第一章 极限与连续(汇总)

������→0 1 ������ 1 ������
解题思路：在 x→ 0的时候，x→0，sin 接等于 0.
为有界函数，按照无穷小量性质直
解题步骤：结果直接等 0 即可/由无穷小量性质（无穷小量（0）与有界函数的 乘积仍是无穷小）可得极限值为 0. 练习（思路指引） 求
������→0 ������
2） 、f（sinx）
已知函数 f（2x+4）定义域为[0，1]，则函数 f（x）的定义域是
极限存在问题
1, ������ > 0 ������ = 0 ,研究当 x→ 0时，f(x)的极限是否存在 例题：设 f(x)={ 0, −1, ������ < 0 解题步骤 第一步：求左极限（小于������0 一侧的极限值）
������→0−
lim ������(������)= lim−(−1)=-1
������→0
第二步：求右极限（大于������0 一侧的极限值）
������→0+
lim ������(������)= lim+(1)=1
������→0
第三步：比较左右极限是否相等（相等则极限存在，不相等则极限不存在）
1 (−������) =[ lim (1 + (− ������)) ] ������→∞
(−1)
第四步：求值 =������ −1
������→∞ 3+2∗0−0
=
2 3
练习： 1、求
������→∞ ������ 2 −������+2
lim
2������ 2 −1
2、求
������→∞ ������ 2 −������+2
lim
2������ 2 −1
3、求 lim
������ 3 2������ 2 +1
������→∞
3、对数式函数（对数真数大于零） 例三：y = ln( 3 − ������)
4、一般型函数（除上述三种外，都属于一般函数，定义域为无穷） 例四：y = ������ ������
（2） 、已知定义域求定义域 口诀：括号内等价，定义域永远是 x 设 f（x）的定义域为[0,1]，分别求下列函数的定义域。 1） 、f（������ 2 ）
=1
解题分析：当x → 0 时，������ ������ − 1 →0，所以按照等价无穷小代换������ ������ − 1~x
常用的等价无穷小函数只能代换乘除形式，不能代换加减形式 （2）求
������→0
lim
������������������������−������������������������ ������ 3
������→0−
lim ������(������) ≠ lim ������(������) +
������→0
第四步：得出结论 lim ������(������)不存在/f（x）极限不存在
������→0
练习题（规范性答题） 1、设 f(x)={ 2������ − 1 1 , ������ ≤ 1 ,求 lim ������(������) , ������ > 1 ������→1
（2）多项式的多项式次幂形式 基本重要极限式： lim (1 + ) = e
������→∞ ������
1 ������(������)
1 ������
推广重要极限式： lim (1 + ������(������))
������(������)→0
= e
使用该重要极限注意两点：
1）没有“1+”的要按照公式补充完整 2）括号内必为加号，不是加号的要变号 3）核心为幂要凑括号+号后部分的倒数 2、例题分析 （1） lim (1 − )������
������→∞ 3������ 3 +2������−4
3、 lim
������ 3
������→∞ 2������ 2 +1
无穷小量的等价代换（值都为无穷小（0）的函数的代换）
1、常用的等价无穷小函数代换 当x → 0 时，sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, ln(1 + x) ~x, ������ ������ − 1~������, 1 − ��������������������求值）
例题：求 lim(������ 2 − 2������ − 3)
������→1
解题步骤：直接把 x→1 代入 =12 -2*1-3=-4
练习： （1） 、求 lim (
������ 2 +3
������→1 ������−2
)
（2） 、求 lim (
������ 2 −5
������ 2 ������ , √1 2
+ ������ − 1~ ������
������
2、例题分析 当 x 趋近于某个值（常为 0） ，函数值趋近于 0，即可直接代换 （1）求 lim
������ ������ −1 ������
������→0
（直接代换）= lim
������
������→0 ������
)
第二步：分子分母进行 约分
第三步：直接代入求极 限 =2+2=4
)
= lim (������ + 2)
������→2
练习： 1、求 lim (
������ 2 −9
������→3 ������−3
)
2、求 lim (
������→1
2 ������ 2 −1
−
1
������−1
)
分子分母有理化求极限（根号）
������→0 ������·������������������������������������������
3、求 lim
sin(������−3) ������ 2 −9
������→3
4、求 lim
(1−������������������ )·(������ 3������ −1)
������ 2
������→������0 ������→������0
左连续=右连续=端点值 2、间断
无定义
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点
振荡间断点
求解定义域
（1） 、4 种形式函数定义域求解 1、分式函数（分母不等于零）
1 例一：y= 1−������ 2
2、根式函数（根号下大于等于零） 例二：y = √9 − ������ 2
2
������→0 (√1+������ 2 −1)·������������������������������������2 ������
重要极限
1、重要极限 （1）等价无穷小代换形式
������→0 ������
lim
������������������������
= 1（有专题，本章不再扩展）
������→+∞
分子分母同除以 x 的最高次幂（x→ ∞）
例题：求
������→∞ 3������ 3 +2������−4
lim
2������ 3 −5������ 2 +1
解题步骤： 第一步：分子分母同时除以 x 的最高次幂������ 3
������3 3 ������2 1
1
= lim
2 3 −5 3 + 3 ������ ������ ������
������→∞ ������ 1
第一步：变号（括号内中间必为+ 号） = lim (1 + (− ))������
������→∞ ������ 1
第二步：凑幂（凑括号+号后部分的 倒数） = lim (1 + (− ))(−������)·(−1)
������→∞ ������ 1
第三步：运用重要极限
������→∞ 3������ +2 ������ − 4 ������3 ������3 ������3
1 ������
= lim
1
2−5������+ 3 ������
1
1
������→∞ 3+2 2 − 3 ������ ������
4 1
4
第二步：化简约分（ = lim
2−5∗0+0
， ������ 2 ， ������ 3 … ������ ������在 x→∞时，极限值均为 0）
=lim
������→0
������→0
== lim
������→0
=
1 2
3 练习（等价代换函数运用） 1、 lim
������������������3������
������→0 ������������������2������
（把 3x，2x 整体看作 X）
2、 lim
(������ 2������ −1)·������������������������
第一章 极限与连续
一、求极限方法（7 种） 1、直接代入 2、分子分母同除以最高次幂 3、分子分母有理化 4、无穷小量的性质 5、两个重要极限 6、无穷小量的等价代换 7、洛必达法则
二、判断连续与间断 1、连续
������→������0 −
lim ������(������)= lim+ ������(������)= lim ������(������)
lim ������������������������ 的值