最新上海市高一数学下学期期中

2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.函数|cos |y x =的最小正周期为________.2.若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限．3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点，且13AP PB =，则点P 的坐标为__________.4.若2AB AC AB AC ==-=，则AB AC =+ ________．5.若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=______．6.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，若||1a = ，(1,2)b = ，则a 在b 上的投影向量的坐标为______.7.在ABC 中，tan tan A,B 是方程2670x x -+=的两个根，则tan C =______．8.已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0,02πωϕ>≤<，满足以下三个条件：（1）函数()y f x =的最小正周期为π；（2）函数()y f x =的图象关为直线π4x =对称；（3）函数()y f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =__________.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10，点P 在其边上运动，则121⋅A A A P的取值范围是__________.10.已知()()sin f x x ω=，其中0ω>.若函数()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为__________.11.设()()2sin 4π4π,R,48,x a x a a f x a x a x a x ⎧-<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点，则a 的取值范围是__________.12.若,a b均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）（1）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤- ，且1c = ，则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦；（2）若0a b ⋅=且()()a cbc -⋅≤-，且2c =，则a b c +- 的取值范围为22⎢⎥⎣⎦；（3）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则a b c b ++-（4）若12a c ⋅=且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第1314-题每题4分，第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若a b = ，b c =，则a c=C.若a 与b 是非零向量且a b ∥，则a 与b的方向相同或者相反D.若a ，b都是单位向量，则a b= 14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，其中a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）A.π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设n 是正整数，集合2π|cos ,Z k A x x k n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭．当2024n =时，集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.202416.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()sin sin f x x x =+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列3个命题4，真命题的个数为（）（1）函数()y g x =是周期函数；（2）函数()y g x =的图象关于直线2x π=对称；（3）方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17.已知2a =，3b = ，()5a b b -⋅=- .（1）若ka b -与2a b +垂直，求实数k 的值；（2）若ka b - 与2a kb - 方向相反，求实数k 的值.18.已知向量)()2,cos ,1,2cos a x x b x =-=．设()f x a b =⋅ ．（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图象，直接写出函数()y g x =的表达式；（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集．19.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为52米．设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y （单位：米）（在水面下则y 为负数）．若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间，则y 与时少t （单位：秒）之少的关系为()sin y A t K ωϕ=++，其中π0,0,2A ωϕ>><．（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）当()40,50t ∈时，判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．20.如图所示，已知3,5OA OB == ，OA 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤AB 上的一个动点（含端点,A B ），记OA 与OC的夹角为θ，并设OC xOA yOB =+ ，其中,x y 为实数．（1）求ABO 外接圆的直径；（2）试将OC表示为θ的函数()y f θ=，并指出该函数的定义域；（3）求OC 为直径时，x y +的值．21.对于定义域为R 的函数()y g x =，若存在常数0T >，使得()()sin y g x =是以T 为周期的周期函数，则称()y g x =为“正弦周期函数”，且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数cos 2xy x =+是否为“正弦周期函数”，并说明理由；（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ，且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若()()π9π0,22g g T ==，且存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，求()2g T 的值；（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >，使得对任意x ∈R ，都有()()h x a Ah x +=，证明：()y h x =是周期函数.2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.函数|cos |y x =的最小正周期为________.【答案】π【解析】【分析】利用图像及三角函数最小正周期的知识求解即可.【详解】|cos |y x =的图像如图所示，由图像可知|cos |y x =的最小正周期为π，故答案为：π2.若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限．【答案】二【解析】【分析】由α的范围确定cot ,cos αα正负，即可判断点所在象限.