92年数学科学科能力测验试卷

92年 數學科 學科能力測驗試卷__________科__________班 學號__________姓名__________總 分第一部分﹕選擇題 一、單一選擇題說明﹕第1至5題﹐每題選出最適當的一個選項﹐每題答對得5分﹐答錯不倒扣﹒( ) . 試問有多少個正整數n 使得1n ＋2n ＋…＋10n為整數﹖ 1個 2個 3個 4個 5個﹒ ( ) . 若f (x )＝x 3－2x 2－x ＋5﹐則多項式g (x )＝f (f (x ))除以(x －2)所得的餘式為 3 5 7 9 11﹒ ( ) . 若(4＋3i )(cos θ＋i sin θ)為小於0的實數，則θ是第幾象限角﹖ 第一象限角 第二象限角 第三象限角第四象限角 條件不足，無法判斷﹒( ) . 設ABC 為坐標平面上一三角形﹐P 為平面上一點且AP ＝15AB ＋25AC ﹐則ABP ABC △面積△面積等於 1514 25 12 23﹒ ( ) . 根據統計資料﹐在A 小鎮當某件訊息發布後﹐t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的100(1－2－kt )%﹐其中k 是某個大於0的常數﹒今有某訊息﹐假設在發布後3小時之內已經有70%的人口聽到該訊息﹒又設最快要T 小時後﹐有99%的人口已聽到該訊息﹐則T 最接近下列哪一個選項﹖ 5小時 712小時 9小時 1112小時 13小時﹒二、多重選擇題說明﹕第1至6題﹐每題至少有一個選項是正確的﹐選出正確選項﹒每題答對得5分﹐答錯不倒扣﹐未答者不給分﹒只錯一個可獲2.5分﹐錯兩個或兩個以上不給分﹒( ) . 如右圖﹐兩直線L 1﹑L 2之方程式分別為L 1﹕x ＋ay ＋b ＝0﹐L 2﹕x ＋cy ＋d ＝0﹔試問下列哪些選項是正確的﹖ a ＞0 b ＞0 c ＞0 d ＞0 a ＞c ﹒( ) . 如右圖﹐ABCD -EFGH 為一平行六面體﹐J 為四邊形BCGF 的中心﹐如果AJ ＝a AB ＋b AD ＋cAE﹐試問下列哪些選項是正確的﹖ 13＜b ＜23a ＋b ＋c ＝2 a ＝1 a ＝2c a ＝b ﹒( ) . 以下各數何者為正﹖log 23－1 log 32－1 12log 3 13log 12﹒ ( ) . 下列哪些函數的最小正週期為π﹖ sin x ＋cos x sin x －cos x |sin x ＋cos x | |sin x －cos x | |sin x |＋|cos x |﹒( ) . 假設坐標平面上一非空集合S 內的點(x , y )具有以下性質﹕「若x ＞0﹐則y ＞0」﹒試問下列哪些敘述對S內的點(x , y )必定成立﹖ 若x ≤ 0﹐則y ≤ 0﹔ 若y ≤ 0﹐則x ≤ 0 若y ＞0﹐則x ＞0 若x ＞1﹐則y ＞0 若y ＜0﹐則x ≤ 0﹒( ) . 設πa ﹕x －4y ＋az ＝10（a 為常數）﹑E 1﹕x －2y ＋z ＝5及E 2﹕2x －5y ＋4z ＝－3為坐標空間中的三個平面﹒試問下列哪些敘述是正確的﹖ 存在實數a 使得πa 與E 1平行 存在實數a 使得πa 與E 1垂直 存在實數a 使得πa ﹐E 1﹐E 2交於一點 存在實數a 使得πa ﹐E 1﹐E 2交於一直線 存在實數a 使得πa ﹐ E 1﹐E 2沒有共同交點﹒第二部分﹕填充題說明﹕每題完全答對給5分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒. 