13.4.2 复数的乘法与除法(含答案)

( 2 + 2i ) (4 + 5i ) 例2.计算 . (5 − 4i )(1 − i )
3
− 4 2i
计算(4-i 例3.计算 5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i). 47-39i 计算 已知i 例4.(1)已知 3m-in=0,求im+n (m,n∈N*); 已知 求 ∈ (2)求i29+ i30+ i31+…+ i250的值 求 的值. 1
-1+i
1 3 5 ω 例 .设 = − + i, 求 : 证 2 2 2 3 (1)1+ω +ω = 0; (2)ω =1.
1 3 6 练习 .计算( − 1 i) . 2 2 4 (2 + 2i ) 练习2.计算 . 5 (1 − 3i )
练习3. 年高考题) 练习 (2003年高考题 年高考题
1 2 m
例3.已知a ∈ R, 复数z = 2 若 z = , 求复数z. 3
(1 + i ) (a − i )
3
2
2 (a − 3i )
2
,
−1− 3 + (1+ 3)i 当 = 3 ,z = a 时 ; 3 2 1− 3 −(1+ 3)i 当 =− 3 ,z = a 时 . −2 3
复数的乘法与除法
设z1=a+bi, z2=c+di,则 则 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac – bd)+(bc+ad)i
两个复数的积仍然是复数. 两个复数的积仍然是复数 复数的乘法满足交换律,结合律以及分配律 结合律以及分配律,即 复数的乘法满足交换律 结合律以及分配律 即 对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 有

复数考试题目大全及答案1. 复数的基本概念题目：什么是复数？答案：复数是指形式为a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的加减法题目：计算复数(3+2i)和(1-4i)的和。

答案：(3+2i) + (1-4i) = (3+1) + (2-4)i = 4-2i。

3. 复数的乘除法题目：计算复数(2+3i)和(1-i)的乘积。

答案：(2+3i)(1-i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i。

4. 复数的模题目：求复数4+3i的模。

答案：|4+3i| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5。

5. 复数的共轭题目：写出复数5-2i的共轭复数。

答案：5-2i的共轭复数是5+2i。

6. 复数的实部和虚部题目：复数a+bi的实部和虚部分别是多少？答案：实部是a，虚部是b。

7. 复数的指数形式题目：将复数3+4i转换为指数形式。

答案：3+4i可以表示为r(cosθ+isinθ)的形式，其中r=|3+4i|=5，θ=arctan(4/3)，所以3+4i=5(cos(arctan(4/3))+isin(arctan(4/3))。

8. 复数的代数形式和三角形式题目：将复数5(cos(π/4)+isin(π/4))转换为代数形式。

答案：5(cos(π/4)+isin(π/4)) = 5(√2/2 + i√2/2) =(5√2)/2 + (5√2)/2i。

9. 复数的除法题目：计算复数(3+4i)除以(1+i)的结果。

答案：(3+4i)/(1+i) = (3+4i)(1-i)/(1+i)(1-i) = (3+4i-3i-4i^2)/(1-i^2) = (3+i+4)/(1+1) = (7+i)/2 = 3.5 + 0.5i。

