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新人教版八年级数学培训资料Word版上下册目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11)第2讲角平分线的性质与判定(P12----16)第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24)第4讲等腰三角形(P25----36)第5讲等边三角形(P37----42)第6讲实数(P43----49)第7讲变量与函数(P50----54)第8讲一次函数的图象与性质(P55----63)第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68)第10讲一次函数的应用(P69----80)第11讲幂的运算（P81----86)第12讲整式的乘除((P87----93)第13讲因式分解及其应用(P94----100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101----108)第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138)第18讲反比例函数的应用(P139----146)第19讲勾股定理(P147-----157)第20讲平行四边形(P158-----166)第21讲菱形矩形(P167-----178)第22讲正方形(P179-----189)第23讲梯形(P190-----198)第24讲数据的分析(P199-----209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F D。
知识导图第一讲：三角形概述教学内容本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用专题2 三角形角平分线基本模型专题3 三角形内、外角度转换专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用专题讲解专题1：角形角度转换基本图形的应用【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．AECFB D（2012，江岸区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．BC AD P练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．αBCGEAFD练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．A CD EF B PI专题2：三角形角平分线的基本模型【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．AC B PAC BDEP AC B FP图1 图2 图3（1）求∠P 的度数；（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．D BA CGEF练2．2：（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．B X ZYAC图1（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．B X ZYAC图2练2．3：（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C ABD图1（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？C ABD E图2（3）如图3，若∠ACE＝13∠ACD，∠ABE＝13∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系为．（写出结论，不必证明）E CD 图3【变式】已知△ABC中，∠BAC＝100°．B AOBAO1O图1 图2 图3（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．（2014，光谷实验10月月考）专题3：三角形内、外角度的转换【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？21AC FBEC'21ACFBE C'图1 图2（2014，江汉区期末）【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；BACDE（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．BACDE【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．ABDCP【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练3．2：如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于M ，N ．在图中，（1）若∠D ＝40°，∠B ＝36°，试求∠P 的度数；（2）—般性结论：若∠D 的度数为x ，∠B 的度数为y ，则∠P 的度数为 ．ABDCMP N【例5】如图，△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求证：∠DAE ＝12(∠B －∠C )．BCAD E【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练3．3：如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）若∠C＝80°，∠B＝50°，求∠DAE的度数．（2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE＝12(∠C－∠B)．（3）如图（2）若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，（2）中的结论还正确吗？为什么？BACD E BACDA'E图1 图2专题4：角度的综合和实际应用【例6】上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里每小时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝43°，∠NBC＝86°，则海岛B与灯塔C相距海里．BCAN【解析】【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练4．1：（1）如图，B处在A处的南偏西65°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是（ ）．ACB北南A ．80°B ．75°C ．85°D ．70° （2）如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 是多少度？【原题40°，个人认为改为80°更适合．】D ABC E北北（2014，光谷实验10月月考）【例7】如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，BF 交AE ，AD 于点G ，H ，∠C ＞∠ABC ，下列结论：①∠AGB ＝90°＋12∠C ； ②∠C －∠ABC ＝2∠EAD ； ③∠BFC ＋∠AEC ＝180°；④∠AGB ＋∠BHD －∠EAD ＝180°， 其中正确的有（ ）． BACE D GHFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】【归纳总结】①题型特征： ②方法与技巧：练4．2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝20°，∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点E ，连接AE ，则∠AEC 的度数为（ ）．C DA EA．10°B．30°C．35°D．45°（青山，13－14期中考试）专题5：角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用【例8】如图1，△AOB与△COD是两个可以完全重合的直角三角形，其中A，B，C，D四点均在坐标轴上．（1）如果B（0，一3），S△COD＝9，请写出点A，C，D的坐标；（2）如图2，∠ADC的平分线DE所在直线与∠OAB的平分线交于F，求∠F的度数；（3）如图3，M是线段AD上任意一点（不同于点A，D），作MN⊥x轴交AF于点N，作∠ADE与∠ANM 的平分线交于点P，在（2）的条件下，能否求出∠P的度数？说出你的理由，若能求出，请写出解答过程；若不能，请说明理由．