中考数学冲刺专题9 动态几何问题 人教新课标版

中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题一、单选题1．（2020·江阴模拟）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．6B．3C．2D．1.52．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）C．365D．6 A．√73B．18√553．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝34x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）A．4.8B．5C．5.4D．64．（2020·宜兴模拟）如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）A．2﹣√3B．2 √3﹣3C．12D．√3−125．（2020·南通模拟）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）A．6B．7C．8D．96．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边AB，AD上的动点，AE=DF，连接DE，CF交于点P，过点P作PK//BC，且PK=2，若∠CBK的度数最大时，则BK长为（）A．6B．2√5C．2√10D．4√27．（2020·镇江模拟）如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4 √3，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP⌢的长为（）A．12πB．πC．32πD．3π8．（2020·泰兴模拟）如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（）A．12B．13C．14D．159．（2020·如皋模拟）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于()A．2B．3C．4D．510．（2019·丹阳模拟）如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC=5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值（）A．2B．4C．5D．611．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）A．√3B．√6C．2 √2D．2 √3 12．（2020·张家港模拟）如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线x=−5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ΔABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．4√217C．4√213D．71713．（2020·苏州模拟）如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（）A．1B．√2C．√3D．√514．（2020·无锡模拟）如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将的最小值为（）ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF，则DF+12FCA．52B．83C．94D．125二、填空题15．（2020·苏州模拟）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.16．（2020·扬州模拟）已知点A、B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA=120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是.17．（2020·昆山模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是18．（2020·南京模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝√3，点F 是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为.19．（2020·徐州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8，点E在AD边上，且AE:ED=1:3，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF⊥PE，交射线BC于点F，设M是线段EF 的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.20．（2020·苏州模拟）如图，折线AB−BC中，AB=3，BC=5，将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转，得到折线AD−DE，点B的对应点落在线段BC上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接CE，若CE⊥BC，则tan∠EDC=°.21．（2020·扬州模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（1，√3），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22．（2020·镇江模拟）如图，在RtΔABC中, ∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.23．（2020·宜兴模拟）如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O 上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.24．（2020·太仓模拟）如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.25．（2020·惠山模拟）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.26．（2020·淮安模拟）如图，正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角△EFG，连接CG，则CG的最小值为.27．（2020·江阴模拟）如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE= √3，则OF的最小值为.28．（2020·灌南模拟）如图，在ΔABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是.29．（2019·崇川模拟）如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.三、综合题30．（2021·泰州模拟）如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，sinB ＝45，点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发，沿着B→C→D→A 的方向运动到点A 时停止，设点P 运动的时间为ts.（1）连接AC ，判断△ABC 是否是直角三角形，试说明理由；（2）在点P 运动的过程中，若以点C 为圆心、PC 长为半径的⊙C 与AD 边相切，求t 的值；（3）在点P 出发的同时，点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发，沿着C→D→A 的方向运动，当P 、Q 中的一点到达终点A 时，另一点也停止运动.求当BP ⊥CQ 时t 的值.31．（2021·扬州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是AD 边上的动点，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A′处，连接A′C 、BD.（1）如图1，求证：∠DE A′＝2∠ABE ；（2）如图2，若点A′恰好落在BD 上，求tan ∠ABE 的值；（3）若AE ＝2，求S △A′CB .（4）点E 在AD 边上运动的过程中，∠A′ CB 的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE 的长；若不存在，请说明理由.32．（2020·无锡模拟）在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD 和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.（1）如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF=；（2）继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；（3）在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33．（2020·常州模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90∘,BC=6,AC=8.