【详解】π02α-<<,cot 0,cos 0αα∴<>,∴点()cot ,cos αα在第二象限.故答案为：二.【点睛】本题考查根据角的范围判断三角函数正负，属于基础题.3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点，且13AP PB =，则点P 的坐标为__________.【答案】()5,4【解析】【分析】设(),P x y ，再根据向量的坐标公式与13AP PB =求解即可.【详解】设(),P x y ，由13AP PB = ，即3AP PB =，可得()()36,52,1x y x y --=--，即31823151x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩，即()5,4P .故答案为：()5,44.若2AB AC AB AC ==-=，则AB AC =+________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件可判定ABC 是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解.【详解】因为AB AC CB -=，则2AB AC CB === ，所以ABC 是边长为2的正三角形，所以AB AC +为△ABC 的边BC 上的中线长的2倍，所以AB AC +=．故答案为：5.若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于sin α的方程，解得即可.【详解】sin cos 2αα= ，2sin 12sin αα∴=-，解得1sin 2α=或sin 1α=-αQ 为第二象限角，1sin 2α∴=.故答案为：126.已知平面向量a与b的夹角为3π，若||1a =，(1,2)b =，则a在b上的投影向量的坐标为______.【答案】,105⎛ ⎝⎭【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量是()π1cos 11,2,3210105b a b ⎛⋅⋅=⋅⋅== ⎝⎭.故答案为：55,105⎛⎫⎪⎪⎝⎭.7.在ABC 中，tan tan A,B 是方程2670x x -+=的两个根，则tan C =______．【答案】1【解析】【分析】利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得.【详解】方程2670x x -+=中，264780∆=-⨯=>，则tan tan 6tan tan 7A B ,A B +==，在ABC 中，tan tan 6tan tan[π()]tan()11tan tan 17A B C A B A B A B +=-+=-+=-=-=--.故答案为：18.已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0,02πωϕ>≤<，满足以下三个条件：（1）函数()y f x =的最小正周期为π；（2）函数()y f x =的图象关为直线π4x =对称；（3）函数()y f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =__________.【答案】sin2x -【解析】【分析】对于①：根据周期性可得2ω=；对于②：根据对称性可得0ϕ=或πϕ=；对于③：结合正弦函数单调性分析求解.【详解】对于①：因为0ω>，由题意可得：2π2πω==，则()()sin 2f x x ϕ=+；对于②：可得ππ2π,42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π,k k ϕ=∈Z ，且0πϕ≤<2，可得0ϕ=或πϕ=，则()sin2f x x =或()()sin 2πsin 2f x x x =+=-；对于③：因为π04,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，可知sin 2y x =在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可知()sin2f x x =不合题意，()sin2f x x =-符合题意；综上所述：()sin2f x x =-.故答案为：sin2x -.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10，点P 在其边上运动，则121⋅A A A P 的取值范围是__________.【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】作出图形，由图可得点P 在34A A 上运动，121⋅ A A A P 取的最大值，当P 在78A A 上运动，121⋅A A A P取的最小值，求得相应最值即可.【详解】分别过3A ，8A 作12A A 的垂线，垂足为M ，N ，且1A N =110A M =+因为点P 在正八边形上运动，所以1A P 在12A A上的投影向量的起点为1A ，终点在线段MN 上移动，则当点P 在34A A 上运动，121⋅A A A P 取的最大值，为12110(10100A A A M ⋅=⨯+=+ ，则当点P 在78A A 上运动，121⋅A A A P 取的最小值，为12110A A A N -⋅=-⨯-所以121⋅A A A P 的取值范围是⎡-+⎣故答案为：⎡-+⎣10.已知()()sin f x x ω=，其中0ω>.若函数()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为__________.【答案】932,⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得3πππ23ω-<-≤-，求解ω即可．【详解】()sin f x x ω=，由6,ππ3x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，得ππ,36x ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若函数()y f x =在区间ππ[,]36-上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则只需3πππ23ω-<-≤-，解得932ω≤<．故答案为：932,⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.设()()2sin 4π4π,R,48,x a x aa f x a x a x a x ⎧-<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦【解析】【分析】先根据三角函数图象变换判断当0a ≤时不成立，再分析当0a >时，函数248,a y x a x ax=++-≥的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论()sin 4π4π,y x a x a =-<的零点个数即可.【详解】由题意，当0a ≤时，()sin 4π4π,y x a x a =-<在()0,∞+内无零点，又248,a y x a x ax=++-≥不可能有7个零点，故当0a ≤时不满足题意；由基本不等式248858a y x a a a x =++-≥-=-，当且仅当24a x x=，即2x a =时取等号，最小值为58a -.①当580a ->时，即85a >时，248,a y x a x a x=++-≥无零点，则当0a >时，()()sin 4π4πsin4π,y x a x a x a =-=-<有7个零点，此时()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,7k =---时取得.故704804a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得724a <≤；②当580a -=，即85a =时，248,a y x a x a x=++-≥有一个零点165x =.此时()sin4π,y x a x a =-<有6个零点，即()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,6k =---时取得.此时604704a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得3724a <≤.