图1 图2 图3（2013，江岸区期末）【解析】（1）∵△COD与△AOB完全重合，∴OB＝OD，OC＝OA；∵B（0，一3），∴OB＝3，则OD＝3，∴D（3，0）；∵S△COD＝9＝12·OD·OC，∴OC＝6，∴C（0，6），A（6，0）．（2）∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，∴设∠CDE＝∠EDA＝x，∠DAF＝∠BAF＝y；∵x＝y＋∠F，而∠OAB＝∠OCD＝2y，∴2x＝2y＋90°，∴x＝y＋45°，∴∠F＝45°．（3）∵DP平分∠EDA，PN平分∠MNA，∴设∠EDP＝∠PDA＝x，∠MNP＝∠PNA＝y，则∠P＝90°－x－y；而∠F＋180°－2x＋180°－2y＋90°＝360°，∴2x＋2y＝90°＋45°＝135°，∴x＋y＝67.5°，∴∠P＝90°－67.5°＝22.5°．【归纳总结】①题型特征：②方法与技巧：练5．1：如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．（1）求证：∠OAC＝∠OCA；图1（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC＝13∠AOC，∠PCE＝13∠ACE，求∠P的大小；图2（3）如图3，若射线OP，CP满足∠POC＝1n∠AOC，∠PCE＝1n∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．图3 （2013，江岸区期末）分级检测 A 级1．画△ABC 的BC 边上的高AD ，下列画法中正确的是（ ）．ACDA BC DD A BCABCDA B C D2．如果在△ABC 中，∠A ＝70°－∠B ，则∠C 等于（ ）． A ．35° B ．70° C ．110° D ．140°3．多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）． A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的值为（ ）．BD ACEA ．15°B ．30°C ．45°D ．25°5．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边边长为奇数，则三角形的周长是 cm ． 6．（1）在△ABC 中，∠C ＝60°，∠A ＝3∠B ，则∠A ＝ ，∠B ；（2）已知一个等腰三角形两内角的度数比为1∶7，则这个等腰三角形的顶角的度数为 ； （3）在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶3∶5，则∠A ＝ ，∠B ，∠C ．7．一个多边形的内角和与外角和之比是5∶2，则这个多边形的边数为 ．8．如图，△ACD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ，△ABD 的外角是∠ ＝∠ ＋∠ ．AB CD9．如图，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，BO ，CO 平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过O 点，且DE ∥BC ，则∠BOC ＝ °．BACOD E10．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A BCD EF11．如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．A B EDF HCG IB 级1．（1）在图1中，猜想∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝ °； （2）试说明你猜想的理由．（3）如果把图1称为二环三角形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1；把图2称为二环四边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1；把图3称为二环五边形，则它的内角和为∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＋∠D 1＋∠E 1，请你猜一猜，二环n 边形的内角和为 ．（只写结果）BCA 1B 1C 1A AB CDA 1B 1C 1D 1A B DE A 1B 1C 1D 1E 1图1 图2 图32．如图1，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于A 1． （1）分别计算出当∠A 为70°，80°时∠A 1的度数；（2）根据（1）中的计算结果写出∠A 与∠A 1之间的数量关系： （不需证明）； （3）∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于A 2，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线交于A 3，如此继续下去可得A 4，…，A n ，请写出∠A 6与∠A 之间的数量关系： （不需证明）； （4）如图2，若E 为BA 延长线上一动点，连EC ，∠AEC 与∠ACE 的平分线交于Q ，求∠Q ＋∠A 1的度数．BC AD A 1B C A DA 1EQ图1 图2课后反馈1．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（ ）． A ．115° B ．120° C ．125° D ．130°2．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝35°，则∠BDC 的度数为（ ）．21DAB A ．50°B ．80°C ．70°D ．60°3．下列语句中，正确的是（ ）． A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角 C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180°4．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝ ．215．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝（ ）．40°3421BC EAD A ．100°B ．200°C ．280°D ．300°6．如图，AC ，BD 相交于点O ，BP ，CP 分别平分∠ABD ，∠ACD ，且交于点P ． （1）若∠A ＝70°，∠D ＝60°，求∠P 的度数； （2）试探索∠P 与∠A ，∠D 间的数量关系； （3）若∠A ∶∠D ∶∠P ＝2∶4∶x ，求x 的值．AD COPE F B7．如图1，已知在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠C ＞∠B ，F 为AE 上一点．且FD ⊥BC 于D ． （1）试推导∠EFD 与∠B ，∠C 的大小关系；DBCA E F图1（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上时，图1的其余条件都不变，你在（1）中推导的结论是否仍然成立？BCAD FE图2下次课必背1．三角形内角和度数：三角形三个内角的和等于180°．外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和． 2．基本图形的结论．3．两内角角平分线夹角与顶角的关系、一内角一外角平分线的夹角与顶角的关两外角平分线夹角与顶角的关系．4．三角形中共一个顶点的角平分线与高线夹角、另两个内角的关系． 5．多边形内角和：n 边形内角和＝(n —2)×180°； 外角和：多边形外角和＝360°． 6．从一个顶点引出的对角线条数为n －3，所有对角线条数为(3)2n n ．。
标准文档勾股定理】【知识要点222c?ab?、勾股定理是：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：1222c??ab那么这个三角形是直角三角形。
、b、c满足、勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 2a】【典型习题折叠，使它落在沿直线AD、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC例1 ）AE重合，则CD等于（斜边AB上，且与A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm、求下列各图字母中所代表的正方形的面积。
例2112 B400400 225144225C256400DA?S?S?S?S CDAB82.米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆例3、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面69.底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？2.8米米9.6、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角4例的面积C，D，，则正方形7cm 形，其中最大的正方形的边和长为,AB2之和为___________cm。
