【人教A版高中数学选修2-1教案 】《2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程》教案

§2.1.2 求曲线的方程学习目标1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．学习过程一、课前准备（预习教材理P 35~ P 37，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?复习3：求曲线方程的一般步骤是：(1) ；(2) ;(3) ；(4) ；(5) ．二、新课导学※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x ≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为： ．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是 ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．※ 典型例题例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．三、总结提升※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4O PO A ∙=,则点P 的轨迹方程是 ．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 课后作业1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．。

2.1.1曲线与方程（一）教学目标１、知识与技能：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释.可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线.２、过程与方法：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进.３、情感、态度与价值观：加深对数形结合的理解.（二）教学重点与难点重点：通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念.难点：对曲线与方程的概念的理解.教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.（三）教学过程一.问题引入在必修2中我们过直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中研究的方法有什么不同呢？借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题？老师引导学生得出：用解析的方法，研究直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同.初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的.第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致.本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的.二.思考分析在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.三.抽象概括曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．四.例题分析及练习[例1]分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨]按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0；反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.[感悟体会](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．训练题组11．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CC ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上解析：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．答案：B2.方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0解析：方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.答案：C[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [思路点拨] 对于(1)，只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求出m 的值．[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185，∴m 的值为2或－185. [感悟体会](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．训练题组23．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上． 答案：B4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点， ∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4. 答案：4 15．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围．解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]. 五.课堂小结与归纳1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．六.当堂训练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析：A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错；D 中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线，所以D 正确． 答案：D3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．在直线l 上，也在曲线C 上C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：选B.将M (2,1)代入直线l 和曲线C 的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M 既在直线l 上又在曲线C 上，故选B.4．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)、(－1，－1)D ．(0,0)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，xy ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )解析：选B.方程x ＋|y －1|＝0可化为|y －1|＝－x ≥0，∴x ≤0，因此选B.6．若点P (2，－3)在曲线x 2－ky 2＝1上，则实数k ＝________.解析：将P (2，－3)代入曲线方程得4－9k ＝1，∴k ＝13.答案：137．给出下列结论：①方程y x －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线； ②到x 轴距离为2的点的直线的方程为y ＝2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．解析：①不正确．方程等价于y ＝x －2(x ≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线，但除去点(2,0)；到x 轴距离为2的点的直线的方程应是|y －0|＝2，即y ＝2或y ＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0y 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2y ＝±2，∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③8．已知曲线C 的方程为x ＝4－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解：由x ＝4－y 2，得x 2＋y 2＝4.又x ≥0，∴方程x ＝ 4－y 2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π·4＝2π，所以所求图形的面积为2π.。

2.1.1曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．【解析】判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．【答案】解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．【答案】解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上，∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ． 【答案】解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

求曲线的方程 授课时间： 教学目标： 1．了解解析几何的基本思想；用坐标法研究几何问题的初步知识和观点； 2．初步掌握求曲线的方程的方法. 教学重点：求曲线的方程 教学难点：求曲线方程一般步骤的掌握.教学过程：我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ,y ）所满足的方程f (x ,y )=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.1．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.例2 设A 、B 两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程.解：设M （x,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M 属于集合{}|||| MB MA M P ==.由两点间的距离公式，点M 所适合条件可表示为： 2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x将上式两边平方，整理得：x +2y －7=0 ①我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；（2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即x +2y 1－7=0x 1=7－2y 1点M 1到A 、B 的距离分别是,)136(5 )7()24( )7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=;)136(5 )1()28()1()1(121212121211+-=++-=+++=y y y y y x A M 即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0;（4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.例3 ：已知一条直线l 和它上方的一点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。

2.1.2 求曲线的方程进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念,掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法，了解求曲线方程的几种常用方法,能够利用它们去求曲线的方程【知识与能力目标】1、进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念,掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法．【过程与方法目标】2、了解求曲线方程的几种常用方法,能够利用它们去求曲线的方程.【情感态度价值观目标】3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】重点:轨迹方程的求法【教学难点】难点:求曲线的方程的思路多媒体课件一、课前自主预习解析几何硏究的主要问题(1)根据已知条件,求出示曲线的方程(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质二、学习要点点拨求曲线方程的常用方法(1)直接法:也叫直译法,即根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何的有关公式进行整理、化简（2）定义法:若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量(3)待定系数法:根据条件能知道曲线方程的类型,可设出其方程形式,再根据条件确定待定的系数(4）代入法:动点M(x,y)随着动点P(x1,y1)的运动而运动,点P(1,y)在已知曲线C上运动,可根据P与M的关系用x、y表示x1,y1,再代入曲线C的方程,即可得点M的轨迹方程. (5)参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程.(6)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程三、课堂点例讲练命题方向直译法求曲线的方程[例1]过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程命题方向代入法求曲线的方程[例2]已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2.0),B(0,2),第三个点C在曲线y=3x²-1上移动,求△ABC重心的轨迹方程.(注:设△ABC顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC重心坐标为G5【（x1+x2+x3）/3，（y1+y2+y3）/3】。