又85a =满足3724a <≤，故满足条件题意；③当580a -<，即85a <时，由对勾函数的性质可得()248a g x x a x=++-在()2,a ∞+上有1个零点，又()68g a a =-，则1.当680a -≥，即43a ≥时，()248a g x x a x =++-在[),2a a 上有1个零点，故()248,a g x x a x a x=++-≥有2个零点，此时()sin4π,y x a x a =-<有5个零点，即()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,5k =---时取得.此时504604a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得5342a <≤，综上有4332a ≤≤2.当680a -<，即403a <<时，()248a g x x a x =++-在[),2a a 上无零点，故()248,a g x x a x a x=++-≥有1个零点，此时()sin4π,y x a x a =-<有6个零点，即3724a <≤，不满足403a <<；综上有724a <≤或85a =或4332a ≤≤.故答案为：4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦12.若,a b均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）（1）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤- ，且1c = ，则a b c +- 的取值范围为211,⎤-⎦；（2）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤-，且2c = ，则a b c +-的取值范围为2⎢⎥⎣⎦；（3）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则a b c b ++-（4）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122ab bc ++- 的【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知=a b c CD +-，从而利用数形结合求得；（2）与（1）比较仅改变了22c = ，同理利用数形结合去求出26,26CD ∈⎣⎦；（3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出1c =，并求出与a 夹角为60︒，从而确定两向量的位置关系，再分析+=+a b c b EB BC EC +-≥ ,即可求得最小值;（4）关键是作出图形后，利用FB DE =转化为几何关系求最小值.【详解】由0a b ⋅= 且,a b 均为单位向量，作图：=,,1,1a OA b OB OA OB OA OB ===⊥ ，，因为()()0a c b c -⋅-≤，即0CA CB ≤⋅ ，所以点C 在以AB 为直径的圆上或内部，又因为1c =，所以点C 又在点O 为圆心的单位圆上，即点C 在圆O 的劣弧AB 上，又由=a b c OD OC CD +--=，所以由图可得1,1CD ⎤∈⎦ ，故（1）正确；由于22c =与（1）不同，假设点O 为圆心半径为22圆与以AB 为直径的圆相交于点,M N ，则点C 在圆O 的劣弧MN 上，由图可知以AB 为直径的圆也是以OD 为直径的圆，所以OM MD ⊥，由22OM =，可得2216=222MD OD OM -=-=，所以由图可得26,26CD ∈⎣⎦，故（2）正确；由12a c a c λ+≥-平方得：22222124a a c c a a c λλ+⋅+≥-⋅+ ，又因为12a c ⋅=，所以得：22211024c c λλ++-≥ ，上式是关于λ的一元二次不等式，由于对任意实数λ恒成立，所以()22242211Δ=14211024c c c c c ⎛⎫--=-+=-≤ ⎪⎝⎭，即()221=0c - ，所以1c = ，由12a c ⋅= ，可得1cos 2ab AOC a b ⋅∠==⋅，又因为0,180AOC ︒∠∈（），所以=60AOC ︒∠，此时,，a b c均为单位向量，如图：由=,==a OA b OB c OC OE OA a =-=- ，，，可知()==a b b a EB +-- ，c =b BC- 而因为点B 是单位圆上的动点，所以+E EC BC B ≥，此时由=18060120EOC ︒︒︒∠-=，可得：EC所以+a b c b +-≥(3)正确；由=,==a OA b OB c OC OE OA a =-=- ，，，作一个同心圆且半径为12，分别交,OB OE 于点,D F 则11=22a b b c OB OF OD OC FB CD ++--+-=+，由于三角形OBE 是等腰三角形，,D F 分别为,OB OE 的中点，可得FB DE =，所以=FB CD DE DC CE ++≥ ，而EC 1122a b b c ++-≥，故（4）正确；故答案为：（1），（2），（3），（4）.【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第1314-题每题4分，第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若a b = ，b c =，则a c=C.若a 与b 是非零向量且a b ∥，则a 与b的方向相同或者相反D.若a ，b都是单位向量，则a b= 【答案】A 【解析】【分析】举特例否定选项A ；由向量相等定义判断选项B ；由向量平行定义判断选项C ；由单位向量定义判断选项D.【详解】A.若0,0,0,a b c a c ≠=≠⊥，满足a b ∥，b c∥，但是不满足a c∥，所以该选项错误；B ．由向量相等定义可知，若a b = ，b c = ，则a c =，所以该选项正确；C ．若a 与b 是非零向量且a b∥，则a 与b的方向相同或者相反，所以该选项正确；D ．若a ，b都是单位向量，则a b = ，所以该选项正确．故选：A14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，其中a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）A.π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2cos 20c A -+=有两个不相等的正根，则Δ0A >⎧⎪⎨>⎪⎩，即可求出cos A 的范围，再求出角A 的范围.法二：根据正弦定理得到sin B =，即可求出sin A 的取值范围，再结合a 、b 的关系求出A 的范围.【详解】法一：因为a =b =，要使三角形有且只有两个，即c 会出现两个符合题意的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即(2222cos c A =+-⨯，依题意可得关于c的方程2cos 20c A -+=有两个不相等的正根，则()2Δ420A A ⎧=-⨯>⎪⎨⎪>⎩，解得1cos 2A >，又()0,πA ∈，解得π03A <<，综上可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.法二：由正弦定理sin sin a b A B =，所以sin sin b A B a ===所以01<<，则0sin 2A <<，由a b <且()0,πA ∈，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以由30sin 2A <<，解得π03A <<，综上可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A15.设n 是正整数，集合2π|cos ,Z k A x x k n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭．当2024n =时，集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.2024【答案】B 【解析】【分析】分析得当01012k ≤≤且Z k ∈时，πcos 1012k x =恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值．