点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC.（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点B作BD⊥AE,垂足为D.将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径.34．（2020·无锡模拟）如图1，已知：在矩形ABCD中，AB =3√3cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以√3cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G．若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G 能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．（1）求a的值；（2）在运动过程中，①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．35．（2020·无锡模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm 的速度移动.设移动的时间为t秒.（1）若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？（2）若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= √2OC；②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由. 36．（2020·南通模拟）（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= 12BC．（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= 12（AD+BC）②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 √3，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．37．（2020·南京模拟）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC 的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.（1）（操作感知）根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；（2）（初步探究）求证：CD2+CE2＝4r2；（3）当r＝8时，则CD2+CE2+FG2的最大值为；（4）（深入研究）直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD2+CE2+FG2都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38．（操作体验）如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1,P2；所以图中P1,P2即为所求的点.（1）在图②中，连接P1A,P1B，说明∠AP1B=30°（方法迁移）（1）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.（2）已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m 的取值范围为.（3）已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.39．（1）如图1，点A在⊙O上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC，使得点B、C 都在⊙O上.（2）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=m.①如图2，当m=4时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF，使得点E在边BC上，点F在边CD上；②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF，请直接写出m的取值范围. 40．（2020·建邺模拟）（概念认识）若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.（1）（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.（2）如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.（3）（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

．
点 的坐标
为 ．……
一次函数的解读式
为 ．
(3) 两点在直线 上， 的坐标分别是 ．
， ．
过点 作 ，垂足为点 ．
，
又 ， 点坐标为 ．
3．(1)解方程 ，得 ．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由 得 故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形 中， = ， 与 相交于点 ， 分别是 的中点，联结 ，分别交 、 于点 ，试判断 的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形 中，若 ， 分别是 的中点，联结FE并延长，分别与 的延长线交于点 ，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

专题09 几何动态与函数图象问题题型解读｜模型构建｜通关试练学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；②结合几何图形中的动点问题判断函数图象；③分析函数图象判断结论正误；④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型．模型01 动点问题动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题.在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题.模型02 线动问题线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.模型03 函数图象判断函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．模型01 动点问题考｜向｜预｜测动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键.这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南南阳·一模）如图1，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．13例2．（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，设圆的半径为R ，∴两个机器人最初的距离是2AM CN R ++，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A ，C ，∴两个机器人之间的距离y 越来越小，故排除A ，C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R ，保持不变，当机器人分别沿C N →和A M →移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C ，故选：D ．模型02 线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（ ）AB ．CD ．当5x =时，5AP =，BP ∵30B ∠=︒，∴tan 303PQ BP =⨯︒=例2．（2023•海南）如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x =，ADE S y = ，则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．∵Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB ∴2225AC AB BC =-=，∴1tan CB A ==，∵5EB AB AE x =-=-，tan B ∴()225DE EB x ==-∴()225210y x x x x =-=-+,模型03 函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧例1．（2024·山东聊城·一模）如图，在矩形ABCD 中，6cm AD =，3cm AB =，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，4cm AE =，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A．B．C．D．∵AD BC∥，∴AEB PBF∠=∠，∴sin sin ABPBF AEBBE ∠=∠=综上所述，C 正确．故选：C ．例2．（2023•吉林）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．1．