实用大全．标准文档米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已15、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面例。
米，问这里水深是________m知红莲移动的水平距离为2所在的直线上建一图书阅览室，该、为丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示的AB例6，，已知AB=25kmAB于B，CA⊥AB于ADB⊥和点社区有两所学校，所在的位置分别在点CD处。
两所学校的距离相等？、点多远时，才能使它到CDCA=15km,DB=10km,试问：阅览室E建在距A B E ADC例的垂直距离分别MNB是两个城市，它们到铁路的所在直线、如图所示，MN表示一条铁路，A、7，使之间设一个中转站P。
现要在铁路A1，B1现要在铁路AA1=20km,BB1=40km，A1B1=80km.A1，B1=80km P点的位置，并求这个最短距离。
两个城市到中转站的距离之和最短。
八年级数学暑期培优（二） 一、选择题： 1．要使分式11x +有意义，则x 必须满足的条件是 A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ≠0 D ．x >1 2．下列各式化简正确的是 A ．13455= B ．21233= C ．1316224= D ．234323= 3．反比例函数1m y x-=的图象在第一、第三象限，则m 可能取的一个值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若a 、b 为实数，且满足22a b -+-，则b －a 的值为A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对5．下列说法中错误的是A ．所有的等边三角形都相似B ．所有的等腰三角形都相似C ．有一对锐角相等的两个直角三角形相似D ．全等的三角形一定相似6．若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．37．下列命题中，真命题是A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质8．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是 A ．图象经过点（－2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x <0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x >－1时，y >2 9．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =+- B ．108010801215x x =-- C ．108010801215x x =-+ D ．108010801215x x =++ 10．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE 23AE EC =AB AC 231325352a b b ÷k y x =1432311x m x x -=+++211a x +=+221112a a a a a ---÷+21133x x x x =+++2321121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭2ky x =23AB BC =ky x =60kg480kg10cm6cm2cm1cmθθ把小棒依次摆放在两射线A B ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1.①θ= 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.图甲 图乙活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.。
ACBD（1）已知四边形ABCD ，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC ，求证BD 2 =AB 2+BC 2方法一：把△ABD 绕D 逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP ² ∵CP=AB,BP=BD 如图1方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC，AP=BD 如图2如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD ²=AB ²+BC ²如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE所以△DCB≌△ACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2即BD^2=AB^2＋BC^2证明:过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方解答:分析从结论想办法.结论是BD2=AB2+BC2,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,使BD为斜边, AB、BC为直角边。
八年级数学暑期培优（二）一、选择题：1．要使分式11x +有意义，则x 必须满足的条件是 A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ≠0 D ．x >12．下列各式化简正确的是A ．13455=B ．21233=C ．1316224=D ．234323= 3．反比例函数1m y x-=的图象在第一、第三象限，则m 可能取的一个值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若a 、b 为实数，且满足22a b -+-，则b －a 的值为A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对5．下列说法中错误的是A ．所有的等边三角形都相似B ．所有的等腰三角形都相似C ．有一对锐角相等的两个直角三角形相似D ．全等的三角形一定相似6．若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．37．下列命题中，真命题是A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质8．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是 A ．图象经过点（－2，1） B ．图象在第二、四象限C ．当x <0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x >－1时，y >29．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =+-B ．108010801215x x =--C ．108010801215x x =-+D ．108010801215x x =++ 10．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE//AB 交AC 于E ，若23AE EC =，则AB AC值为 A ．23 B ．13 C ．25 D ．35 二、填空题：11．2a b b ÷（a ≥0，b >0）＝ ．12．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，则菱形的对角线长是 ．13．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x=的图象过点A ， 则k ＝ ． 14．一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，要使摸到黑球的概率为14，需要往这个口袋再放入同种黑球个 ． 15．如果32311x m x x -=+++，则m ＝ ．16．已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是非负数，则a 的取值范围是 ． 17．命题“直角三角形中，两个锐角互余”的逆命题是 ．18．如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，BM 与CN 交于D 点．若AC ＝3，BC ＝2，则CD ＝ ．三、解答题：19．计算：221112a a a a a ---÷+． 