2.1曲线与方程课时分配:1.第一课曲线和方程1个课时2.第二课四种命题1个课时3.第三课四种命题间的相互关系1个课时1.1.1命题【教材分析】“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。

学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。

根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。

由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。

【教学目标】一、知识目标：1．了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2．初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

二、能力目标：1．通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3．能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

三、情感目标：1．以现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代繁华都市的立交桥的图片激发学生学习曲线与方程的兴趣。

通过两个问题的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

【教法分析】本节课从问题引入→推广→得概念→概念挖掘深化→具体应用的思考，始终让学生主动参与，亲身实践，独立思考，与合作探究相结合，在生生合作，师生互动中，使学生真正成为知识的发现者和知识的研究者，不仅使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，而且对所用到的数学方法和涉及的数学思想也得以领会，这样既可以使学生完成知识建构，又可以培养其能力。

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程一、教学目标（一）学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. （二）学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（三）学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第34页至第35页.（2）想一想：什么是曲线的方程与方程的曲线？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=，则下面说法正确的是（）A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断，条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解，满足了曲线和方程的概念条件，而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点，故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C（二）课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例，认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1：作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足：（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方程（数量）变式：作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？ 现在请同学们思考这样的问题：【设计意图】培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以及归纳概括的能力.方程F (x,y )=0的解与曲线C 上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F (x,y )=0表示曲线C ，同时曲线C 也表示着方程F (x,y )=0,为什么要具备这些条件？引例2：用下列方程表示如图所示的曲线C ，对吗？为什么？（1）0=-y x（2）022=-y x（3）0=-y x方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C 的方程.第（1）题中曲线C 上的点不全是方程0=-y x 的解.例如点A (-2,-2)，)3,3(--B 等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程022=-y x 的解为坐标的点却不全在曲线C 上.例如D (2,-2)、)3,3(-E 等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程0=-y x 的解坐标的点，如G (-3,3)、)2,2(-H 等不在曲线C 上，又有曲线C 上的点，如M (-3,-3)、N (-1,-1)等的坐标不是方程0=-y x 的解.事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况.上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系.假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了.在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x,y )=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F .请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义.关系（1）指点集C 是点集F 的子集；关系（2）指点集F 是点集C 的子集.这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即探究二 判断曲线的方程例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是k xy ±=.【知识点】曲线的方程.【解题过程】（1）设00(,)M x y 是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以k y x =⋅00即00(,)x y 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11. 而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条直线的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程.【思维点拨】先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.例2 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程||2x =之间的关系；（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy =5之间的关系.【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程||2x =的解，但以方程||2x =的解的坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上，因此，||2x =不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线方程.（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy =5，如(x,y )=(-1,5)，但以方程xy =5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5，因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy =5.【思维点拨】定义中的两个条件缺一不可，是不可分割的.同类练习 已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和(1,1)B ，求,a b 的值. 【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】曲线过点A 、B ，则A 、B 点的坐标为方程222ax by +=的解，故有25292b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：32251825a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【思维点拨】根据曲线的方程定义可知：曲线上的点都是方程的解，从而可以建立方程求解a,b .例3. 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）20x -=；（2）(231)0x y +-=；（3）2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=；【知识点】本题考查如何理解方程表示的曲线.【解题过程】（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线2350(3)x y x +-=≥和一条直线4x =. （3）因为2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=直线。

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验．四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做 ．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45)，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程．3．相关点法若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为 ． 例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用 求．例4 已知抛物线y2=4x 和以坐标轴为对称轴、实轴在y 轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x 被双曲线截得的线段长等于52，求此双曲线的方程。

