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中考数学二次根式的考点系列解析

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二次根式的考点二次根式是中考的固定考点之一。

而且考试的题型也越来越灵活。

下面就结合08年中考试题，把二次根式的考点归纳如下，供同学们学习时参考。

考点1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。

知识特点： 常见的无理数：1、π以及π的有理数倍数。

2、2、3、5；3、2．01001000100001………… 考查题型例1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。

（08年自贡市）分析：-1的绝对值是1，所以，小于－1的数的绝对值一定要大于1，只要符合这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。

解：小于－1的有理数-4、-5等等，小于－1的无理数-2、-3、-5等等。

例2、从实数－2，－31，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（ ） A. －31，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л（08年湖北省宜昌市） 分析：根据常见的无理数，可以发现只有-2和π是无理数，因此，选项D 是正确的。

解：选D 。

例3、如图1所示，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有523π7，，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．（08嘉兴市）、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。

解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现B 、D 是无理数，A 和C 是有理数，结果列表如下：（图1）2仔细观察上表，一共有12种可能性，期中都是无理数的可能性有2种， 为：61122=。

因此，两个数都是无理数的概率考点2、平方根知识回顾：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的平方根。

记作±a 。

读作“正负根号a ” 知识特点：1、 被开方数a ，满足的关系式是：a ≥0；2、平方根x 与被开方数a ，满足的关系式是：x=±a ；3、被开方数a 与平方根x ，满足的关系式是：a= x 2= （±a ）2=a 2= （-a ）2；4、两个平方根之间满足的关系式是：a +（-a ）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为0.如下说法都是正确的： ① a 的平方根是±a ； ②a 是a 的平方根； ③-a 是a 的平方根；④±a 是a 的平方根；其中a 是非负数。

此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。

考查题型例4、2的平方根是（ ）A ．4B 2C ．2-D ．2±（08年南京市）分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“±”来体现“两个”。

解：选D 。

例5、9的算术平方根是A. ±3B. 3C. －3D. 3（08恩施自治州）分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项A 、C 都是不正确的； 因为，32=9，所以，9的算数平方根是3。

解：选B.例6、化简：4=（ ）A ．2B ．－2C ．4D ．－4（08年甘肃省白银市）分析：理解4的意义是解题的关键。

4的意义实际上就是求正数4的算术平方根，所以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于4，这样只有选项A 符合要求。

解：选A 。

=_________。

(08年安徽省)分析：因为，（-4）2=16的意义是求正数16的算数平方根，因为，42=16=4.考点3、二次根式知识回顾：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。

知识特点：1、被开放数a 是一个非负数；2、二次根式a 是一个非负数，即a ≥0；3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0. 考查题型例7,则x 的取值范围是 A.x >-5 B.x <-5 C.x ≠-5 D.x ≥-5 (08常州市)分析：在这里二次根式的被开方数是x+5, 必须满足条件：x+5≥0，所以，x ≥-5，因此，选项D 是正确的。

解：选D 。

例8、若20a -=，则2a b -= ．（08年遵义市） 分析：因为，|a-2|和3-b 都是非负数，并且它们的和是0， 所以，|a-2|=0且3-b =0，所以，a=2，b=3， 所以，a 2-b=4-3=1.例9、若实数x y ，2(0y +=，则xy 的值是 ．(08年宁波市) 分析：因为，2+x 和2)3(-y 都是非负数，并且它们的和是0， 所以，2+x =0且2)3(-y =0，所以，x=-2，y=3，所以，xy=-23.考点4、二次根式的化简与计算知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

知识特点：二次根式的加减运算：a m +b m =（a+b ）m ，（m ≥0）； 二次根式的乘法运算：a .b =ab ，( a ≥0, b ≥0)；二次根式的除法运算：a ÷b =babba =，( a ≥0, b ＞0)； 二次根式的乘方运算：2)(a =a ，( a ≥0)；二次根式的开方运算：2a =⎩⎨⎧-≥0,a ＜a a a ，考查题型例10、下列计算正确的是（ ）A ．=B =C 3=D 3=-（08年聊城市）分析：这就是二次根式化简的综合题目，23与42的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A 是错误的；因为，22222482=⨯=⨯=，所以，B 也是错误的；因为，27÷3=39327==÷，所以，C 是正确的；根据二次根式的开方公式，得到D 是错误的。

解：选C 。

例11、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -（08年大连市）分析：xy=（b a -）（b a +）=2)(a -2)(b =a-b ，所以，D 是正确的。

解：选D 。

考点5、最简二次根式知识回顾：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

知识特点：1、最简二次根式中一定不含有分母；2、对于数或者代数式，它们不能在写成a n×m 的形式。

考查题型例12、下列根式中属最简二次根式的是（ ）（08年湖北省荆州市） 分析：因为B 中含有分母，所以B 不是最简二次根式；而8=22×2，27=32×3，所以，选项C 、D 都不是最简二次根式。

所以，只有选项A 是正确的。

解：选A 。

考点6、估算例13 ）． Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间（08年芜湖市）分析：5242016202132+=+=+⨯ 因为，4＜5＜9，所以，954ππ，所以，2＜5＜3,所以，4＜25＜6,所以，4+4＜25+4＜6+4,所以，8＜25+4＜10,也就是在8到9之间. 解:选择C.二次根式考点例析二次根式是中考必考知识之一。

