椭圆的简单性质

椭圆未命名未命名一、单选题1且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y += 【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a 2=4，∴b 2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得：221416x y += 故选D.2．椭圆22149x y +=的离心率为__________．【答案】3【解析】 由题意得，根据椭圆的方程可知3,2,a b c ==为3c e a ==. 3．设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ， O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为（ ） A.15 B. 14 C. 13 D. 12【答案】C【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB,且12OF OM FAAB==，即12c a c =-可得13c e a ==. 本题选择C 选项.4．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛⎝⎭ B. ⎫⎪⎪⎝⎭ C. ⎛ ⎝⎭ D. ⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】如图根据对称性，点D 在直线y=x 上，可得22221x x a b+=,即222222a b x c a b =>+.可得2222,0,10b ac c ac a e e >∴+-<∴+-<，解得0e << 本题选择A 选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F 、2F过2F 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）A. 22132x y +=B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y += 【答案】A【解析】1A FB ∆ 的周长为，1AF B ∆ 的周长1212224AF AF BF BF a a a =+++=+=， 4a a ∴=∴= 离心率为1,c c b a ∴====椭圆C 的方程为22132x y +=，故选A. 6．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B. 3 C. D. 【答案】D【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于M 点，连接2,,,OM PF M O 分别是212,P F F F 的中点， 1//MO PF ∴，且1222,PF MO b OM PF ==⊥，12122,2,PF PF F F c PF ∴⊥=∴=根据椭圆的定义， 122PF PF a +=，22,b a a b ∴+=∴-= 22222a ab b c b -+=-，222c a b =-代入并化简得23a b =， 2,33b ac ∴===，c e a ∴==D. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②找出,a c 之间的关系，构造,a c 的齐次式求出离心率e ；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．设F 1，F 2分别是椭圆E ： 22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C. D. 【答案】D【解析】设|F 1B |=k （k ＞0），则|AF 1|=3k ，|AB |=4k ， ∴|AF 2|=2a -3k ，|BF 2|=2a -k ∵cos ∠AF 2B =35， 在△ABF 2中，由余弦定理得，|AB |2=|AF 2|2+|BF 2|2-2|AF 2|•|BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴（4k ）2=（2a -3k ）2+（2a -k ）2-65（2a -3k ）（2a -k ）， 化简可得（a +k ）（a -3k ）=0，而a +k ＞0，故a =3k ， ∴|AF 2|=|AF 1|=3k ，|BF 2|=5k ， ∴|BF 2|2=|AF 2|2+|AB |2， ∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形，∴c =2a ，∴椭圆的离心率e =c a =， 故选：D ．点睛：（1）解答圆锥曲线的问题时，若条件中出现了曲线上的点与焦点的连线，则一般应考虑用曲线的定义去解题，借助于定义可将问题转化，变得易于解决。