2.1.2 求曲线的方程的轨迹方程．（使用方法：）（3）已知圆A ：（x ＋2）2＋y 2＝1与点A （－2，0），B （2，0），分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．①△PAB 的周长为10；②圆P 与圆A 外切，且点B 在动圆P 上（P 为动圆圆心）；③圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切（P 为动圆圆心）．（使用方法：）（4）等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为24，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A ，B ．求：该椭圆方程．（使用方法：）今天我们将学习求曲线方程的其他几种常用方法：转移法、点差法、参数法3. 转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点坐标表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称代人法．4. 参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数（如角度、直线斜率等）解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．二、典例研究例1 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A ，B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．例2 △ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（0，0），（4，0），AB 边上的中线的长为3，求顶点A 的轨迹方程．例3 设椭圆与双曲线有公共的焦点F 1（-4，0），F 2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹．三、小结1．求轨迹方程的一般步骤建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性）化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点．2．求轨迹方程的常用方法（1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x，y）的解析式．（2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x， y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程．（4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是“求轨迹方程”，求得方程（包括范围）就可以了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的形状、位置、大小等特征．4．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程．5．求轴对称的曲线的方程的一般步骤：（1）设所求曲线上任一点P（x，y）；（2）求出其关于点或轴对称的点p′（x，y）；（3）将p′坐标代入已知曲线得所求曲线方程．。

教学要求：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法教学过程：一、复习准备：1. 动一动：画出函数y=2x 2(-1≤x ≤2)的图象C2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l ，并写出其方程二、讲授新课：1. 教学曲线与方程：① 提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y =|x |，为什么？ ②曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F (x ,y )=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是方程F (x ,y )=0的解；2．以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点，都是曲线C 上的点，那么，方程F (x ,y )=0叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程F (x ,y )=0的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）③讲解例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．练习：1。

A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？2. 小结1、什么是曲线的方程、方程的曲线；2、两个条件缺一不可（请学生说出哪两个条件）三、巩固练习：1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a = (4) y =sin(arcsin x )3、画出方程()(0x y x +=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x =，{(,)|0}B x y y ==，则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是____________________．教学目标：(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程．教学重点： 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程．教学难点：正确写出曲线的方程.教学过程：一、复习准备：1、已知曲线C 的方程为 y=2x 2 ；①现曲线C 上有点A （1，2），A 的坐标是不是y=2x 2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则t=___.②已知方程y=2x 2 的一组解为 28x y =⎧⎨=⎩，以这组解为坐标的点B （2，8）——（在/不在）曲线C 上？2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、讲授新课：1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.例1：有一圆，它的圆心为O ，半径长为4r =，试写出此圆的方程。

§2．1．1曲线与方程[学情分析]：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。

[教学目标]：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程〞与“方程的曲线〞的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神[教学重点]：理解曲线与方程的有关概念与相互联系[教学难点]：定义中规定两个关系〔纯粹性和完备性〕[课前准备]：多媒体、实物投影仪[教学过程设计]：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题： (1)求如下图的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy=引导学生分析：〔1〕如果点00(,)M x y是这条直线上的任意一点，那么它到两坐标轴的距离相等，即00x y=，那么它的坐标00(,)x y是方程xy=的解。

〔2〕如果00(,)x y是方程xy=的解，即00x y=，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。

通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。

二．复习、引入(2) 仿照〔1〕说明：以(,)a b为圆心，以r为半径的圆与方程222()()x a y b r-+-=的关系王新敞引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形〞与代数中的⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，那么它到圆心的距离等于半径，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的解；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，那么可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ，点M 在圆上。

曲线与方程教材分析:曲线属于“形”的范畴，方程则属于“数”的范畴，它们通过直角坐标系而联系在一起，曲线的方程是曲线几何的一种代数表示，方程的曲线则是代数的一种几何表示。

在直角坐标系中，点可由它的坐标来表示，而曲线是点的轨迹，所以曲线可用含x、y的方程来表示。

“曲线和方程”这节教材，揭示了几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础，对解析几何教学有着深远的影响，曲线与方程的相互转化，是数学方法论上的一次飞跃。

由于曲线和方程的概念是解析几何中最基本的内容，因而学生用解析法研究几何图形的性质时，只有透彻理解曲线和方程的意义，才能算是寻得了解析几何学习的入门之径。

求曲线与方程的问题，也贯穿了这一章的始终，所以应该认识到，本节内容是解析几何的重点内容之一。

本节中提出的曲线与方程的概念，它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程，根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，是几何的研究实现了代数化。