20．解方程：21133x x x x =+++．21．先化简，再求值：2321121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭，其中x ＝－2．22．一只不透明的袋子有1个白球和2红个球， 这些球除颜色以外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色放回搅匀，再从中摸出1个球，则两次都摸出红球的概率是多少？（要求画出树状图或列出表格）23．（本题满分7分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，EC//AB ， EB ∥DC ． S △ABE ＝3，S △BCE ＝2．(1)求证：△ABE ∽△ECD ；(2)求△ECD 的面积．24．（本题满分8分）如图，直线y＝x＋m与反比例函数kyx=相交于点A(6，2)，与x轴交于B点，点C在直线AB上且23ABBC=．过B、C分别作y轴的平行线交双曲线kyx=于D、E两点．(1)求m、k的值；(2)求点D、E坐标．25．（本题满分9分）常富物流公司运送60kg货物后，考虑到为了节约运送时间，公司调整了原有的的运送方式，调整后每天运送的货物重量是原来的2倍．结果一共用9天完成了480kg货物的运送任务，问常富物流公司原来每天运送货物是多少？26．（本题满分9分）如图，四边形ABCD中，AC⊥AB．∠ADB＝∠ACB，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．(1)求证：AB2＝BF·BD；(2)求证：∠BDC＝90°．27．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD⊥DC，BC＝10cm，CD＝6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm 的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．（1）求AD的长；（2）设四边形BFED的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出函数定义域；（3）点F、E在运动过程中，如果△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．图1 备用图28．（2011江西南昌）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC =θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线A B ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1.①θ= 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.图甲 图乙活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.。
精品文档第1讲 认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是_________，周长l 的取值范围是__________. 02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).A ．1B ．2C ．3D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm 为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm . 【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【变式题组】01．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)CC【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝_______.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F＝____________.【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC ＝______________.【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝12∠A+90°.证法如下: ∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝90°+12∠A．所以∠BOC＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.(第1题图)B C02. 点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝_________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－12(180°－∠B－∠C)＝90°－∠B－90°+12∠B+12∠C＝12(∠C－∠B) ，故∠EAD＝6°.【变式题组】01.（改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，则∠BFE＝__________.(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°, BD⊥AC，则点D在CA的延长线上.)02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线(第2题图)(第1题图)(第2题图)B C(第3题图)C(例6题图)E D(例4题图)(第3题图)EC于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由. 【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】 01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)M02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝___________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)03．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 04．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角 05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是________. 09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第9题图)10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝__________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝____________.(第2题图)(第3题图)(第10题图)(第11题图)(第12题图)13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝13∠BAC，求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形02．已知三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，则这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，则∠BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，则底角的度数为______.05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝40°，∠C＝38°，则∠P＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地”上征答:“共有多少个锐角三角形?”你能回答这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，若∠A＝30°，∠DFE＝75°.(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E；(2)求∠E的度数；(3)若在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3，依次类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+1，请用含有n的式子表示∠E n+1的度数.11．