【详解】2ππcoscos ,Z 20241012k k x k ==∈，当01012k ≤≤且Z k ∈时，πcos 1012k x =恰好取到半个周期内的值，且πcos 1012k x =单调递减，所以πcos1012k x =在半个周期内有1013个不同的值，再根据对称性得πcos1012k x =在1个周期内有1013个不同的值，由集合中元素的互异性得，集合A 中的元素个数为1013，故选：B ．16.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()sin sin f x x x =+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列3个命题4，真命题的个数为（）（1）函数()y g x =是周期函数；（2）函数()y g x =的图象关于直线2x π=对称；（3）方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由题意可得()f x 、()g x 均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分π2π+2x k =，π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠及π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈求解（3）．【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()y f x =为偶函数，当0πx ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，⋯⋯因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图像如下图所示：因为()[()][()]()g x f x f x g x -=-==，所以()g x 为偶函数，由()[()]g x f x =可知，在[0x ∈,)∞+内，当π2π+2x k =，Z k ∈时，()2g x =，当π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠，Z k ∈时，()1g x =，当π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈时，()0g x =，则函数()g x 的图像如下图所示：显然()g x 不是周期函数，故（1）错误；()g x 的图像不关于直线π2x =对称，故（2）错误；因为当π2π+2x k =，Z k ∈时，()2g x =，()2f x =所以()()4f x g x x x ⋅=⇔=；不存在Z k ∈，使π2π+42x k ==，故无解；当π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠，Z k ∈时，()1g x =，所以()()()2sin sin 2xf xg x x f x x x x x ⋅=⇔=⇔=⇔=；如图所示，此时有一个解；当π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈时，()0g x =，所以()()0f x g x x x ⋅=⇔=；综上，方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根，故（3）正确．故选：B ．【点睛】方法点睛：求函数()y f x =零点个数的常用方法：(1)直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17.已知2a =，3b = ，()5a b b -⋅=- .（1）若ka b -与2a b +垂直，求实数k 的值；（2）若ka b - 与2a kb - 方向相反，求实数k 的值.【答案】（1）1712（2）【解析】【分析】（1）首先求出a b ⋅ ，依题意可得()()20ka b a b -⋅+=，根据数量积的运算计算可得；（2）首先判断a 与b不共线，依题意()()20ka b t a kb t -=-< ，根据平面向量基本定理得到方程，解得即可.【小问1详解】因为2a = ，3b = ，()5a b b -⋅=-，所以()25a b b a b b -⋅=⋅-=- ，即235a b ⋅-=- ，所以4a b ⋅= ，又ka b - 与2a b + 垂直，所以()()20ka b a b -⋅+= ，即()22220ka k a b b +-⋅-= ，即()22222430k k ⨯+-⨯-=，解得1712=k .【小问2详解】因为2a = ，3b = 且4a b ⋅= ，所以42cos ,233a b a b a b ⋅===⨯⋅，所以a 与b不共线，又ka b - 与2a kb - 方向相反，则()()20ka b t a kb t -=-< ，即21k t kt =⎧⎨-=-⎩，解得22t k ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）或22t k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以k =18.已知向量)()2,cos ,1,2cos a x x b x =-=．设()f x a b =⋅ ．（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图象，直接写出函数()y g x =的表达式；（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集．【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；ππ,Z 62k x k =+∈（2）()π2sin 216g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3）π5π{,}26【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得()f x ，再用整体法求出对称轴方程；（2）由()π()6g x f x =-代入计算即可；（3）由()20f x +=得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈求解即可．【小问1详解】2π()222cos 2sin 216f x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，令ππ2π62x k +=+，得对称轴为直线ππ,Z 62k x k =+∈．【小问2详解】()ππ2sin 2136ππ()2sin 2166g x f x x x ⎛⎝⎛⎫=--==-- ⎪⎝-+⎭⎭⎫ ⎪．【小问3详解】由()20f x +=得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于ππ13π[0,π],2[,]666x x ∈+∈，所以π7π266x +=或11π6，故所求解集为π5π{,}26．另解：由π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得ππ22π66x k +=-或()5π2πZ 6k k -∈，解得ππ6x k =-或ππ2k -，又[]0,πx ∈，所以5π6x =或π2，所求解集为π5π{,}26．19.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为52米．设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y （单位：米）（在水面下则y 为负数）．若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间，则y 与时少t （单位：秒）之少的关系为()sin y A t K ωϕ=++，其中π0,0,2A ωϕ>><．（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）当()40,50t ∈时，判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．【答案】（1）5A =，52K =，π30ω=，π6ϕ=-（2）处于向下的运动状态，理由见解析【解析】【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；（2）结合（1）可得ππ55sin 3062y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∞∈+，从而根据t 的取值范围可得ππ306t -的取值范围，即可判断y 单调性，进而即可得到盛水筒P 的运动状态．