数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。

曲线与方程学情分析：新课标强调返璞归真，努力揭示数学概念、结论的发展背景，过程和本质，揭示人们探索真理的道路。

同时结合高二学生特点，本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的基础上，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程，体会孕育在其中的思想，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点，选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程”，“ 圆的方程”入手，以集合相等，辅助理解“曲线的方程”与“方程的曲线”，进一步强化了概念理解的深刻性。

无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则。

曲线与方程课标分析"圆锥曲线与方程"是选修课程系列1选修1-1和系列2选修2-1中的内容,其中选修1-1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的;选修2-1是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。

2．1．1 曲线与方程（学案）【知识要点】 1．曲线的方程；2．方程的曲线．【学习要求】 1．结合已学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系；2．进一步感受数形结合的基本思想．【预习提纲】(根据以下提纲，预习教材第34—35页)1． 直线l 的方程是)0,(0不同时为B A c By Ax =++，这句话的含义：（1） 以方程)0,(0不同时为B A c By Ax =++的 为坐标的点都在直线l 上；（2） 直线l 上点的 都是这个方程的解．2． 在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是x 一y=0．这里的“曲线”是指 ；“方程”是指 ．3.在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f （x ，y ）=0的实数解建立如下的关系：(1) ；(2) ．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．4．如果曲线C 的方程是f （x ，y ）=0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线c 上的充要条件是 ．【基础练习】1．曲线C 的方程为y=x(1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( )．(A)(0，0) (B)(51，51) (C)(1，5) (D)(4，4) 2．“以方程f （x ，y ）=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点"是“曲线C 的方程是 f （x ，y ）=0"的( )．(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (C)既不充分也不必要条件3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( )．(A)y=x 与y 2=x (B)y=x 与1=yx (C)y 2-x 2=O 与|y |=|x| (D)y=lgx 2与y=2 lgx 4．方程(x+2)2+y 2=O 表示的图形是( )．(A)点(2，O) (B)点(一2，O) (C)点(O ，2) (D)点(O ，一2) ．5. 若方程ax 2+by=4表示的曲线经过点A(O ，2)和B(21，3)，则a= ，b = ． 6.方程()()021=+--+y x y x 表示 ．【典型例题】例1已知方程.10)1(22=-+y x（1） 判断点)3,2(),2,1(Q p -是否在此方程表示的曲线上；（2） 若点),2(m m M -在此方程表示的曲线上，求m 的值．例2下列命题正确的是( )．(A)方程12=-x y 表示斜率为1，在y 轴上截距为一2的直线方程 (B)△ABC 的三个顶点是A(一3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O 为坐标原点)的方程是x=0(C)到y 轴距离为2的点的轨迹方程是x=2(D)方程y=122++x x 表示两条射线．例3证明与两条坐标轴的距离的积是常数()0>k k 的点的轨迹方程是.k xy ±=例4方程()04122=-+-+y x y x 表示什么曲线．1. 如果命题“坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上”不正确，那么以下命题正确的是( )．(A)曲线C 上的点的坐标都满足方程f （x ，y ）=0(B)坐标满足方程f （x ，y ）=0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上(C)坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都不在曲线上(D)一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程f （x ，y ）=0 .2．方程()()0442222=-+-y x 表示的图形是( )． (A)两个点 (B)四个点 (C)两条直线 (D)四条直线．3. 