10. 复数的幂运算题目：计算复数(2+i)的平方。

2.2 复数的乘法与除法高手支招1细品教材一、复数的乘法1.复数乘法的运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.显然,两个复数的积仍然是一个复数.【示例1】计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).解:先将(-2-i)(3-2i)(-1+3i)前面两式相乘,得(-8+i)(-1+3i),再将所得积与最后一式相乘,得5-25i. 状元笔记复数的乘法与多项式的乘法是类似的,只是在运算过程中要把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并.【示例2】计算(a+bi)(a-bi).思路分析:利用复数乘法法则直接得出结果.解:(a+bi)(a-bi)=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.2.复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律:即对任何z1,z2,z3∈C,有:(1)交换律:z1·z2=z2·z1证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2+a1b2i+a2b1i+b1b2i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=a2a1+a2b1i+a1b2i+b2b1i2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,∴z1z2=z2z1.(2)结合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)证明:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,则(z1·z2)·z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(a1b2+a2b1)b3］+［(a1a2-b1b2)b3+(a1b2+a2b1)a3］i=（a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-（b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i;z1·(z2·z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2a3-b2b3)+(a3b2+a2b3)i］=［(a2a3-b2b3)a1-(a3b2+a2b3)b1］+［(a2a3-b2b3)b1+(a3b2+a2b3)a1］i=(a1a2a3-a1b2b3-a2b1b3-a3b1b2)-(b1b2b3-b1a2a3-b2a1a3-b3a1a2)i.(3)乘法对加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3证明:设z1=a1+b1i,z2=a2b2i,z3=a3+b3i，则z1·(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)iz1·z2+z1·z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(a1b2+a2b1+a1b3+a3b1)i3.负数的平方根由于(-i)2=i2=-1,这表明,i和-i是-1的两个平方根,或者说,方程x2+1=0有两个根i和-i,这样,负数就可以开平方了.4.共轭复数(1)我们把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作z,即z=a-bi.【示例】(2005北京春季高考,理1)i-2的共轭复数是( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i思路分析:本题考查复数及共轭复数的概念,应首先分清谁为虚部,谁为实部;其次,互为共轭的复数实部相等,虚部互为相反数.答案:D(2)当复数z=a+bi 的虚部b=0时,z=z =a,也就是说,实数的共轭复数仍是它本身.反过来也成立,即如果复数z 的共轭复数仍是它本身,那么z ∈R .(3)共轭复数的性质:①两个共轭复数z,z 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即z·z =|z|2=|z |2=a 2+b 2;②21z z +=z 1+z 2;③21z z ∙=21z z ∙;④（21z z ）=21z z （z 2≠0). 5.复数的乘方(1)复数的乘方是相同复数的积.根据复数乘法的运算律,实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对任何z 1，z 2，z 3∈C 及m,n ∈N *,有z m z n =z m+n ,(z m )n =z mn ,(z 1z 2)n =z 1n z 2n .【示例】 设ω=21-+23i,求证:(1)1+ω+ω2=0;(2)ω3=1. 思路分析:要证明1+ω+ω2=0和ω3=1,须先求出ω2,再由ω2ω求出ω3.证明：(1)因为ω2=（21-+23i)2=41-23i-43=21--23i, 所以,1+ω+ω2=1+（21-+23i ）+（21--23i ）=0. (2)ω3＝ω2ω=(21--23i)(21-+23i)=( 21-)2-(23i)2=41+43=1. (2)在计算复数的乘方时,要用到虚数单位i 的乘方,对于i 的正整数指数幂,易知:i 1=i,i 2=-1,i 3=i 2·i=-i,i 4=(i 2)2=1.一般地,如果n ∈N *,我们有i 4n =1,i 4n +1=i,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i.【示例】 复数z=1+i+i 2+i 3+…+i 2006的值为( )A.0B.1C.iD.1+i思路分析:本题初看起来是一个等比数列的求和,故按等比数列求和公式可解之;然而,本题除此法外,还有一种简捷解法,即利用i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0,将其中的连续的4倍数项去掉,然后化简.由于z=1+i+i 2+i 3+…+i 2 006共有2 007项,故将后面的2 004项去掉,余下前三项,即z=1+i+i 2+0=i.答案:C二、复数的除法1.复数除法的定义我们把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi(x,y ∈R )叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商,记作dic bi a ++或(a+bi)÷(c+di). 状元笔记复数除法运算是乘法运算的逆运算;复数集合对乘法、除法(除数不为零)运算封闭,即两复数乘、除运算的结果仍为复数.进行复数除法运算时,通常进行分母实数化,即先将两个复数相除写成分数形式,然后将分子与分母同时乘以分母的共轭复数,再把结果化简,这样可使运算简化.2.复数除法的运算一般地,我们有di c bi a ++=i d c ad bc d c bd ac d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a 222222)()())(())((+-+++=++++=-+-+. 由于c+di≠0,所以c 2+d 2≠0.可见,两个复数的商仍是一个复数.【示例】 计算ii 432--. 思路分析:将i i 432--的分子分母同时乘以分母的共轭复数3+4i,使分母有理化,进而化简. 解: i i 432--=i i i i i i i i 51522551025)43)(2()43)(43()43)(2(+=+=+-=+-+-. 高手支招2基础整理本节内容主要阐述了复数的四则运算中的乘法运算、除法运算,复数乘除法的几何意义.本节的知识结构如下:。

答] 怎样理解和应用复数代数形式的除法法则？
提示：(1)复数代数形式的除法是复数代数形式的乘法的逆 运算．
(2)复数除法的运算法则不必死记，在实际运算时，只需把 商ac＋＋dbii看作分数，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c－di，把 分母变为实数，化简后，就可以得到运算结果．
知识点二 实系数一元二次方程
解析：本题考查复数的乘法与除法． 31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝10＋1030i＝1＋3i. ∴复数31＋0ii对应的点的坐标为(1,3)．
3．复数 z 满足(z－i)(2－i)＝5，则 z＝( D )
A．－2－2i
B．－2＋2i
C．2－2i
D．2＋2i
解析：由题意可得，z－i＝2－5 i＝2－52i＋2＋i i＝2＋i， 所以 z＝2＋2i.
于是 ω－u2＝2(x＋1)＋1＋2 x－3≥2 2x＋1·1＋2 x－3＝1. 当且仅当 2(x＋1)＝1＋2 x，即 x＝0 时等号成立． ∴ω－u2 的最小值为 1，此时 z＝±i.
该题涉及复数的基本概念和四则运算以及均值不等式等知识. 只要概念清楚，运算熟练，按常规思路顺其自然不难求解.注意： 解决后面的问题时，可以使用前面已经得到的结论.
[变式训练 3] 设 z2＝8＋6i，求 z3－16z－10z0.
解：z3－16z－10z0＝z4－16zz2－100＝z2－8z2－164
＝6i2－z 164＝－20z0＝－z2·0z0
z
200 z ＝－ |z|2
.
∵|z|2＝|z2|＝|8＋6i|＝10，
又由 z2＝8＋6i，得 z＝±(3＋i)，∴ z ＝±(3－i)，
类型三 复数运算的综合应用
[例 3] 设 z 是虚数，ω＝z＋1z是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 u＝11－ ＋zz，求证：u 为纯虚数； (3)求 ω－u2 的最小值． [分析] (1)ω 是实数可得到哪些结论？(ω 的虚部为 0 或 ω＝ ω )(2)u 为纯虚数可得到哪些结论？(u 的实部为 0 且虚部不为 0， 或 u＝－ u )