2018年12月上海市金山区高三数学一模卷答案
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金山区2018学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．}6,5{；2．1-=x ；3．
32；4．)1,3
1(；5．25；6．16； 7．31；8．210；9．(2, 4)；10．2π；11. )52,(-∞∪),2(∞+；12．31． 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．D ； 14．B ； 15．A ； 16．A ．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
解：(1) ∵⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π， 3
π=∠PBA ．…2分
因为2=AB ，所以PA =4分
11
4233P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯，即三棱锥ABC P -的体积为2．…7分 (2) 连结PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //，
所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角，………………………………8分 又13=PN ，1=MN ，15=PM ，……………………………………11分
cos
PMN ∴∠==PMN ∠=13分 即异面直线PM 与AC 所成角的大小为1015arccos
．……………………………14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解：(1)角α的终边经过点(P -,21sin =
α,cos α=,tan α=，…3分
sin 1si cos tan tan cos 12
n α
ααααα=∴-=．………………………………6分 (2) ∵f (x )=cos(x+α)cos α+sin(x+α)sin α=cos x (x ∈R )，………………………………8分
2cos(2)2cos 21cos 22sin(2)126y x x x x x ππ
∴=-+=++=++，…11分 ∴当2262x k π
π
π+=+，即6x k π
π=+(k ∈Z )时，max 3y =．…………………14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解：(1))1(log )(21+=-x x f ，(x >–1)………………………………………………2分
不等式为)13(log )1(log 42+≤+x x ，⎪⎩
⎪⎨⎧+≤+>+>+∴13)1(013012x x x x ……………………4分
解得]1,0[,10=∴≤≤D x ．……………………………………………………………6分 (2))10(1
13log 21)1(log 21)13(log )(224≤≤++=+-+=x x x x x x H ，……………8分 )1
23(log 21)(2+-=∴x x H ，…………………………………………………………10分 当]1,0[∈x 时，1
23+-x 单调递增，)(x H ∴单调递增，…………………………12分 ]21,0[)(∈∴x H ，因此当]2
1,0[∈a 时满足条件．…………………………………14分 20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
解：(1) 12
22
=+x y ；……………………………………………………………………4分 (2) 设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，]1,1[-∈x ，…………………………………………………6分 令22)()(2
2+++-=a a x x f ，所以，
当1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；
当11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；
当1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ；…………9分 所以，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．…………………………………………10分；
(3) 当10<<a 时，)22,(2a a P -±，)1(22
121a a S -=,2222+=a S ，…12分 若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)
1(4)1(222+-≥a a a m ，…13分 22222
)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ， 所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，64
1)]([max =a f ， 即6412≥m ，8
1≥m ．所以，m 存在最小值81．…………………………………16分． [另解]由1S ≤2mS ，得m ≥12
S S ，
而12S S ==2222(1)
12)8
4(1a a a ++-=， 当且仅当2221a a =-
，即a =12max 18
S S ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. 从而m ≥
18 ，故m 的最小值为18.
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)
(1) 解设数列{}n a 的公差为d ，由11
3615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分 得112a d =⎧⎨=⎩
，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分 (2) 对任意m ∈N *，若1212
212m m n ++<-<， 则2112222
m m n +<<+， 故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分 S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )
=21)21(241)41(4-----m m =3
22644+⨯-⨯m m ， ………………………………8分 令4462220183m m ⨯-⨯+>
，解得2l 5.3og m >≈， 故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分 (3) 1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22
(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分 记2(21)1(21)(21)
n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *， 由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)
n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++， 知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A
A A A =<<
< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.…………18分 【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分。
