必修5-3.4基本不等式(1)

关于《基本不等式》的说课稿教材: 《普通高中数学课程标准试验教科书(人教A版) 》必修5“3.4基本不等式”第一课时下面我将从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价设计六个方面对本课进行说明。

一、背景分析1、学习任务分析基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识,它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。

其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。

2、学生情况分析学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。

由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。

因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。

二、教学目标设计《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求：1．探索并了解基本不等式的证明过程；2．会用基本不等式解决简单的最值问题；结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点：1.通过观察背景图形，抽象出基本不等式；2.了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景；3．体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力；三、课堂结构设计首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。

四、教学媒体设计为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下安排：1．制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点；2.设计合理的板书（见下），凸现重点知识，加深学生对重点知识的印象。

§3.4基本不等式: 3.4基本不等式 基本不等式:
a+b ab ≤ 2
选自人教版高中数学必修5 3.4节第1课时
火眼金睛
请尽可能多地找 出图形中的相等 关系和不等关系
注意图形的特殊情况
七嘴八舌
1.大正方形的面积等于四个全等的直角三角 形与小正方形的面积的和 2.大正方形的面积大于或等于四个全等的直 . 角三角形的面积 3.大正方形的面积大于小正方形的面积 4.直角三角形两条直角边的长之和大于斜边 的长 等等
知识小结： 知识小结：
代数背景） （代数背景）
∀a, b ∈ R, 2 2 a + b ≥ 2ab
基本不等式
a +b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
当且仅当 a = b 时， 等号成立. 等号成立. 基本不等式 的初步应用 几何背景） （几何背景） 圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
课后作业： 课后作业：
∵ Rt△ACD ∽ Rt△DCB ∴ CD2 = AC · BC ∴ CD= ab
基本不等式 的几何解释
根据圆的半弦长小于 或等于圆的半径长
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2 当且仅当a = b ，等号成立
a
b
牛刀小试： 牛刀小试：
1 1、若 x > 0, 比较 x + 与2的大小关系. x
1、试着用其他方法证明基本不等式. 试着用其他方法证明基本不等式. 预习本节课的两道例题. 2、预习本节课的两道例题 3、写一篇小论文 要求四人为一组， 要求四人为一组，论文 内容要求尽可能全面地 探究赵爽弦图中包含的 相等关系和不等关系， 相等关系和不等关系， 并加以证明④是成立的，当且仅当______时 显然④是成立的，当且仅当______时，等号成立 ______

答案B
解析x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
⇔ax≥－x2－1⇔a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案大 －1
解析∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lgx＋lgy＝1，则＋的最小值为________．
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有()
A．1≤ab≤B．ab<1<
C．ab<<1 D.<ab<1
答案B
解析∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是()
A．a2＋b2B．2C．2abD．a＋b
答案2
解析∵lgx＋lgy＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
A.B．bC．2abD．a2＋b2
答案B
解析∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴>，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为()
A．0 B．－2C．－D．－3
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤(a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.

《基本不等式》教案1（新人教A版必修5）第一课时 3.4基本不等式（一）教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号"≥"取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点：理解"当且仅当a=b时取等号"的数学内涵教学过程：一、复习准备：1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。

2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？二、讲授新课：1. 教学：基本不等式①探究：图形中的不等关系，将图中的"风车"抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

（教师提问学生思考师生总结）②思考：证明一般的，如果③基本不等式：如果a0,b0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：④从不等式的性质推导基本不等式：用分析法证明：要证 (1)，只要证 a+b(2)，要证（2），只要证a+b-0（3）要证（3），只要证（ - ）（4），显然，（4）是成立的。

当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

⑤练习：已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.⑥探究：课本第110页的"探究"：（结论：如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.）2. 小结：①两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。