如图，已知OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上，且AE＝13AB．点F在OC上，且OF＝13OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.12．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.第2讲认识多边形考点·方法·破译1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m＝_，n＝_，k＝_. 03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n 边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．已知n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，则这个多边形是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED的度数为（）A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A．都不变B ．内角和增加1800，外角和不变C ．内角和增加1800，外角和减少1800D ．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A 出发，每爬行5cm 便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为036060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm )才能回到点A ．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于1800·n ，外角和等于n ·1800－(n －2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A ，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】 01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．如图所示，已知△ABC 中，∠A ＝400，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2＝___ 03．（资阳）n (n 为整数，且n ≥3)边形的内角和比（n +1）边形的内角和少____度. 04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A 出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x 和5x ，利用多边形的内角可列方程. 解：设这两个多边形的边数分别是2x 和5x ，则由多边形内角和定理可得： (2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000，解得x ＝2，∴2x ＝4，5x ＝10， 故这两个多边形的边数分别为4和10. 【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________ 02．若一个多边形的外角和是其内角和的25，则此多边形的边数为_____ 03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，则这个多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以是（ ） A ．正三角形 B ．长方形 C ．正八边形 D ．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌. 解：选C ．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形 02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形 03．只用下列正多边形•能作平面镶嵌的是（ ）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ）A ．669B ．670C ．671D ．672【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m 个，1500的角有n 个，则有1200m +1500n ＝16200，即4m +5n ＝54 此方程有唯一正整数解110m n =⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为（ ）A ．30cm ×30cm 的正方形，B ．50cm ×50cm 的正方形，C ．60cm ×60cm 的正方形，D ．120cm ×120cm 的正方形， 03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值. 演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n 边形的几个内角的和为______，则此正n 边形可铺满地面，没有空隙. 02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖为______块. 03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案：则第n 个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n 层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ ）A ．3 B ． 4 C ．5 D ．6 06．下列不能镶嵌的正多边组合是（ ）A ．正三角形与正六边形B ．正方形与正六边形C ．正三角形与正方形D ．正五边形与正十边形 07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（ ）A ．边长相同B ．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C ．边长之间互为整数倍D ．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等 08．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1培优升级·奥赛检测01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，则这个多边形的边数为（）A．12 B．12或13 C．14 D．14或1502．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A．216块B．288块C．384块D．512块03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于（）A．3600 B．4500C．5400D．720004．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n边形的内角和为___________.05．如图，已知DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.07．如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（）A．6300B．7200C．8000D．900008．将一个宽度相等且足够长的纸条打开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_______.09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，则m+n的值为（）A．120 B．128 C．136 D．14410．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝___；各内角中最小内角是___度，最大内角是___度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是__.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”.你认为这个结论正确吗？请说明B ACDEF 理由.11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图； (2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知∠A +∠B +∠C ＝∠D +∠E +∠F 成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.