設a 1﹐a 2﹐…﹐a 50是從－1﹐0﹐1這三個整數中取值的數列﹒若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107﹐則a 1﹐a 2﹐…a 50當中有幾項是0﹖答﹕__________項﹒. 金先生在提款時忘了帳號密碼﹐但他還記得密碼的四位數字中﹐有兩個3﹐一個8﹐一個9﹐於是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試﹒請問他只試一次就成功的機率有多少﹖答：__________﹒（化成最簡分數）. 設A (1 , 0)與B (b , 0)為坐標平面上的兩點﹐其中b ＞1﹒若拋物線Γ﹕y 2＝4x 上有一點P 使得△ABP 為一正三角形﹐則b ＝__________﹒. 設P 為雙曲線29x －216y ＝1上的一點且位在第一象限﹒若F 1﹑F 2為此雙曲線的兩個焦點﹐且1PF ：2PF ＝1：3﹐則△F 1PF 2的周長等於__________﹒. 在坐標空間中﹐通過O (0 , 0 , 0)﹐N (0 , 0, 1)﹐P (14,－12)三點的平面與球面S ﹕x 2＋y 2＋z 2＝1相交於一個圓C ﹐則圓C 的劣弧 NP 的弧長等於__________π﹒（化成最簡分數） （所謂劣弧 NP是指圓C 上由N ﹐P 兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧﹒） . 設k 為一整數﹒若方程式kx 2＋7x ＋1＝0有兩個相異實根﹐且兩根的乘積介於571與671之間﹐則k ＝__________﹒ . 在只有皮尺沒有梯子的情形下﹐想要測出一拋物線形拱門的高度﹒已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸﹒現甲﹑乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為6公尺，且距底部32公尺高處其寬為5公尺．利用這些數據可推算出拱門的高度為__________公尺﹒（化成最簡分數）. 某次數學測驗共有25題單一選擇題﹐每題都有五個選項﹐每答對一題可得4分﹐答錯倒扣1分﹒某生確定其中16題可答對﹔有6題他確定五個選項中有兩個選項不正確﹐因此這6題他就從剩下的選項中分別猜選一個﹔另外3題只好亂猜﹐則他這次測驗得分之期望值為__________分﹒（計算到整數為止﹐小數點以後四捨五入﹒） . 根據統計資料﹐1月份臺北地區的平均氣溫是攝氏16度﹐標準差是攝氏3.5度﹒一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱﹐已知當攝氏溫度為x 時﹐華氏溫度為y ＝95x ＋32﹔若用華氏溫度表示﹐則1月份臺北地區的平均氣溫是華氏__________度﹐標準差是華氏__________度﹒（計算到小數點後第一位﹐以下四捨五入﹒）參考公式及可能用到的數值1. 一元二次方程式ax 2＋bx ＋c ＝0的公式解﹕x2.通過(x 1 , y 1)與(x 2 , y 2)的直線斜率m ＝2121y y x x －－﹐x 2≠x 1﹒ 3. 等比數列{arn －1}的前n 項之和S n ＝(1)1n a r r⨯－－﹐r ≠1﹒4.△ABC 的正弦及餘弦定理 (1)sin a A ＝sin b B ＝sin cC＝2R ﹐R 為外接圓的半徑（正弦定理） (2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C （餘弦定理）﹒ 5.統計公式﹕算術平均數M (＝X )＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n 1ni i x =∑﹒標準差S6.1.4141.7322.236≈2.449﹔π≈3.142﹒ 7.