（2023•湖北）如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为( )．A B ．C D所以此时AP =()211+∵∠A =∠A ，∠APC =∠ACB 2．（2023•山东）如图（1），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（ ）A ．2B ．52C D∴122AC DE ⋅=，即∵CD 是中线，∠∴AD CD =，∴D 为AC 中点，∴DE 是ABC 的中位线，3．（2023•广西）如图1，点F 从四条边都相等的ABCD 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（ ）A B ．2C ．52D ．∵ABCD 的四条边都相等，∴AB BC CD ===由图象可知，点F+=．已知y与4．（2023•江苏）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，设DN x=，AN MN yx之间的函数图象如图②所示，点(,E a是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）A．2B．C．4D．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于BD对称，=，∴NA NC∴AN MN NC MN+=+，故选：C ．5．（2023•贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C 在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =6．（2023•北京）如图，ABC 中，90C ∠=︒，15AC =，20BC =．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的-的值为（）对应关系如图所示，则a bA．54B．52C．50D．48故选：B ．7．（2023•上海）如图，ABC 中，ACB 90∠= ，A 30∠= ，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．8．（2023•广西）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B，C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处；作∠BPC1的平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图象大致应为（ ）A．B．C．D．【答案】C【详解】由翻折的性质得，∠CPD=∠C′PD，∵PE平分∠BPC1，∴∠BPE=∠C1PE，∴∠BPE+∠CPD=90°，∵∠C=90°，∴∠CPD+∠PDC=90°，9．（2023•内蒙古）如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ，设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，如图2所示为点P 运动时y 随x 变化的函数关系图象，则等边三角形ABC 的边长是（ ）A ．B ．4C ．6D ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴2PB PC AO ==，，又∵ABC 为等边三角形，10．（2023•杭州）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PByPC=，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A．6B．3C．D．【答案】A【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，∴PB PC =，23AO =，又∵ABC 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，1．（2024·河南·一模）如图1，在ABC 中，CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ． 现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ． 设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为． ()cm²y ，，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm2．（2024·河南安阳·一模）如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点 P 为BC 的中点时，AP 的长为（ ）A B ．C D ．53．（2024·四川广元·二模）如图，在梯形 ABCD 中，90B ∠=︒，4AB =，3CD =，AD =，点 P ，E 分别为对角线AC 和边 BC 上的动点，连接 .PE 点 P 在 CA 上以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 运动到点A ，在这个过程中始终保持 .PE BC ⊥设 CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．则四边形ABCD 是矩形，∵3,4CD AB ==∴4CF AB ==，1FD =，4．（2024·河南信阳·一模）如图1，已知ABCD 的边长AB 为30B ∠=︒，AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．5．（2023·广西）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，AB =，CD AB ⊥，垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．AD=，AC与BD交于点O，M是BC的中6．（2023·辽宁）如图，矩形ABCD中，8cmAB=，12cm→→方向分别从点B、点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点Q到达点．P、Q两点沿着B C D△的面积随时间t变化的图象最接近的D点时，两点同时停止运动．在P、Q两点运动的过程中，与OPQ是（）A．B．C．D．7．（2024·山东淄博·一模）如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15【答案】C 【详解】解：由图得，当点P 运动到点C 和店A 处时，BP 长都是5，即5BC BA ==，当BP 最短时，即BP 垂直AC 时长为4，如图，在Rt BCP △中，5BC = ，4BP =，22PC BC BP ∴=-BC BA = ，BP AC ⊥8．（2023·山东）如图，在 Rt ABC △中，10AB =cm ，3sin 5A =，90ACB ∠=︒，过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2024·山东聊城·一模）如图，在ABC 中，10AB =，6BC =，8AC =，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为 ．∵10AB =， 6BC =，8AC =，∴223664100BC AC +=+=，AB ∵ 222BC AC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∵90ACB ∠=︒，CP AB ⊥，∴90APC ACB ∠=∠=︒，又∵A A ∠=∠，11．如图①，在菱形ABCD中，120∠=︒，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC的长D度为x，PE与P B的长度之和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H的坐标为．∵0x=即点P与点C重合时，∴6+=，BC CE12．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示-=．线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则m n13．如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2BC AB =，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是 ．sin 60PM BP ∴=⋅︒=12BPQ S BQ PM ∴=⋅= AB CD ∴∥，14．（2024·福建福州一模）如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为 ．15．（2023·江苏连云港·二模）如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD 的中点，连接PE ,P Q ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图②），已知4ON =，1NH =，点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为 ；AB AD 的值为 ；(2)如果15OM =．①求线段NF 所在直线的函数表达式；②求FG 所在曲线的函数表达式；③是否存在某个时刻t ，使得154S ≥若存在，请说明理由．③存在，理由：设直线MN 的表达式为，S 把()0,15M ，()4,0N 代入，得，4015m n n +=⎧⎨=⎩，15m ⎧=-⎪。