方程x 2-y 2=0对应的曲线是( )．4. 已知坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么( )．(A)曲线C 上的点的坐标都适合方程f （x ，y ）=0(B)凡坐标不适合f （x ，y ）=的点都不在C 上(C)不在C 上的点的坐标必不适合f （x ，y ）=0(D)不在c 上的点的坐标有些适合f （x ，y ）=0, 有些不适合f （x ，y ）=0．5．方程x 2+xy=x 表示的曲线是( )．(A)一个点 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)一个点和一条直线6. 曲线xy 1=与2=xy 的交点坐标是( )． (A)(1，1) (B) (2，2) (C)直角坐标系内的任意点 （D ）不存在．7．曲线x 2-xy-y 2-3x+4y-4=O 与x 轴的交点坐标是 ．8.方程y x -=-11表示的曲线是两条线段 和 ．9．证明：到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是x y ±=．10．若曲线y 2=xy+2x+k 通过点(a,-a)，a ∈R ，求k 的取值范围．2．1．1 曲线与方程（教案）【教学目标】1．结合已学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系；2．进一步感受数形结合的基本思想．【重点】1. 曲线及方程的概念的理解【难点】1. 曲线的点的坐标与方程的解的对应关系的理解【预习提纲】(根据以下提纲，预习教材第34—35页)1.直线l 的方程是)0,(0不同时为B A c By Ax =++，这句话的含义：（3） 以方程)0,(0不同时为B A c By Ax =++的解为坐标的点都在直线l 上；（4） 直线l 上点的坐标都是这个方程的解．2.在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是x 一y=0．这里的“曲线”是指 方程是x 一y=0 的直线 ；“方程”是指 平分第一、三象限方程是x 一y=0的直线 ．3.在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f （x ，y ）=0的实数解建立如下的关系：(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解 ；(2) 以方程的解为坐标的点都在曲线上 ．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．4．如果曲线C 的方程是f （x ，y ）=0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线c 上的充要条件是 f(x 0，y 0) =0 ．【基础练习】1．曲线C 的方程为y=x(1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( D )．(A)(0，0) (B)(51，51) (C)(1，5) (D)(4，4) 2．“以方程f （x ，y ）=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点"是“曲线C 的方程是 f （x ，y ）=0"的( B )．(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (C)既不充分也不必要条件3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( C )．(A)y=x 与y 2=x (B)y=x 与1=yx (C)y 2-x 2=O 与|y |=|x| (D)y=lgx 2与y=2 lgx 4．方程(x+2)2+y 2=O 表示的图形是( B )．(A)点(2，O) (B)点(一2，O) (C)点(O ，2) (D)点(O ，一2) ．5. 若方程ax 2+by=4表示的曲线经过点A(O ，2)和B(21，3)，则a= 16-， b = 2 ．6.方程()()021=+--+y x y x 表示两条直线．【典型例题】例1已知方程.10)1(22=-+y x（3） 判断点)3,2(),2,1(Q p -是否在此方程表示的曲线上；（4） 若点),2(m m M -在此方程表示的曲线上，求m 的值． 【审题要津】由曲线的方程与方程的曲线的定义知：若点的坐标适合方程，则该点必在曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合方程．解：（1）()(),106132,10)12(12222≠=-+=--+ )2,1(-∴p 在此方程表示的曲线上，)3,2(Q 不在此方程表示的曲线上．（2）),2(m m M - 在方程10)1(22=-+y x 表示的曲线上， 10)1(222=--+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴m m ，解得2=m 或,518-=m 故2=m 或.518-=m 【方法总结】如果曲线C 的方程是f （x ，y ）=0，那么点P 0(x 0，y 0)在曲线c 上的充要条件是 f(x 0，y 0) =0 ．例2下列命题正确的是( )．(A)方程12=-x y 表示斜率为1，在y 轴上截距为一2的直线方程 (B)△ABC 的三个顶点是A(一3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O 为坐标原点)的方程是x=0(C)到y 轴距离为2的点的轨迹方程是x=2(D)方程y=122++x x 表示两条射线．