流强度。提示：电容器带电量 Q CU （C 为定值），平均电流 i 量）。解： Q cu cu0 sin t
a
v [v0 a(t t )] (v0 at ) a t t
例题：变速运动的位移公式 x 5 3t 2t 3 ，则 1、 t (t t ) 内的平均速度

高中物理竞赛讲义(超级完整版)(1)

最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况 (5)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (13)第二部分牛顿运动定律 (15)第一讲牛顿三定律 (16)第二讲牛顿定律的应用 (16)第二讲配套例题选讲 (24)第三部分运动学 (24)第一讲基本知识介绍 (24)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (26)第四部分曲线运动万有引力 (28)第一讲基本知识介绍 (28)第二讲重要模型与专题 (30)第三讲典型例题解析 (38)第五部分动量和能量 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (53)第六部分振动和波 (53)第一讲基本知识介绍 (53)第二讲重要模型与专题 (57)第三讲典型例题解析 (66)第七部分热学 (66)一、分子动理论 (66)二、热现象和基本热力学定律 (68)三、理想气体 (70)四、相变 (77)五、固体和液体 (80)第八部分静电场 (81)第一讲基本知识介绍 (81)第二讲重要模型与专题 (84)第九部分稳恒电流 (95)第一讲基本知识介绍 (95)第二讲重要模型和专题 (98)第十部分磁场 (107)第一讲基本知识介绍 (107)第二讲典型例题解析 (111)第十一部分电磁感应 (117)第一讲、基本定律 (117)第二讲感生电动势 (120)第三讲自感、互感及其它 (124)第十二部分量子论 (127)第一节黑体辐射 (127)第二节光电效应 (130)第三节波粒二象性 (136)第四节测不准关系 (140)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称IPhO）① 1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。

物理竞赛微积分初步求导积分2市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

物理竞赛微积分初步求导积分
§1 函数、导数与微分
一、变量、常量与函数 •变量：在某一过程中取值会不断变化旳量。 •常量：在某一过程中取值一直不变旳量。 •函数：变量 y 按某种拟定旳关系随变量 x 旳变化而变化，则称 y 是 x 旳函数，x 叫自变量，y 叫因变量，写作： y=f (x)
例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x •复合函数：若 y 是 z 旳函数 y=f (z)，而 z 又是 x 旳函数 z=g(x)，则称 y 是 x 旳复合函数，记作：
dy f (x)dx (5x sin x)dx (5 cos x)dx
§2 不定积分
一、原函数前一节学了求函数 y = f (x) 旳导数 f ’(x)，
现若已知一函数 F(x) 旳导数为 f (x) ，要求原函数F(x)
例因 (x3)’ = 3x2 ，所以 x3 为3x2 旳原函
y
f ( x)
d dy dx dx
d2y dx 2
同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶导旳导数则为四阶导等。例求 y = x3+3x2 旳二阶导数
y 3x2 6x y 6x 6
三、函数旳极值
若函数 y =f (x) 在某一点 x1 旳函数值 f (x1) 比邻近各点旳函
例1 求
2 xdx
1 x2 1
解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：
xdx x2 1
1 2
du u
1 2
ln u
c
1 2
ln( x2
1)
2 1
xdx x2 1
1 ln( x2 2
2
1)

物理竞赛数学知识——微积分

则，令，得
利润为，比遵守协议多，可见违约金至少为
[变化]成本为c，生产能力足够，价格由商家决定，而顾客根据价格是否购买。顾客购买量商家1产品的量，，购买商家2产品的量。商家的利润定义为。两商家都足理性，追求利益最大化。格有一个心理极限，只要价格低于这个极限就会购买，如果有两个商品价格都小于心理极限，则会随机购买一个。再假设所有人的心理价格是从0到M均匀分布的
例题精讲
【例2】判定下列函数在其定义域内是否有极值，求出极值并说明是否极大值、极小值。
；；；，
【答案】 1 极小：x=0,y=0
2 极小：，
3极小：，极大：
4极值：，不是极大也不是极小
4极大：
【例3】求下列函数在各自区间上的最大值和最小值（自学）
；；
【答案】 1 极值点：极小：，不在区间内。边界点；由于函数连续，有下界无上界，所以有最小值点，就在是边界取到：
B
招
不招
招
（8，8）
（10，1）
不招
（10，1）
（2，2）
[解析]
/*段子纳什均衡年轻的男性数学、物理工作者要做点成就出来，动力往往跟女人有关。纳什这家伙也不例外。纳什很有才，二十多岁就当上了教授，但是还是单身。一天他和一群狐朋狗友一起去酒吧喝酒，看见了一位漂亮mm，于是大家都想搭讪。别人都在想怎样搭讪才能成功，此时纳什的天赋表现出来了：他想，如果大家一拥而上一起搭讪，mm必然愤怒，大家都失败；如果让一个人搭讪，其他人帮腔，成功概率就会大得多，然后每次去酒吧大家轮流来，每人都有好处。由此出发他提出了著名的纳什均衡理论，大体意思是说每人都以自己利益最大化为标准，最后团体必然会形成一个稳定的策略。然后呢…然后纳什就疯了…直到几十年后他被授予了诺贝尔经济学奖才好一点。具体的情况推荐大家看《美丽心灵》，不看人生不完整*/

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