【小问1详解】如图，设筒车与水面的交点为M ，N ，连接OM ，过点P 作PB MN ⊥于点B ，过点O 分别作OD MN ⊥于点D ，OC PB ⊥于点C ，则5A OM ==，52K OD ==，因为筒车转一周需要1分钟，所以2ππ6030ω==，故π30MOP t ∠=，在Rt OMD 中，512sin 52OD OMD OM ∠===，所以π6COM OMD ∠∠==，即π6ϕ=-．【小问2详解】盛水筒P 处于向下运动的状态，结合（1）可得ππ55sin 3062y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∞∈+，则当()40,50t ∈时，ππ7π3π,30662t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时y 单调递减，所以盛水筒P 处于向下运动的状态．20.如图所示，已知3,5OA OB == ，OA 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤AB 上的一个动点（含端点,A B ），记OA 与OC的夹角为θ，并设OC xOA yOB =+ ，其中,x y 为实数．（1）求ABO 外接圆的直径；（2）试将OC表示为θ的函数()y f θ=，并指出该函数的定义域；（3）求OC 为直径时，x y +的值．【答案】（1）3（2）()2sin 3cos ,0,33f πθθθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦（3）18845【解析】【分析】（1）在AOB 中，由余弦定理得7AB =，再由正弦定理即可求出外接圆直径；（2）由正弦定理及同角三角函数的平方关系得cos OCA ∠，结合两角和的正弦公式得出sin OAC ∠，由正弦定理即可得出()y fθ=；（3）法一：由正弦定理及同角三角函数的平方关系得出OD ，结合由向量的共线定理即可求解；法二：连接BC ，由2OC OA OA ⋅= ，2OC OB OB ⋅= ，列出方程求解即可．【小问1详解】在AOB 中，由余弦定理得，2222cos 49AB OA OB OA OB AOB =+-∠=，解得7AB =，由正弦定理得，sin 332ABAOB==∠，所以ABO外接圆的直径为3．【小问2详解】连接AC ，由意可知，2π[0,]3θ∈，在AOC中，由正弦定理2sin 3OAR OCA==∠，则sin 14OCA ∠=，又π0,2OCA ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则13cos 14OCA ∠=，于是()sin sin sin cos cos sin OAC OCA OCA OCA θθθ∠=∠+=∠+∠13cos sin 1414θθ=+，由正弦定理得，132sin cos sin sin 3cos 314143OC R OAC θθθθ⎛⎫=∠=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1332π()sin 3cos ,[0,]33OC f θθθθ==+∈．【小问3详解】法一：设AB 与OC 交于点D ，当OC 为直径时，π2OAC ∠=，此时13sin cos ,cos sin 1414OCA OCA θθ=∠==∠=，又由正弦定理可得11sin ,cos 21414OB BAO BAO R∠==∠==，于是47sin sin()sin cos cos sin 49ADO BAO BAO BAO θθθ∠=+∠=⋅∠+⋅∠=，因此由正弦定理得sin sin 94OA OD BAO ODA=⋅∠=∠，而由向量的共线定理可得存在()0,1λ∈，使得()1OD OA OB λλ=+- ，且2||R OC OD OD =⋅，故22188[(1)],45R R OC xOA yOB OA OB x y OD OD λλ=+=+-+== ，法二：连接BC ，由题可知，22159,25,2OA OB OA OB ==⋅=- ，由于此时OA AC ⊥ ，2OC OA OA ⋅= ，即215992xOA yOB OA x y +⋅=-= ，同理，由OB BC ⊥ 得，2OC OB OB ⋅= ，即21525252xOA OB yOB x y ⋅+=-+= ，解得2292615x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此18845x y +=．21.对于定义域为R 的函数()y g x =，若存在常数0T >，使得()()sin y g x =是以T 为周期的周期函数，则称()y g x =为“正弦周期函数”，且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数cos 2xy x =+是否为“正弦周期函数”，并说明理由；（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ，且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若()()π9π0,22g g T ==，且存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，求()2g T 的值；（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >，使得对任意x ∈R ，都有()()h x a Ah x +=，证明：()y h x =是周期函数.【答案】（1）是，理由见解析（2）()17π22g T =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得到()()()()sin 4πsin g x g x +=，即可判断cos2xy x =+为“正弦周期函数”；（2）由题意条件得到()()()()0sin sin 21g x T g T +==，故()()0ππ2π,22π22g x T m g T t +=+=+，,Z m t ∈，由函数单调性得到不等式，求出3,4m t ≥≥，再证明5t ≥不合要求，从而得到4t =，并求出()17π22g T =；（3）法1：1A =，满足要求，若01A <<，则对任意0R x ∈，存在正整数n ，使得()01nA h x ≤且()01n A h x T +≤，得到()()()()00sin sin nnA h x T A h x +=，()()h x T h x +=，若1A >，同理可证明，得到结论；法2：反证法，假设()y h x =不是周期函数，则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立，存在0R x ∈，使得()()00h x T h x +≠，再利用题目条件推出()()00h x T h x +=，故假设不成立，证明出结论.【小问1详解】()cos 2x g x x =+，则()4π4π4πcos cos 4π22x xg x x x ++=++=++，故()()()()sin 4πsin cos 4πsin cos sin 22x x g x x x g x ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos2xy x =+是正弦周期函数.【小问2详解】存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，故()()05πsin sin12g x ==，因为()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，所以()()()()00sin sin 1g x T g x +==，又()9π2g T =，()()sin 1g T =，所以()()()()0sin sin 1g x T g T +==，又()()()()sin 2sin g T g T =，则()()()()0sin sin 21g x T g T +==，故()()0ππ2π,22π22g x T m g T t +=+=+，,Z m t ∈，因为()00,x T ∈，所以()0,2x T T T +∈，且()y g x =严格增，由于()()π9π0,22g g T ==，()05π2g x =，故π9πππ2π,2π2π2222m t m +>+>+，解得2,m t m >>，则整数3,4m t ≥≥，下证4t =.