abc
的
B
值
()
A.一定是正数
B.一定是负数
C.可能是0
D.正、负不能确定
解析 （a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=0
且a2+b2+c2>0(由abc>0知a,b,c均不为零)，
∴ab+bc+ac<0,
1 1 ab bc ca 0.
abc
abc
5.用分析法证明：欲使①A>B,只需②C<D,这里①
§13.4 直接证明与间接证明
基础知识 自主学习
要点梳理
1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出 所要证明的结论 成立 ,这种证明方法叫综合法. ②框图表示： (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等，Q表示要证的结论）.
因此1 x 2与1 y 2中至少有一个成立.
y
x
探究提高 (1)当一个命题的结论是以“至多”、
“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用
反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得
出矛盾，矛盾可以是：①与已知条件矛盾，②与
假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事
实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”
一、选择题
定时检测
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1)、
P2（x2，y2）、P3(x3，y3)在抛物线上，且
2x2=x1+x3，则有
()
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
4分
由于x1、
x2
(0,
π 2
),
故x1
x2
(0, π).
∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,
1+cos(x1+x2)>0,
6分
故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1·cos x2, 8分
即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2,
又∵a、b、c是不全相等的正数，
ca 0, （*）
∴（*）式等号不成立，∴原不等式成立.
方法二 ∵a、b、c∈R+，
a b ab 0, b c bc 0, c a ca 0.
2
2
2
又∵a、b、c是不全相等的正数，
a b b c c a abc. 222
lg(a b b c c a) lg(abc). 222
原命题正确.
题型四 分析法与综合法的综合应用
【例4】 若a、b、c是不全相等的正数，
求证: lg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c.
2
2
2
思维启用迪分析法得到 再用综合法证明.
a b b c c a abc, 222
证明 方法一 要证lg a b lg b c lg c a lg a
失误与防范
1.利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误, 并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理 而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.
2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要 证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结 论P，再说明所要证明的数学问题成立.
2
2
2
lg b lg c成立,
即证lg(a b b c c a) lg(abc)成立. 222
只需证 a b b c c a abc成立, 222
a b ab 0, b c bc 0, c a
2
2
2
a b b c c a abc 0成立 222
x2 y2 z2 1. 3
题型二 分析法
【例2】（12分）已知函数f(x)=tan x,x (0, π),
2
若x1 ,
x2
(0,
π 2
),
且x1
x2 ,
求证 : 1[ f 2
(x1)
f
(x2 )]
f
( x1 x2 ). 2
思维启迪 本题若使用综合法进行推演，三角
函数式的化简较难处理，因此，可考虑分析法.
即证：cos(x1-x2)<1.
10分
这由x1、 x2
(0,
2
),
x1
x2知上式是显然成立的.
因此,
1 2
[
f
(
x1
)
f (x2 )]
f
( x1 x2 ). 2
12分
探究提分高析法是数学中常用到的一种直接证明 方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从 结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设 所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的 命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命 题的已知条件时命题得证.
a2
a2
a2 2 1 2 2(a 1) 2,
a2
a
从而只要证2 a2 1 2(a 1),
a2
a
只要证4(a2 1 ) 2(a2 2 1 ),即a2 1 2,
a2
a2
a2
而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
题型三 反证法
【例3】 若x,y都是正实数，且x+y>2,
求证：1 x 2与1 y 2 中至少有一个成立.
即lg a b lg b c lg c a lg a lg b lg c.
2
2
2
探究提分高析法和综合法是对立统一的两种
方法，分析法的证明过程，恰好是综合法的分
析、思考过程，综合法是分析法的逆过程.
知能迁移4 设a，b均为正数，且a≠b,求证:a3+b3 >a2b+ab2. 证明 方法一 （分析法） 要证a3+b3>a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立. 又因为a+b>0, 只需证a2-ab+b2>ab成立. 又需证a2-2ab+b2>0成立， 即需证（a-b）2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立，由此命题 得证.
是②的( B ) A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条
件成立，即② ①，所以①是②的必要条件.
题型分类 深度剖析
题型一 综合法
【例1】 设a,b,c>0,证明：a2 b2 c2 a b c. bca
思维启迪 本题因为有三项分式，不主张用分
证明 方法一 假设三式同时大于 1 ，
4
即(1 a)b 1 ,(1 b)c 1 ,(1 c)a 1 ,
∵a、b、c∈4 (0,1), 4
4
∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1 . 64
又(1 a)a (1 a a)2 1 ,
2
4
同理(1 b)b 1 ,(1 c)c 1 ,
(2)分析法 ①定义：从 要证明的结论出发，逐步寻求使它成 立的 充分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、 定义、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法. ②框图表示：
得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明
反证法：假设原命题不成立 ，经过正确的推理, 最后得出 矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.
基础自测
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立
的( A ) A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
解析 由分析法的特点可知.
2.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为( D ) A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数 C.a，b，c中至少有两个偶数 D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c恰有一个偶数，即a，b，c中只有 一个偶数,其反面是有两个或两个以上偶数或没 有一个偶数即全都是奇数，故只有D正确.
知能迁移2 已知a>0,求证: a2 1 2 a 1 2.
a2
a
证明 要证 a2 1 2 a 1 2,
a2
a
只要证 a 2 1 2 a 1 2.
a2
a
a 0,故只要证( a 2 1 2)2 (a 1 2)2 ,
a2
a
即a 2 1 4 a 2 1 4
4
4
(1 a)a(1 b)b(1 c)c 1 , 64
这与假设矛盾,故原命题正确.
方法二 假设三式同时大于 1 , 4
∵0<a<1,∴1-a>0,
(1 a) b (1 a)b 1 1 ,
2
42
同理 (1 b) c 1 , (1 c) a 1 ,
2
22
2
三式相加得 3 3 ,这是矛盾的,故假设错误, 22
方法二 （综合法）
a≠b a-b≠0 (a-b)2>0 a2-2ab+b2>0
a2-ab+b2>ab.
(*)
而a,b均为正数，∴a+b>0，
由（*）式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