對數值﹕log 102≈0.3010﹐log 103≈0.4771﹐log 105≈0.6990﹐log 107≈0.8451﹒第一部分﹕選擇題 一、單一選擇題. D . 5 . B . C . D二、多重選擇題. DE . ABCD . ABE . CD . BDE . BCE第二部分﹕填充題. 11 . 112 . 5 . 22 . 23 . 12 . 5411. 68 . 60.8﹐6.3第一部分﹕選擇題 一、單一選擇題. 將原式化簡1n ＋2n ＋…＋10n ＝1210n ＋＋＋＝55n﹐ 因為55n及n 都是正整數﹐所以n 是55的正因數﹐ 即n 可為1﹐5﹐11﹐55共4個﹒. 由餘式定理知﹐餘式為g (2)＝f (f (2))＝f (23－2 ⨯ 22－2＋5)＝f (3)＝33－2 ⨯ 32－3＋5＝11﹒ . 將4＋3i 化為極式得5(cos φ＋i sin φ)﹐其中cos φ＝45﹐sin φ＝35﹐0＜φ＜2π﹐ 由複數極式的乘法性質知(4＋3i )(cos θ＋i sin θ)＝5[cos(θ＋φ)＋i sin(θ＋φ)]﹐ 因為是小於0的實數﹐所以cos(θ＋φ)＜0且sin(θ＋φ)＝0﹐ 因此θ＋φ＝2k π＋π即θ＝2k π＋(π－φ)﹐故θ是第二象限角﹒. 作直線AP 交直線BC 於D ﹐因A ﹐P ﹐D 三點共線﹐所以可設AD ＝k AP﹐因此AD ＝5k AB ＋25k AC ﹐又因B ﹐D ﹐C 三點共線﹐所以5k ＋25k ＝1﹐解得k ＝53﹐ 因此AD ＝13AB ＋23AC 及AP ：PD ＝3：2﹐ 由向量的分點公式知BD ：DC ＝2：1﹐故△ABP 面積＝35△ABD 面積＝35(23△ABC 面積)＝25△ABC 面積﹒ . 依題意100(1－2－3k )%＝70% ⇒ 1－2－3k ＝710⇒ 2－3k ＝310﹐ 又100(1－2－kT)%＝99% ⇒ 1－2－kT＝99100⇒ 2－kT ＝1100⇒(2－3k )3T＝1100⇒33()10T＝1100﹐兩邊取log 得3T log 310＝－2 ⇒ 3T(log3－1)＝－2 ⇒ T ＝6log 31－－≈60.47711－－＝60.5229－－≈11.5﹒二、多重選擇題. 如圖，因為L 1的斜率為－1a 且A (－b , 0)﹐L 2的斜率為－1c且B (－d , 0)﹐所以－1a ＞0﹐－1c＞0﹐－b ＞0﹐－d ＜0﹐ 因此a ＜0﹐b ＜0﹐c ＜0﹐d ＞0﹐ 又因L 1的斜率大於L 2的斜率﹐即－1a＞－1c﹐兩邊同乘(－ac )得c ＜a（因－ac 為負數﹐所以方向改變）﹐故選 ﹒. 因J 為四邊形BCGF 的中心﹐所以自J 作BC 的垂線﹐垂足M 必是BC 的中點﹒ 連接AJ 及AM ﹐由向量的加法原理知AJ ＝AM ＋MJ ＝AB ＋BM ＋MJ ＝AB ＋12AD ＋12AE ﹐所以a ＝1﹐b ＝12﹐c ＝12﹐故選 ﹒.122132=﹐因為底數2比1大﹐所以指數越大其值越大﹐因3＞2，所以log 23＞log 22（因底數2比1大）﹐ 即log 23＞1﹐故log 23－1為正﹒因3＞2﹐所以log 33＞log 32（因底數3比1大）﹐ 即1＞log 32﹐故log 32－1為負﹒ 12log 3＝12log 3－＝－log 23＜0﹒131log 2＝113log 2－－＝log 32＞0﹒故選 ﹒. 