若不然，5t ≥，则()π21π22π22g T t =+≥，由()y g x =的值域为R 知，存在()12,,2x x T T ∈，12x x ≠，使得()113π2g x =，()217π2g x =，则()()()()()()()()1212sin sin sin sin 1g x g x g x T g x T ==-=-=，120x T x T T <-<-<，由()y g x =严格单调递增可知()()()()12π9π022g g x T g x T g T =<-<-<=，又()()()()12sin sin 1g x T g x T -=-=，故120x T x T x -=-=，这与12x x ≠矛盾.故4t =，综上所述，()17π22g T =；【小问3详解】法1：若1A =，则由()()h x a h x +=可知()y h x =为周期函数.若01A <<，则对任意0R x ∈，存在正整数n ，使得()01n A h x ≤且()01nA h x T +≤.因为()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且()()h x a Ah x +=，所以()()()()()()()()0000sin sin sin sin nnA h x T h x na T h x na A h x +=++=+=，故()()00h x T h x +=，所以()()h x T h x +=，若1A >，则同理可证（取n 为负整数即可）.综上，得证.法2：假设()y h x =不是周期函数，则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立.显然1A ≠.因为()()h x T h x +=不恒成立，所以存在0R x ∈，使得()()00h x T h x +≠，因为()()0,11,A ∈+∞ ，所以存在Z n ∈，使得()01n A h x <且()01nA h x T +<，其中若1A >，取n 为负整数；若01A <<，取n 为正整数.因为()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且()()h x a Ah x +=，由正弦周期性得()()()()()()()()0000sin sin sin sin nnA h x T h x na T h x na A h x +=++=+=，即()()()()00sin sin nnA h x T A h x +=，所以()()00h x T h x +=，矛盾，假设不成立，综上，()y h x =是周期函数.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

2022-2023学年上海市高一下学期期中数学试题一、填空题1．函数()sin 2f x x =的最小正周期是______.【正确答案】π【分析】根据正弦型函数的周期公式求解即可.【详解】()sin 2f x x =的最小正周期是2ππ2=.故π2．已知()()0,1,2,1a b ==，则2b a ⋅= __________.【正确答案】2【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为()()0,1,2,1a b ==，所以()()24,20,140212b a ⋅=⋅=⨯+⨯= .故2.3．函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是______．【正确答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】结合函数函数cos y x =的单调递增区间得到22,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，进而可求出结果.【详解】因为函数cos y x =的单调递增区间为[]2,2,k k k Z πππ-∈，所以22,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，即222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.4．扇形OAB 的半径为1，圆心角所对的 AB 长为2，则该扇形的面积是__________.【正确答案】1【分析】根据扇形的面积公式求解即可.【详解】因为扇形OAB 的半径为1，圆心角所对的 AB 长为2，所以扇形的面积为1121122S lr ==⨯⨯=.故1.5．若点O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|||()()|OB OC OB OA OC OA -=-+- ，则ABC 的形状为__________.【正确答案】直角三角形【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到2CB AD = ，从而得到AD DB DC ==，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为180︒即可求出结果.【详解】如图，取BC 中点D ，因为()()OB OC OB OA OC OA -=-+-，所以22CB AB AC AD AD =+== ，即AD DB DC ==，所以DAB DBA ∠=∠，DAC DCA ∠=∠，所以BAC ABC ACB ∠=∠+∠，又三角形内角和为180︒，所以90BAC ∠=︒，所以ABC 为直角三角形，故直角三角形.6．已知点()()()π3π3,0,0,3,cos ,sin ,,22A B C ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AB BC ⋅=- ，则22sin sin21tan ααα+=+__________.【正确答案】559-【分析】结合平面向量的坐标运算可得8sin cos 3αα-=，进而可得552sin cos 9αα=-，结合二倍角公式及同角三角函数关系化简22sin sin21tan ααα++即可求解.【详解】因为()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，所以()3,3AB =-，()cos ,sin 3BC αα=- ，所以()3cos 3sin 31AB BC αα⋅=-+-=- ，即8sin cos 3αα-=，所以()264sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，即552sin cos 9αα=-，所以()()22sin sin cos 2sin cos sin cos 2sin sin2552sin cos 1tan 1tan cos sin 9ααααααααααααααα+++====-+++.故答案为.559-7．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有()()()112023f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为__________.【正确答案】2023π/12023π【分析】先化简函数()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由正弦函数性质求解．【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意()1f x 是函数()f x 的最小值，()12023f x +是函数()f x 的最大值．由0ω>，ω最小，则函数周期最大，所以112π202322T ω≥=⨯，即π2023ω≥．故π2023．8．在ABC 中，60A =︒，1b =sin sin sin a b cA B C++=++_______．【分析】利用三角形的面积公式求得c ，利用余弦定理求得a ，结合正弦定理求得正确答案.【详解】依题意1sin 2ABC S bc A =，1142c c ⨯⨯==，由余弦定理得22214214cos 6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =，由正弦定理得sin sin sin sin 32a b c a A B C A ++===++.故39．已知a 、b 满足4a = ，b 在a方向上的数量投影为2-，则3a b - 的最小值为______．