【审题要津】利用曲线的方程与方程的曲线的定义突出的两个方面：曲线C 上的点的坐标与方程f （x ，y ）=0的解是一一对应的进行判断．解：(A)方程12=-x y 化为整式2-=x y 时产生增根()0,2，故(A)错． (B) △ABC 的中线CO(O 为坐标原点)是线段CO 而不是整条直线，故(B)错．(C)到y 轴距离为2的点的轨迹方程有两条即x=2或x=-2，故(CA)错． (D) ()111222+=+=++=x x x x y ，122++=∴x x y 表示两条射线．【方法总结】（1）解决选择题时可采用排除法；（2）化简方程时注意变形的等价性以免增根或漏根．例3证明与两条坐标轴的距离的积是常数()0>k k 的点的轨迹方程是.k xy ±=【审题要津】此题直接考察了曲线的方程的定义，可从定义的两个方面判断理解． 证明：（1）设),(00y x M 是轨迹上任意一点，则),(00y x M 到x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以0x k y =0，即),(00y x 是方程k xy ±=的解．（2）设点M 的坐标),(00y x 是k xy ±=的解，则k xy ±=，即0x k y =0．因为0y 为),(00y x M 到x 轴的距离，0x 为),(00y x M 到y 轴的距离，所以),(00y x M 到两轴的距离的积是常数(),0>k k 点),(00y x M 是曲线上的点．【方法总结】曲线的方程与方程的曲线的定义突出了两个方面，即曲线C 上的点的坐标与方程f （x ，y ）=0的解是一一对应的．例4方程()04122=-+-+y x y x 表示什么曲线． 【审题要津】利用曲线的方程研究曲线的性质，一般通过化简将复杂的方程转化为熟悉的方程便于判断．解：由()04122=-+-+y x y x 可得,0404012222=-+⎩⎨⎧≥-+=-+y x y x y x 或 即,44012222=+⎩⎨⎧≥+=-+y x y x y x 或由圆422=+y x 的圆心到直线01=-+y x 的距离22221<==d ，得直线与圆相交，⎩⎨⎧≥+=-+∴40122y x y x 表示直线在圆422=+y x 外的部分．故原方程表示圆心在原点，半径为2的圆和斜率为-1，纵截距为1的直线在圆422=+y x 外的部分．【方法总结】（1）化简方程常通过分类讨论、因式分解、平方、开方、分式与整式间的转化等手段变形；（2）化简时注意变形的等价性以免增根或漏根．1. 如果命题“坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上”不正确，那么以下命题正确的是( D )．(A)曲线C 上的点的坐标都满足方程f （x ，y ）=0(B)坐标满足方程f （x ，y ）=0的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上(C)坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都不在曲线上(D)一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程f （x ，y ）=0 .2．方程()()0442222=-+-y x 表示的图形是( D )． (A)两个点 (B)四个点 (C)两条直线 (D)四条直线．3. 方程x 2-y 2=0对应的曲线是( C )．4. 已知坐标满足方程f （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么( C )．(A)曲线C 上的点的坐标都适合方程f （x ，y ）=0(B)凡坐标不适合f （x ，y ）=的点都不在C 上(C)不在C 上的点的坐标必不适合f （x ，y ）=0(D)不在c 上的点的坐标有些适合f （x ，y ）=0, 有些不适合f （x ，y ）=0．5．方程x 2+xy=x 表示的曲线是( C )．(A)一个点 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)一个点和一条直线6. 曲线xy 1=与2=xy 的交点坐标是( D )．(A)(1，1) (B) (2，2) (C)直角坐标系内的任意点 （D ）不存在．7．曲线x 2-xy-y 2-3x+4y-4=O 与x 轴的交点坐标是(4，O)和(一l ，O)．8.方程y x -=-11表示的曲线是两条线段)01(≤≤--=x x y 和)10(≤<=x x y ．9．证明：到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是x y ±=．证明：（1）设),(00y x M 是轨迹上任一点，因为),(00y x M 到x 轴的距离为0y ，到y 轴的距离为0x ，所以=0x 0y ，即.00x y ±=故),(00y x 是方程x y ±=的解．（2）设),(00y x M 的坐标是方程x y ±=的解，则00x y ±=，即=0x 0y ，因为),(00y x M 到x 轴的距离为0y ，到y 轴的距离为0x ，所以点),(00y x M 到坐标轴的距离相等，即点),(00y x M 是曲线上的点．由（1）（2）知x y ±=是到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程．10．若曲线y 2=xy+2x+k 通过点(a,-a)，a ∈R ，求k 的取值范围．解： 曲线y 2=xy+2x+k 通过点(a,-a)，a ∈R ，.222k a a a ++-=∴,212122222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴a a a k .21,-≥∴∈k R a 故k 的范围为.21-≥k。