【解一】依據定義﹕若f (x ＋p )＝f (x )﹐p ＞0﹐則p 稱為f (x )的正週期﹐ 而其中最小的p 稱為f (x )的最小正週期﹒因f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＋cos(x ＋π)＝－sin x －cos x ≠sin x ＋cos x ＝f (x )﹐ 所以π不是正週期﹐那當然也就不是最小正週期﹒因f (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)＝－sin x ＋cos x ≠sin x －cos x ＝f (x )﹐ 所以π不是正週期﹐當然也就不是最小正週期﹒因f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)＋cos(x ＋π)|＝|－sin x －cos x |＝|sin x ＋cos x |＝f (x )﹐ 又f (x ＋2π)＝|sin(x ＋2π)＋cos(x ＋2π)|＝|cos x －sin x |≠|sin x ＋cos x |＝f (x )﹐ 而其餘介於0與π之間的角度亦不會使函數不變﹐所以π是最小正週期﹒ 因f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)－cos(x ＋π)|＝|－sin x ＋cos x |＝|sin x －cos x |＝f (x )﹐ 又f (x ＋2π)＝|sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)|＝|cos x ＋sin x |≠|sin x －cos x |＝f (x )﹐ 而其餘介於0與π之間的角度亦不會使函數不變﹐所以π是最小正週期﹒ 因f (x ＋2π)＝|sin(x ＋2π)|＋|cos(x ＋2π)|＝|cos x |＋|－sin x |＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )﹐ 由於2π＜π﹐所以π不是最小正週期﹒ 故選 ﹒【解二】將各小題之圖形畫出判斷﹕ 因y ＝sin x ＋cos xx ＋4π)之圖形為所以最小正週期為2π﹒因y ＝sin x －cos x x －4π)﹐所以此圖形相當於將 之圖形 向右平移2π單位﹐因此最小正週期仍為2π﹒ 由 的圖形可知y ＝|sin x ＋cos x |的圖形為所以最小正週期為π﹒此圖形相當於將 之圖形向右平移2π單位﹐所以最小正週期為π﹒所以最小正週期為2π﹐故選 ﹒ . 因命題“若p 則q ”與“若～q 則～p ”同義﹐ 所以“若x ＞0則y ＞0”與“若y ≤ 0則x ≤ 0”同義﹐ 又因x ＞1包含於x ＞0﹐所以“若x ＞1則y ＞0”必成立﹐同理﹐因y ＜0包含於y ≤ 0﹐所以“若y ＜0則x ≤ 0”必成立﹐故選 ﹒ . 若 πa 與E 1平行，則它們的法向量須平行即11＝42－－＝1a要成立﹐ 但找不到實數a 使上式成立﹐所以πa 不可能平行E 1﹒若πa 與E 1垂直﹐則它們的法向量垂直即(1 ,－4 , a )與(1 ,－2 , 1)垂直﹐ 因此(1 ,－4 , a ) ⨯ (1 ,－2 , 1)＝0亦即1＋8＋a ＝0﹐所以a ＝－9﹐考慮方程組12410(1)25(2)2543(3)a x y az E xy z E x y z π⎧⎪⎨⎪⎩ ：－＋＝：－＋＝：－＋＝－ 由(1)－(2)得－2y ＋(a －1)z ＝5﹐ 由(2) ⨯ 2－(3)得y －2z ＝13﹐ 當21－≠12a －－即a ≠5時﹐方程組恰有一組解﹐其幾何意義為三平面 恰交於一點﹒ 當21－＝12a －－≠513即a ＝5時﹐方程組無解﹐其幾何意義為三平面 沒有共同交點﹒ 找不到實數a 滿足21－＝12a －－＝513﹐ 所以此方程組不可能無限多組解﹐亦即三平面不可能交成一直線﹒ 故選 ﹒第二部分﹕填充題. 