【正确答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=- ，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥ ，3a b -=== ，因此有3a b -= 2b ≥ ，所以当2b =时，3a b - 10=，故1010．若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{}1,2,3,4,5,6,,,i Q OA i a b c Q ==∈ ，且,,a b c互不相同，要使得()0c a b += ，则有序向量组(),,a b c的个数为____________【正确答案】48按照a ，b的夹角为π和3π两种情况讨论，再求和即可得解.【详解】①如左图，这样的a ，b 有6对，且a ，b可交换，此时c 有2种情况，∴有序向量组(),,a b c个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a ，b 有3对，且a ，b可交换，此时c 有4种情况，∴有序向量组(),,a b c个数为32424⨯⨯=个.综上所述，总数为242448+=个.故答案为.48本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、单选题11．已知θ是第一象限角，那么（）A ．2θ是第一、二象限角B ．2θ是第一、三象限角C ．2θ是第三、四象限角D ．2θ是第二、四象限角【正确答案】B【分析】由θ是第一象限角，可得36090360k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，进而得到180451802k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，进而求解.【详解】因为θ是第一象限角，所以36090360k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，所以180451802k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，当k 为偶数时，2θ是第一象限角，当k 为奇数时，2θ是第三象限角，综上所述，2θ第一、三象限角.故选：B.12．已知a ，b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则c的最大值为A ．1B CD ．2【正确答案】B【详解】试题分析：由已知0a b ⋅=，2()()()c a c b c a b c a b -⋅-=-+⋅+⋅ 2()c a b c=-+⋅ 2cos c a b c θ=-+⋅0=，（θ是a b +与c 的夹角），∴cos c a b a b θ=+≤+ ，而a b += c 的最大值．向量的数量积，向量的模．13．设()y f t =是某地区平均气温y （摄氏度）关于时间t （月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数()y f t =近似满足()sin y A x B =++ωϕ.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（）A ．π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππ15sin 11.366y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【详解】由题意，2π12T ω==，即π6ω=.由图可知，26.33.7A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得15A =，11.3B =，此时π15sin 11.56y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将点()1, 3.7-代入解析式，可得π3.715sin 11.56ϕ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=-+，Z k ∈，即2π2π3k ϕ=-+，取0k =，2π3ϕ=-，所以π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A.14．设a ，b ，c为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈ 则（）A ．()()a b a c+⊥- B ．()()a b b c+⊥+ C ．()()b c a b -⊥+ D ．()()a cbc -⊥+【正确答案】D【分析】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥- ，化简得到()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣ ，故()()0c b a c +⋅-= ，得到答案.【详解】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥- ，故()()()221a c t c ba c -+-+≥-，化简整理得到：()()()()()221210t c bt c b a c -++-+⋅-≥，即()()()()()()()()2222220c b t c b c b a c t c b c b a c +-+++⋅-++++⋅-≥ ，()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣ ，故()()0c b a c +⋅-= ，故()()a cbc -⊥+ .故选：D.本题考查了根据向量模求向量的关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题15．（1）已知单位向量a 、b 的夹角为45，ka b - 与a 垂直，求k ；（2）已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,cλ=，若()//2c a b + ，求λ.【正确答案】（1；（2）12【分析】（1）根据数量积的定义求出a b ⋅，依题意可得()0ka b a -⋅= ，根据数量积的运算律计算可得；（2）首先求出2a b +，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】（1）因为单位向量a 、b 的夹角为45 ，所以cos 1451a b a b ⋅=⋅=⨯=又ka b - 与a 垂直，所以()0ka b a -⋅= ，即20ka b a -⋅= ，即2102k ⨯-=，解得2k =；（2）因为()1,2a = ，()2,2b =- ，所以()()()221,22,24,2a b +=+-=，又()1,cλ=且()//2c a b + ，所以412λ=⨯，解得12λ=.16．ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，2a b ==．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【正确答案】(1)4c =【分析】（1）先由sin 0A A +=求得23A π=，再由余弦定理求得c 即可；（2）先由余弦定理求得cos 7C =，再求出AD ，最后由面积公式求解即可.【详解】（1）因为sin 0A A =，所以tan (0,)=∈A A π，所以23A π=．在ABC 中，由余弦定理得222844cos3c c π=+-，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去），4c =．（2）因为2,4b a c ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，又AD AC ⊥，即ACD 是直角三角形，所以cos AC DC C =，则===DC AD 又23A π=，则2326DAB πππ∠=-=，所以ABD △的面积为1sin 26S AB AD π=⋅⋅=．17．已知函数()2π2cos sin sin cos 3f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(2)若()f x a =在[]0,2πx ∈上有四个不同的根，求a 的取值范围及四个根之和.