（2）在本题中利用三角形的余弦定理建立边的方程，用到了平面几何的知识，进而得到三角形△AF 1F 2是等腰直角三角形。

8．已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴，∴，∴∴。

由，∴，即椭圆离心率的取值范围为。

选B 。

点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求出a ，b ，c 的值，由直接求．(2)列出含有a ，b ，c 的方程(或不等式)，借助于消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．9．如图，已知椭圆2213216x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ）A. B. C. 4 D. 6 【答案】B【解析】()122MF MB a MF MB +=--22BF a ≥-→ =-=当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值故答案选B10．已知点()11,P x y 是椭圆2212516x y +=上的一点， 1F ， 2F 是焦点，若12F PF ∠取最大时，则12PF F ∆的面积是（ ）A.B. 12C. (162+D. (162- 【答案】B【解析】∵椭圆方程为2212516x y +=5,43a b c ∴====，， 因此，椭圆的焦点坐标为123030F F -（，）、（，） ． 根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时， 12F PF ∠取最大值，则此时12PF F ∆的面积1234122S =⨯⨯⨯= 故选B11．设,A B 是椭圆22:14x y C k +=长轴的两个端点，若C 上存在点P 满足120APB ∠= ，则k 的取值范围是（ ）A. ][40,12,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. ][20,6,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ][20,12,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭ D. ][40,6,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①0＜k ＜4时，C 上存在点P 满足∠APB=120°， 假设M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足 ∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°， tan ∠≥tan60°， 解得：0＜k≤43． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，k ＞4， 同理可得：k ≥12， ∴m 的取值范围是（0，43]∪[12，+∞） 故选：A ．点睛：这个题目并没有说明椭圆的焦点位置，因此分两种情况，且在这些三角形中，当p 点在上顶点M 时，角最大，因此：0＜k ＜4时，C 上存在点P 满足∠APB=120°，即∠AMB ≥120°，即∠AMO ≥60°，在直角三角形中tan ∠tan60°，解得k ，同理k ＞4时也可以这样做．12．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，且，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可设,结合条件，故选13．已知点()3,2在椭圆22221x y a b+=上，则( )A. 点()3,2--不在椭圆上B. 点()3,2-不在椭圆上C. 点()3,2-在椭圆上D. 无法判断点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-是否在椭圆上 【答案】C【解析】根据椭圆对称性知点()3,2--， ()3,2-， ()3,2-皆在椭圆上,所以选C.第II 卷未命名二、填空题14．焦点在y 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 的值为__________． 【答案】32【解析】 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以02m <<，所以a b c ==12c a ==，解得32m =.15．若椭圆()22:101x y C m m m +=>+m =__________． 【答案】2【解析】因为椭圆()22:101x y C m m m+=>+的离心率为，所以23m =⇒= ，故答案为2 . 16．椭圆C . 22221x y a b+=左、右焦点分别为F 1,F 2,若椭圆C 上存在点P ,使得PF 1=2e PF 2(e为椭圆的离心率,则椭圆C 的离心率的取值范围为_________【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】椭圆C上存在点P ,使得 PF 1=2e2PF ，又[]21222222,212a a PF PF a PF PF a c a c e c a+=∴==∈-+++222012{ 332442a e a cc aa e e a c c a <<≥-+∴∴∴≤≤≤++或 e ∈⎫⎪⎪⎣⎭故答案为⎫⎪⎪⎣⎭点睛：本题考查了椭圆的定义及焦半径的范围，利用[]2,PF a c a c ∈-+解不等式组即得解.17．已知方程221x y m+=表示的曲线是焦点在x 轴上且离心率为12的椭圆，则m =_____【答案】43【解析】焦点在x 轴上的椭圆方程221x y m+=的离心率为12，则11a b c ===，12= ，解得43m =． 故答案为43． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】设右焦点F （c ，0），将直线方程 代入椭圆方程可得 ，可得由可得，即有化简为 ，由，即有，由故答案为 ．19．椭圆221mx y +=的离心率是2，则它的长轴长是__________． 【答案】2或4【解析】把椭圆221mx y +=的方程转化为：221x y m+= 分两种情况11m >，椭圆的离心率是2，则 11314m m-=，解得1m 4=，进一步得长轴长为4 11m <2 故答案为2或420．已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则的面积为__________． 【答案】【解析】由椭圆方程可知，，点在椭圆上，为椭圆的左右焦点，，在中，，，又在中，，故答案为.21．已知椭圆22142x y+=的两个焦点是1F，2F，点P在该椭圆上，若122PF PF-=，则12PF F的面积是__________．【解析】22121,4,242x YPF PF c+=∴+==122,PF PF-=可得1231PF PF==，(222119PF F+=∴，是直角三角形12PF F的面积22111122PF F F⨯=⨯⨯=三、解答题22．已知椭圆C的中心在原点,一个焦点()1,0F-,且长轴长与短轴长的比是(1)求椭圆C的方程;(2)设点1,03M⎛⎫⎪⎝⎭,点是椭圆上任意一点，求MP的最小值。