2.1.1 曲线与方程前面我们研究了直线与圆的方程，讨论了这些曲线和相应的方程的关系。

下面进一步研究一般曲线和方程的关系。

【知识与能力目标】1、理解曲线的概念，会确定哪些点属于曲线和曲线上有哪些点。

【过程与方法目标】2、在确定曲线和各点的关系之后，再进一步学会列曲线方程。

【情感态度价值观目标】3、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

【教学重点】理解曲线的概念，会确定哪些点属于曲线和曲线上有哪些点。

【教学难点】在确定曲线和各点的关系之后，再进一步学会列曲线方程。

多媒体课件一、复习回顾1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为_______________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________二、想一想探究一：坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0直线上的点与方程x-y=0的解有什么关系？探究二：圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2圆上的点与该方程的解有什么关系？三、新课导入定义：一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.四、归纳证明已知曲线的方程的方法和步骤第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明点 M (x0,y0)在曲线C上.五、练习题练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为 x+ √y=0;(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y= 1/ |x| 。

2.1.2求曲线的方程一、教学目标 （一）学习目标1．了解解析几何的基本思想；2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点； 3．初步掌握求曲线的方程的方法． （二）学习重点 求曲线的方程． （三）学习难点求曲线方程一般步骤的掌握． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第35页至第36页． （2）想一想：如何求曲线的方程？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程． 2．预习自测（1）方程22(2)(2)0x y -++=表示的图形是（ ）A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点 【答案】C ．（2）已知直线:30l x y +-=和曲线22:(3)(2)2C x y -+-=，则点(2,1)M 满足（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上 【答案】B ．（3= ） A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段 【答案】A ．（4）已知两定点(20),(10)=，则点P的轨迹PA PB-,,，如果动点P满足||2||A B所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【答案】B．（二）课堂设计1．知识回顾曲线的方程与方程的曲线的概念．2．新知讲解由曲线的方程、方程的曲线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质．我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何．解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科．它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质．例1．设A，B两点的坐标分别为（-1，-1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程．【知识点】曲线的方程．【解题过程】如何求曲线的方程？法一：运用现成的结论──直线方程的知识来求．法二：若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法．解：（1）设M (x,y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点，即点M 属于集合{|||||}P M MA MB ==．由两点之间的距离公式，点M 所适合的条件可表示为：2222)7()3()1()1((-+-=+++y x y x化简整理得 x +2y -7=0 ① 证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程．（1）求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解． （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程①的解，即11270x y +-= 点1M 到A,B 的距离分别是：1||==M A )136(5121+-=y y212121211)7()24()7()3((||-+-=-+-=y y y x B M )136(5121+-=y y||||11B M A M =∴．即点1M 在线段AB 的垂直平分线上．由（1）（2）可知方程①是AB 的垂直平分线．【思路点拨】第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性．求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤，求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1．建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(x,y )； 2．写出适合条件P 的几何点集：{}()P M P M =；3．用坐标表示条件P (M ),列出方程f (x,y )=0； 4．化简方程f (x,y )=0为最简形式； 5．证明(查漏除杂)．同类训练 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与x∴222816y x y y =+-+ ∴2816x y =-就是所求的轨迹方程．【思路点拨】根据已知的坐标系，结合两点间的距离公式，我们可通过点M 满足的关系式来求解．注意对于用坐标表示的距离，解题时一定要加上绝对值，确保不漏掉解．例2．经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 【知识点】曲线方程与方程的曲线．【解题过程】法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y 则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①② 由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----= ∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y y x y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx =由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩ 消去参数k 得22320x y x y +--=．由直线:l y kx =与圆交于不同两点知：22(64)36(1)0k k ∆=+-+>，故1205k <<，从而1513x <≤∴所求轨迹方程为2215320(13x y x y x +--=<≤．【思路点拨】先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数k ，然后消去参数求轨迹方程．例3．已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2．一条曲线也在直线l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到直线l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．【知识点】本题考查建立合理直角坐标系来求解方程【解题过程】设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ．设点M (x,y )是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么2=-MB MF ． 把M 点坐标代入上式得：2)2(22=--+y y x ，平方得：222)2()2(+=-+y y x ，化简得：281x y =． 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0， 所以曲线的方程是281x y =)0(≠x【思路点拨】先分析已知条件，建立合适的坐标系，然后建系，设点，找关系式，进行化简和求解．3．课堂总结知识梳理：求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:（1）建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(x,y);（2）列出适合条件P的几何点集：{}()P M P M=；（3）用坐标表示条件P(M),列出方程放f(x,y)=0;（4）化简方程f(x,y)=0为最简形式;（5）证明(查漏除杂)．重难点归纳：求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件−−−→解析化数学符号语言中的等式−−−→坐标化数学符号语言中含动点坐标(x,y)的代数方程f(x,y)=0−−−→等价变形简化了的含x,y的代数方程f(x,y)=0．（三）课后作业基础型自主突破1．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为（）A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0【知识点】曲线的方程．