【正确答案】(1)函数()f x 的最小值2-，此时x 的值为5ππ,12x k k =-∈Z (2)答案见解析【分析】（1）利用三角恒等变换整理得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数性质运算求解；（2）以π23x +为整体，结合正弦函数分析运算.【详解】（1）∵()22π12cos sin sin cos 2cos sin sin cos 32f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)222sin cos cos sin sin 2cos 2x x x x x x=-=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k k +=-∈Z ，解得5ππ,12x k k =-∈Z ，故函数()f x 的最小值2-，此时x 的值为5ππ,12x k k =-∈Z .（2）由（1）可知：()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵[]0,2πx ∈，则ππ13π2333,x ⎡⎤∈⎢⎣⎦+，[]πsin 21,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()[]2,2f x ∈-，且()()02πf f ==，结合正弦函数可得：若()f x a =在[]0,2πx ∈上有四个不同的根，则a 的取值范围为()2-U，设()f x a =在[]0,2πx ∈上的四个不同的根由小到大依次为1234,,,x x x x ，当(a ∈-时，则1234ππππ223π,227π3333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得12347π19π,66x x x x +=+=，故12347π19π13π663x x x x +++==；当()2a ∈时，则1234ππππ22π,225π3333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得1234π13π,66x x x x +=+=，故1234π13π7π663x x x x +++=+=；综上所述：当(a ∈-时，四个根之和为13π3；当)2a ∈时，四个根之和为17π3.18．如图，直角梯形ABCD 中，,,2,1,(0),AB CD AB BC AB CD BC a a P ⊥===>∥为线段AD（不含端点）上一个动点，设,AP x AD PB PC y =⋅=，对于函数()y f x =.(1)当2a =时，求函数()f x 的值域；(2)是否存在0a >，使得函数()f x 有最小值0.【正确答案】(1)4,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)存在，a =【分析】（1）以B 为原点，AB ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，结合平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得()()()()22214401f x a x a x x =+-++<<，当2a =时，()()258401f x x x x =-+<<，结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知，()()()()22214401f x a x ax x =+-++<<，结合对称轴()22421a x a+=+及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）如图，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，所以()0,0B ，()2,0A -，()0,C a ，()1,D a -，所以()2,0AB = ，()0,BC a = ，()1,AD a =，因为(),AP xAD x xa ==，所以()2,PB AB AP x xa =-=-- ，()2,PC PB BC x a xa =+=--，所以()()()()()()2222214401f x x xa a xa a C x B P a x P x ==---=+-<⋅++< ，当2a =时，()()258401f x x x x =-+<<，对称轴为45x =，所以函数()f x 在40,5⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而45x =时，()45f x =；0x =时，()4f x =；1x =时，()1f x =.所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，()()()()22214401f x a x a x x =+-++<<，对称轴为()22421a x a +=+，当()224121a a +≥+，即0a <≤时，函数()f x 在()0,1上单调递减，此时()f x 没有最小值，不符合题意；当()224121a a +<+，即a >()f x 在()2240,21a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭上单调递减，在()224,121a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭上单调递增，此时()()()()222min224802141a a f x f a a a ⎛⎫+ ==-= ⎪++⎝⎭，即a =所以存在a =()f x 有最小值0.19．我们学习了平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量a ，都可唯一地表示成1e 、2e 的线性组合，即存在唯一的一对实数λ、μ，使得12a e e λμ=+ .(1)类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理；(2)已知空间向量,,OA OB OC 都是单位向量，且,,OA OB OA OC OB ⊥⊥ 与OC 的夹角为60 ，若P 为空间任意一点，且1OP = ，满足OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ ，求OP OC ⋅ 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析7【分析】（1）结合题意类比推理即可求解；（2）建立空间直角坐标系O xyz -，可得()0,0,1A ，()0,1,0B ，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，可得2221x y z ++=.12y +的最大值，再利用线性规划求解最值即可.【详解】（1）类比平面向量基本定理，如果1e 、2e 、3e 是不共面的向量，那么对空间中的任意向量a ，存在唯一的一对实数λ、μ、ν，使得123e a e e λνμ=++.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1A ，()0,1,0B ，1,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,P x y z ，则2221x y z ++=.因为OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ 12x y y z +≤≤，平方得22223144x xy y y z +≤≤，结合2221x y z ++=，得()22210x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩①，因为12y O P OC =⋅+ ，所以问题转化为在①条件下求122x y +的最大值.由()0x y-≤，得xy⎧≤⎪-≥或xy⎧≥⎪-≤，102x y+=，并平移，由图可知当平移后的直线经过点A时，122x y+取得最大值.由2221x yy⎧+=⎪-=，可得A⎝⎭，所以max112227277x y⎫+=+=⎪⎪⎝⎭，即OP OC⋅的最大值为7.。

上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。

上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。