設數列中－1有x 項﹐0有y 項﹐1有z 項﹐則由題意知22250(1)019(11)(01)(11)107x y z x y z x y z ⎧⎪⨯⨯⨯⎨⎪⨯⨯⨯=⎩＋＋＝－＋＋＝－＋＋＋＋＋ 即 5094107x y z x z y z ⎧⎪⎨⎪⎩＋＋＝－＋＝＋＝﹐ 解得x ＝15﹐y ＝11﹐z ＝24﹐意即﹐此數列中－1有15項﹐0有11項﹐1有24項﹒ . 因樣本空間的個數為3﹐3﹐8﹐9的排列數﹐即42！＝12﹐ 而成功的情形只有一種﹐所以一次就成功的機率＝112﹒ . 如圖﹐在第一﹑四象限上各有一點P ﹐ 可使△ABP 為正三角形且兩點互相對稱於x 軸﹐ 又因△ABP 是邊長為b －1的正三角形﹐ 所以P 點的坐標為(12b ＋,)﹐由於P 點在Γ﹕y 2＝4x 上﹐ 代入得34(b －1)2＝4(12b ＋)﹐展開化簡得3b 2－14b －5＝0﹐因此b ＝－13或5﹐然而b ＞1﹐所以b ＝5﹒. 由Γ﹕29x －216y ＝1知a ＝3﹐b ＝4﹐c5﹐依題意﹐令1PF ＝k ﹐2PF ＝3k ﹐k ＞0﹐ 並由雙曲線的定義|1PF －2PF |＝2a ﹐得|k －3k |＝6即k ＝3﹐又12F F ＝2c ＝10﹐ 所以周長＝3＋9＋10＝22﹒. 因球面S ﹕x 2＋y 2＋z 2＝1的球心為O ﹐半徑＝1且ON ＝OP ＝1﹐所以N ﹐P 二點均在球面S 上﹐且平面ONP 與球面S 的交圓為大圓（即圓心為O ）﹐令∠NOP ＝θ﹐則cos θ＝||||ON OPON OP ⨯⨯＝1211⨯－＝－12﹐因此θ＝23π﹐ 所以劣弧 NP弧長＝1 ⨯23π＝23π﹒. 因有兩相異實根﹐所以判別式為正﹐即49－4k ＞0得k ＜494… 又因兩根之積介於571與671之間﹐所以571＜1k ＜671（由此可知k 為正數）兩邊同乘71k 得5k ＜71＜6k ﹐所以716＜k ＜715… 由 ∩ 得716＜k ＜494﹐又因k 為整數﹐所以k ＝12﹒ . 如圖﹐建立直角坐標系﹐則拋物線方程式可設為Γ﹕x 2＝4c (y －k )﹐由題意知Γ通過(3 , 0)﹐(52,32)兩點﹐ 代入方程式得94()(1)2534()(2)42c k c k ⎧⎪⎨⎪⎩ ＝－＝－ 由(1)(2)得3625＝32k k－－﹐所以k ＝5411﹐故拱門的高度為5411公尺﹒ . 【解一】(1)先求猜6題3選1選擇題的期望值所以﹐得分的期望值為613[24＋12 ⨯ 19＋60 ⨯ 14＋160 ⨯ 9＋240 ⨯ 4＋192 ⨯ (－1)＋164 ⨯ (－6)] ＝1729⨯ 2916＝4（分）﹒ (2)再求猜3題5選1選擇題的期望值所以﹐得分的期望值為1125[12＋7 ⨯ 12＋2 ⨯ 48＋(－3) ⨯ 64] ＝1125⨯ 0＝0（分）﹒ (3)由(1)和(2)的討論知﹐總得分的期望值為64＋4＋0＝68（分）﹒【解二】猜對1題3選1的選擇題﹐其機率為13﹐今猜6題平均可對2題（錯4題）﹐ 所以得分的期望值為2 ⨯ 4＋4 ⨯ (－1)＝4（分）﹒同理﹐猜對1題5選1的選擇題﹐其機率為15﹐今猜3題平均可對35題（錯125題）﹐ 所以得分的期望值為35⨯ 4＋125⨯ (－1)＝0（分）﹐ 故總得分的期望值為64＋4＋0＝68（分）﹒11 . Y ＝95X ＋32＝95⨯ 16＋32＝60.8﹐ S y ＝9325x S ＋＝95S x ＝95⨯ 3.5＝6.3﹒。