现在结合近几年的考题，谈谈在中考中是如何考二次根式的。

1、考对概念的理解例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是( )．A． B． C． D．（07四川眉山）分析：本题考查同类二次根式的定义。

判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把二次根式化简成最简二次根式，再观察化成最简二次根式后的两个二次根式的被开方数是否相同，如果相同，原来的两个二次根式就是同类二次根式，如果不相同，原来的两个二次根式就不是同类二次根式。

解：所以，选D。

例2、25的算术平方根是( )A．5 B．12.5 C．–5 D．±5（07湖北宜宾）分析：本题考查同学们对算术平方根的理解。

算术平方根具备的特点是：1、算术平方根一定是正数或零；2、算术平方根×算术平方根=这个数。

根据上述的条件，可知道，只有A选项满足所有的要求。

解：选A）。

练一练1：1、在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．（07上海市）2、9的平方根是（）。

A、3B、－3C、±3D、81（07山东济宁）2、考二次根式的基本运算例3、下列计算正确的是（）CＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（07湖南怀化）分析：本题主要考查同学们对二次根式的加、减、乘、除运算的掌握情况。

加、减运算的实质是合并同类二次根式；乘法运算的实质是：把各二次根式的被开方数相乘，后再开平方，结果化成最简二次根式的形式；除法运算的实质是：用被除式中二次根式的被开方数除以除式中二次根式的被开方数，把得到的商再开平方，结果化成最简二次根式的形式。

因此，D是不正确的；又因为任何非零数的零次幂都是1，所以A是不正确的；因为，任何非零数的负指数次幂都是正数，所以，B也是错误的；所以，应该选C。

解：选C。

练一练2：1、下列计算正确的是（）A． B．C． D．（07浙江绍兴）2、下列计算正确的是（）A． B．C． D．（07湖南邵阳）3、考二次根式的非负性例4、实数范围内有意义，则x的取值范围是( )(A)x>1 (B)x≥l (C)x<1 (D)x≤1（07浙江宁波）分析：只有非负数才能进行开平方运算，因此，被开方数必须是非负数。

即x-1≥0，所以，x≥1，故应选B。

解：选B。

例5、已知，那么的值为（）。

A、－1B、1C、D、（07山东济宁）分析：因为二次根式的被开方数是非负数，所以开方后的二次根式的值也是非负数。

如果两个非负数的和为0，那么，这两个数必分别都是0。

解：因为，，所以，a+2=0，且b-1=0，所以，a=-2，b=1，所以，a+b=-1，所以（-1）2007=-1，故选A。

练一练3：1、要使二次根式有意义，应满足的条件是．（07辽宁旅顺口）2、已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 （07江西）4、考二次根式与数轴的关系：例6、如图，数轴上点表示的数可能是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（ 07江苏扬州）分析：本题考查数形结合的思想、逆向思维的思想以及数学中的估算思想。

从数轴上，可以看出点P所表示的数的绝对值是在大于2且小于3之间，所以C被排除；因为，点P所表示的数的绝对值是在大于2且小于3之间，因此，点P所表示的数的平方应在4与9之间，所以D被排除；又因为点P在数轴原点的左侧，所以点P表示的数应该是个负数，所以A被排除，故应选B。

解：选B。

练一练4：1、如图，在数轴上，两点之间表示整数的点有个．（07辽宁旅顺口）2、在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是．（07江西）5、考二次根式相关规律的探索例7、观察下列各式：请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来．（07山东烟台）分析：在解答时，要注意从两个方面去分析：1、先观察左边被开方数中的整数与右边二次根式的系数的关系，它们相差1；2、再观察左边被开方数中的整数与分数的分母之间的关系，他们相差2。

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(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)

(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)

第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。

2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。

3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。

二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。

2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。

3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。

一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。

三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。

开平方运算是已知指数和幂求底数。

2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。

3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。

考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。

2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。

3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。

5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。

考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点03 二次根式-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点03 二次根式数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式【易错警示】1．下列式子一定是二次根式的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为　±　．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（ ）A．5B．﹣5C．D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，则a +b 的值是（ ）A ．B ．+1C ．﹣1D ．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a ，b 的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a +）2与|b ﹣1|互为相反数，∴（a +）2+|b ﹣1|＝0，∴a +＝0，b ﹣1＝0，∴a ＝﹣，b ＝1，∴a +b ＝+1．故选：B ．5．已知n 是一个正整数，且是整数，那么n 的最小值是（ ）A ．6B ．36C ．3D ．2【分析】先把＝2，从而判断出6n 是完全平方数，所以得出答案正整数n 的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n 是完全平方数，∴正整数n 的最小值是6，故选：A ．2..同类二次根式与最简二次根式【易错警示】、都是二次根式。

2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)

2020年中考数学必考专题04 二次根式的运算(解析版)

专题04 二次根式的运算1．二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0 3．二次根式的性质： （1）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积， 即=·（a ≥0,b ≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a ≥0,b>0）。

反之，4．最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

7．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b ab a b a ab b a 专题知识回顾（＞0）（＜0）0 （=0）；9．找有理化因式的方法：（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。

如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。

即的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为10．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组（3）合并同类二次根式11．二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式

2025年中考数学考点分类专题归纳之二次根式

2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。