第3讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中A FC ED B BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）. ⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是____命题，命题2是_____命题（选择“真”或“假”填入空格）. 【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DCB C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE＝2cm ，则BD ＝__________. 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFEC BDA B C D OFE A CEFBD交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是__________; ⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA ，∴∠AFD ＝∠DCA【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．梯子的倾斜角为75°梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABCP QE F D。
线段的垂直平分线和角平分线内容分析线段的垂直平分线和角平分线是八年级数学上学期第十九章第四节内容，主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础．知识结构模块一：线段的垂直平分线知识精讲一、线段的垂直平分线的性质及逆定理1、线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；注意：垂直平分线中的垂直是相互的，而平分则要看清楚到底是谁被平分．2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．2 / 15【例1】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=︒，DE 垂直平分AB 于点D ，交AC于点E ．求证：DE CE =．【解析】连接BE∵DE 垂直平分AB 于点D ， ∴EB AE =， ∴︒=∠=∠30ABE A∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒， ∴︒=∠60ABC ，∴︒=∠30EBC ．可证BCE BDE ≌△△()S A A ..，则CE DE =．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例2】 已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD M ，为垂足，DE 交AC 于点F ．求证：E 在AF 的垂直平分线上．【解析】∵EM 垂直平分BD ，∴ED EB =，∴D B ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴︒=∠+∠90B A ，︒=∠+∠90DFC D ∴DFC A ∠=∠ ∵AFE DFC ∠=∠， ∴AFE A ∠=∠，∴EF AE = ∴E 在AF 的垂直平分线上．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．【例3】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在BC 延长线上，且例题解析DEABCABACONNMGFEDC BABAE ACE ∠=∠．求证：点E 在AD 的垂直平分线上．【解析】∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵BAD DAE BAE ∠+∠=∠，DAC ADE ACE ∠+∠=∠，又BAE ACE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴ED EA =∴点E 在AD 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查三角形的外角性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例4】 已知：在ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=°，BD 平分B ∠交AC 于点D ．求证：点D 在AB 的垂直平分线上．【解析】∵︒=∠+∠90ABC A ，30A ∠=︒，∴︒=∠60ABC ，∵BD 平分B ∠，∴︒=∠30DBA ∴ABD A ∠=∠，∴BD AD = ∴点D 在AB 的垂直平分线上．【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查线段垂直平分线逆定理的运用．【例5】 已知：在ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线, OA OC =．求证：点O 在线段BC 的垂直平分线．【解析】∵ON 是AB 的垂直平分线, ∴OB OA =∵OA OC =，∴OC OB = ∴点O 在线段BC 的垂直平分线．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理以及逆定理的运用．【例6】 如图，在△ABC 中，∠A =30°，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD ．求证：AF = FG = BG ． 【答案】见解析【解析】∵DE 垂直平分AB ，4 / 15GF ECBAEDCBA∴︒=∠=∠30DAB A ∵FM 垂直平分AD ， ∴DF AF =， ∴FDA A ∠=∠，∴︒=∠+∠=∠60ADF A DFE 同理可得：︒=∠60DGB ， ∴DFG △是等边三角形， ∴BG FG DF ==又∵DF AF =，BG DG =， ∴AF = FG = BG ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例7】 如图，在△ABC 中，∠B =22.5°，边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，DF ⊥AC ，并与BC 边上的高AE 交于点G ． 求证：EG = EC ． 【答案】见解析【解析】∵边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，∴DA DB =，∴︒=∠=∠5.22B BAD ∴︒=∠+∠=∠45BAD B ADC ， ∴ADE △为等腰直角三角形， ∴AE DE =证得：()A S A ACE DGE ..≌△△， ∴EG = EC ．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．【例8】 如图，已知：△ABC 中，AB = CB ，点D 在线段AC 上，且AB = AD ，∠ABC =108°，过点A 作AE ∥BC ，交∠ABD 的平分线于E ，联结CE ． 求证：BD 垂直平分EC ．【解析】连接ED∵AB = CB ，∠ABC =108°，∴︒=∠=∠36BCA BAC ∵AB = AD ，∴︒=∠=∠72ADB ABD ， ∴︒=︒-︒=∠3672108DBC∵BE 平分ABD ∠，∴︒=∠=∠36EBD ABE ∵AE ∥BC ，∴︒=︒-︒=∠72108180BAE ， ∴BEA BAE ∠=∠，∴BE BA =又∵AB = CB ，∴BC BE =证得：()S A S BCD BED ..≌△△，∴CD DE =∵BE BA =，CD DE =，∴ BD 垂直平分EC ．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．二、 角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理1、 角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．2、 在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上注意：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点的集合．【例9】 如图，//AD BC AC ，平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，交AC 于点F ．