【解题过程】设AC、BD交于点O，∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，∴O点坐标为(52，－2)，设B点坐标为(x，y)，∴D点坐标为(5－x，－4－y)，∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0，故选A．【思路点拨】由几何关系即可 【答案】A2．已知点M (－2,0)、N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是（ ） A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)【知识点】曲线的方程．【解题过程】由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M 、N 、P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． 【思路点拨】由直角三角形的性质，注意特殊点． 【答案】A3．已知A (－2,0)，B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是（ ） A ．一个点 B ．两个点 C ．一条直线D ．两条直线 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5．∴顶点C到x 轴的距离等于5．故顶点C 的轨迹是直线y ＝－5和y ＝5． 【思路点拨】知道底边与高，将高的方程求出即可． 【答案】D4．方程y ＝|x |x 2表示的曲线形状大致为（ ）【知识点】方程的曲线．【解题过程】解法1：当x >0时，y ＝x x 2＝1x ； 当x <0时，y ＝－x x 2＝－1x ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，－1x ，x <0.故选C ．解法2：∵y >0，∴排除A 、B 、D ，故选C ． 【思路点拨】考虑去掉绝对值符号． 【答案】C5．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________________． 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，∴∠OPB ＝30°， ∵|OB |＝1，∠OBP 为直角，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4． 【思路点拨】用圆及切线的几何性质． 【答案】x 2＋y 2＝46．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是________． 【知识点】曲线的方程．【解题过程】由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y ＝2kx －3，得4(0)k x x =≠，把4(0)k x x =≠代入y ＝kx ＋1，得y ＝5．故交点的轨迹方程是y ＝5(x ≠0)．【思路点拨】反解出k ，再将其用x,y 表示． 【答案】y ＝5(x ≠0) 能力型 师生共研1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A ．π B ．4π C ．8πD ．9π【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π．【思路点拨】算出P的轨迹方程即可．【答案】B2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段【知识点】点的轨迹．【解题过程】由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1．由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，∴AB1⊥BD1．又AP⊥BD1，∴BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，∴平面APC与平面APB1重合，∴P点在线段B1C上，故P点的轨迹为线段B1C．【思路点拨】考虑几何关系．【答案】A探究型多维突破1．设△ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|＝|BC|．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设A(x，y)为轨迹上任一点，那么=，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29．因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)． 【思路点拨】用距离相等设点方程整理即可． 【答案】见解析2．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于0的等差数列，则点P 的轨迹是什么曲线？ 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得PM→＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)， ∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→是公差小于零的等差数列，等价于 222211[2(1)2(1)]3202(1)2(1)0x y x x x y x x x ⎧⎧+-=++-+=⎪⇒⎨⎨>⎩⎪--+<⎩∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)． 【思路点拨】设出P 点代入题目中数学关系即可． 【答案】见解析 自助餐1．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P的轨迹方程是（ ） A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【知识点】曲线的方程．【解题过程】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，x ＋2y ＝4即为所求轨迹方程，故选C ． 【思路点拨】算出P 的轨迹方程即可． 【答案】C2．若三角形ABC 的两个顶点,B C 的坐标分别是(1,0)-和(2,0)，而顶点A 在直线y x =上移动，则三角形ABC 的重心G 的轨迹方程是（ ）A ．13y x =+B ．13x y =+ C ．13x y =- D ．13y x =- 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设(,)G x y ，由重心坐标公式得(31,3)A x y -． 由于点A 在y x=上，故有331y x =-，即：13y x =-． 【思路点拨】设点G ，再利用几何关系代入即可．【答案】D ．3．点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为（ ）A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ．(x ＋13)2＋y 2＝49 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设B (x 0，y 0)，C (x ，y )，由|AC ||BC |＝|OA ||OB |＝2，得AC→＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32x －1，y 0＝32y .因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A ．【思路点拨】设C 点利用几何关系代入即可．【答案】A4．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB上，且AM→＝4MB →，则M 的轨迹方程是（ ） A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8【知识点】曲线的方程． 【解题过程】设M (x ，y )，因为AM→＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又|AB |＝10所以(5x )2＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B ．【思路点拨】设M 点代入题目中数学关系即可．【答案】B5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且3AP PM =，则动点P 的轨迹方程为________．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设点M 、P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设可得AP →＝34AM →或AP →＝32AM →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝4x －43，y 0＝4y －23.或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋43，y 0＝2y ＋23.因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0或2×2x ＋43－2y ＋23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0．从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0．【思路点拨】设点代入几何关系．【答案】8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝06．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x－3y|＝|3x－y|，∴x－3y＝±(3x－y)，∴x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，∴x＋y＝0或x－y＝0．∴所求角平分线方程为x＋y＝0或x－y＝0．【思路点拨】根据几何关系设点化简．【答案】x＋y＝0或x－y＝0．。