求证：点F 到EA EC 、的距离相等． 【答案】见解析【解析】∵AC 平分BAD ∠，∴DAC BAC ∠=∠∵BC AD ∥，∴DAC ACB ∠=∠ ∴BAC ACB ∠=∠，∴BC AB =证得：()S A S CBE BAE ..≌△△，∴CEB AEB ∠=∠ ∴点F 到EA EC 、的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的意义和逆定理的运用．例题解析知识精讲模块二：角平分线AFBDEC6 / 15FG EBPON CDM A 【例10】 如图，90B C ∠=∠=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．求证：AM 平分DAB ∠． 【答案】见解析【解析】过M 作MN ⊥AD ，垂足为N∵DM 平分ADC ∠，∴CM MN =∵M 是BC 的中点，∴MB CM =，∴MB MN = ∴AM 平分DAB ∠．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例11】已知：如图，//AD OB OC ，平分AOB P ∠，是OC 上一点，过点P 作直线MN ，分别交AD OB 、于点M 和N ，且MP NP =． 求证：点P 到AO 和AD 的距离相等． 【答案】见解析【解析】过P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，PG ⊥AD 于点G ．∵OC 平分AOB ∠，∴PF PE =可证得：()S A A PGM PEN ..≌△△，则PG PE =，∴PG PF = ∴点P 到AO 和AD 的距离相等．【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例12】如图，AD 为ABC ∆的角平分线，//DE AC ，交AB 于E ，过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F ． 求证：B FAC ∠=∠．【解析】∵AD 为ABC ∆的角平分线，∴DAC BAD ∠=∠∵//DE AC ，∴DAC EDA ∠=∠ ∴EDA BAD ∠=∠，∴AE DE = ∵AD EF ⊥，∴EF 垂直平分AD ， ∴FD FA =，∴FDA FAD ∠=∠∵DAC FAC FAD ∠+∠=∠，BAD B FDA ∠+∠=∠ ∴B FAC ∠=∠．【总结】本题主要考查线段垂直平分性质定理及平行线+角平分线可以得到等腰三角形这个基本模型的运用．CMA DBABC DEF【例13】 已知：如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=°，D 为BC 的中点，且DE AB ⊥，垂足为点E ，过点B 作//BF AC 交DE 的延长线于点F ，联结CF ．（1）求证：AD CF ⊥；（2）联结AF ，试判断ACF ∆的形状，并说明理由．【解析】（1）∵ABC △为等腰直角三角形，∴︒=∠=∠45CBA CAB ∵//BF AC ，∴︒=∠45ABF证得：FBE DBE ≌△△，则可得DB BF = ∵D 为BC 的中点，∴DB CD =，∴BF CD = 证得：()S A S BCF CAD ..≌△△，∴BCF CAD ∠=∠∵︒=∠+∠90ACF BCF ，∴︒=∠+∠90ACF CAD ，∴AD CF ⊥； （2）等腰三角形．由（1）可得：AF AD =，CF AD =，∴CF AF = ∴ACF △是等腰三角形．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质，本题（1）中的全等是一个基本模型，要注意理解，在后期证明中也会经常用到．【例14】如图，AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠，PC PD 、分别垂直于AM BN 、，如果123AC cm CP cm BD cm ===，，，那么PD =_______，AB = _________．【答案】2cm ，4cm ．【解析】过P 作PE ⊥AB 于E ．∵AP BP 、分别平分MAB ∠和NBA ∠ ∴2===PD PE PC可证：()S A A PEA PCA ..≌△△，()S A A PDB PEB ..≌△△ 则CE AC =，BE BD = ∴431=+=+=EB AE AB【总结】本题主要考查角平分线的性质定理和逆定理的运用．【例15】如图，ABC ∆中，90C ∠=°，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D E F 、、分别为垂足，且1086AB BC CA ===，，，则点OPBCAM NDAEFABCDEF8 / 15GFEDCBA GFDA到三边AB AC 、和BC 的距离分别为_______． 【答案】2． 【解析】∵24862121=⨯⨯=⋅⋅=BC AC S ABC △ ∴ABC ABO OBC AOC S S S S =++△△△△111108624222OF OD OE =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∵点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点， ∴OF OE OD == ∴2=OD【总结】本题一方面考查角平分线的性质定理，另一方面考查等积法的运用．【例16】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=°，AC BC =，AD 是BC 边上的中线，过C 作CF AD ⊥，E 为垂足，延长CE 交AB 于F ．求证：ADC BDF ∠=∠． 【答案】见解析【解析】过B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ．证得：()A S A BCG CAD ..≌△△， ∴BG CD =，G ADC ∠=∠ ∵D 为BC 的中点， ∴DB CD =，∴BG BD =证得：()S A S GBF DBF ..≌△△，则可得G BDF ∠=∠ ∴ADC BDF ∠=∠【总结】本题一方面考查直角三角形的性质，另一方面考查全等的基本模型．【例17】如图，已知正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AE DC CE =+．求证：AF 平分DAE ∠．EQ PDCBA 【答案】见解析【解析】连接EF 交AD 的延长线于G ．可证得：()A S A ECF GDF ..≌△△，则DG CE =，FG EF = ∵BC AD =，AE DC CE =+ ∴AE AG =可证得：()S S S AGF AEF ..≌△△， ∴GAF EAF ∠=∠ 即AF 平分DAE ∠．【总结】本题主要考查利用中线倍长构造全等，总而证明角平分线的成立．【例18】已知：如图，正方形ABCD 的边长为1，AB AD 、上各有一点P Q 、，若APQ∆的周长为2．求PCQ ∠的度数． 【答案】45°．【解析】∵APQ ∆的周长为2，∴2=++PQ AP AQ ．∵正方形ABCD 的边长为1，∴2=+++PB AP AD AQ ∴BP DQ PQ +=． 延长PB 至E ，使得BE =DQ可证：()S A S CBE CDQ ..≌△△，则CE CQ =，BCE DCQ ∠=∠ ∵BP DQ PQ +=，DQ BE =，∴EP PQ = 可证：()S S S CPE CPQ ..≌△△，∴PCE QCP ∠=∠ ∵︒=∠+∠90BCQ DCQ ，BCE DCQ ∠=∠， ∴︒=∠+∠90BCQ BCE ，即︒=∠90QCE 又∵︒=∠+∠90PCE QCP ，PCE QCP ∠=∠ ∴︒=∠45PCQ【总结】本题综合性较强，主要考查了全等的运用，以及截长补短辅助线的添加，最终目的是构造全等，在解题时要注意认真分析．【习题1】ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，且OC BC =，则A∠随堂检测10 / 15EODCBA=________． 【答案】30°【解析】∵ABC ∆的边长AC BC 、的中垂线交AB 于一点O ，∴OC OB OA ==∴OCB B ∠=∠，ACO A ∠=∠ ∵︒=∠+∠+∠+∠180ACO A OCB B ∴︒=∠+∠90OCB ACO ，即︒=∠90ACB ∵OC BC =∴OBC △为等边三角形，∴︒=∠60B ∵︒=∠+∠90A B ，∴︒=∠30A ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等边三角形的性质．【习题2】 △ABC 中，AB = AC ，AC 的中垂线交AB 于E ，△EBC 的周长为20cm ，AB = 2BC ，则腰长为___________．【答案】cm 340．【解析】∵AC 的中垂线交AB 于E ，∴EC AE =∵△EBC 的周长为20cm ，∴20=+=++BC AB EC BC EB∵AB = 2BC ，∴340=AB【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及等腰三角形的性质．【习题3】 如图所示，AB //CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =2， 则AB 与CD 之间的距离等于___________． 【答案】4【解析】过O 作OF ⊥AB 于F ，OG ⊥CD 于G∵O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，∴2===OG OF OE ， ∵AB //CD ， ∴F 、O 、G 三点共线，∴4=FG ． 【总结】本题主要考查角平分线性质以及平行线的性质． 【习题4】ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DE DF 、分别垂直于AB AC 、，垂足分别为E F 、，如果48ABC S ∆=，79AC AB ==，，则DF =______________． 【答案】6【解析】∵AD 平分BAC ∠，∴DF DE =∵487219212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅=+=DF DE DF AC DE AB S S S ADC ABD ABC △△△MNABC ∴6=DF【总结】本题主要考查角平分线性质以及等积法的运用．【习题5】 已知：点A 和点D 都是线段BC 外一点，且AB = AC ，DB = DC ，E 是AD 上一点．求证：BE = CE ．【答案】见解析【解析】∵AB = AC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，∵DB = DC ，∴D 在BC 的垂直平分线上， ∴AD 是BC 的垂直平分线 ∵E 是AD 上一点 ∴BE = CE【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的运用．【习题6】 已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=°，30A ∠=°，MN 是AB 的垂直平分线．求证：12CM AM =．【答案】见解析． 【解析】∵MN 是AB 的垂直平分线，∴︒=∠=∠30MBA A∵90C ∠=°，30A ∠=°，∴︒=∠60CBA ，∴︒=︒-︒=∠303060CBM ， ∴NBM CBM ∠=∠，∴MN CM =． 在直角△AMN 中，︒=∠30A ，则AM MN 21=，∴AM CM 21=． 【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质以及直角三角形的性质．【习题7】 已知：如图，ABC ∆中，90A ∠=°，AB AC BD ==，ED BC ⊥．求证：AE DE DC ==． 【答案】见解析 【解析】连接BE可证：()L H BDE BAE .≌△△，∴DE AE = ∵90A ∠=°，AB AC =， ∴︒=∠45C ∵ED BC ⊥∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC DE =BEACD12 / 15ABCDOEF∴AE DE DC ==【总结】本题一方面考查了直角三角形全等的判定方法，另一方面考查了等腰直角三角形的性质，由于部分学生还未学过（H ．L ）的判定定理，因此可选择性的讲解．【习题8】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，EF 垂直平分BD 交CA 延长线于E ．求证：EAB EBC ∠=∠． 【答案】见解析【解析】∵EF 垂直平分BD∴ED EB = ∴EDB EBD ∠=∠ ∵BD 平分ABC ∠， ∴ABD DBC ∠=∠∵ABD EDB EAB ∠+∠=∠，DBC EBD EBC +∠=∠ ∴EAB EBC ∠=∠【总结】本题一方面考查线段垂直平分线的性质定理，另一方面考查三角形外角性质的运用．【习题9】 已知：如图，在凹四边形ABCD 中，EO 垂直平分BC ，FO 垂直平分AD ，EO与FO 相交于点O ，且AB CD =． 求证：ABO DCO ∠=∠． 【答案】见解析 【解析】连接OD 、OA∵EO 垂直平分BC ∴OC OB = ∵FO 垂直平分AD ∴OD OA =可证：()S S S DOC AOB ..≌△△ ∴ABO DCO ∠=∠．【总结】本题主要考查线段垂直平分线以及角平分线性质定理的综合的运用．课后作业ABCDEF【作业1】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，如果14DC cm AB cm ==，，那么ABD S ∆=___________．【答案】2【解析】∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，90C ∠=°， ∴1==DE CD∴2142121=⨯⨯=⋅⋅=DE AB S ABD △．【总结】本题主要考查角平分线性质定理的运用．【作业2】 如图，已知ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，5AC =，ABD ∆的周长为13，求ABC ∆的周长． 【答案】18【解析】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DC AD =∵ABD ∆的周长为13， ∴13=++AD BD AB ∴ABC ∆的周长为：AB AC BC AB AC BD DC AB AC BD AD ++=+++=+++13518=+=．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理的运用．【作业3】 如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 上，且DB AD BC +=．求证：点D 在AC的垂直平分线上． 【答案】见解析【解析】∵DB AD BC +=，BC DC DB =+∴DC AD =∴点D 在AC 的垂直平分线上．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理逆定理的运用，证明点在线段垂直平分线上． 【作业4】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=°，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D E ，为垂足，且18BC cm =，求DE 的长．【答案】3cm【解析】∵AB AC =，120BAC ∠=°，∴︒=∠=∠30C B∵AC 的垂直平分线DE 交BC 于D ∴DC AD =，︒=∠=∠30CAD C ，ABCEDAB C DD BACEADBEC14 / 15ED CBA ∴︒=︒-︒=∠9030120BAD在直角△BAD 中，︒=∠30B ，则BD AD 21= ∴182=+=+=DC DC DC BD BC ∴6=DC在直角△CED 中，︒=∠30C ，则321==DC DE ．【总结】本题主要考查线段垂直平分线性质定理及其直角三角形性质的运用．【作业5】 如图，正方形ABCD 的边长为1，AE 是CAB ∠的平分线，交BC 于点E ，则点E 到AC 的距离为___________． 【答案】12-．【解析】过E 作EF ⊥AC ，垂足为F可得：△CEF 为等腰直角三角形， 则由勾股定理可得：EF CE 2=∵AE 是CAB ∠的平分线，EF ⊥AC ，90B ∠= ∴BE EF = 又∵1=+EB CE ∴12=+EF EF ∴12-=EF【总结】本题综合性较强，主要考查了角平分线的性质以及正方形的性质，还运用勾股定理计算线段长．【作业6】 如图，已知ABC ∆中，点E 是AB 延长线上的一点，AE AC AD =，平分BAC ∠，BD = BE ．求证：2ABC C ∠=∠． 【答案】见解析【解析】由题意，易得：()S A S ACD AED ..≌△△则：C E ∠=∠∵BD = BE ，∴BDE E ∠=∠ ∴C E DBE E ABC ∠=∠=∠+∠=∠22ABCDE【总结】本题主要考查等边对等角以及三角形外角性质的运用，解题时注意分析，当看到证明一个角是另一个角的两倍时，通常都考虑采用外角性质证明．【作业7】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，AC CD BD +=．求证：2C B ∠=∠． 【答案】见解析【解析】在BD 上截取一点E ，使得DE =DC∵DC DE =，AC CD BD += ∴AC BE =可证：AED ACD ≌△△，则AE AC =，AED C ∠=∠ ∴AE BE =，∴BAE B ∠=∠ ∴C B BAE B AED ∠=∠=∠+∠=∠22 ∴2C B ∠=∠【总结】本题一方面考查了截长补短辅助线的添加，主要是看到两条线段和等于第三条线段的模型，另一方面考查了证明一个角是另一个角的两倍的基本模型，通常都考虑采用外角性质证明．ABCD。
