高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法练习北师大版选修1-2

2.2　复数的乘法与除法明目标、知重点　1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用表示．即z ＝a ＋b i ，则＝a －b i.z z 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则＝＝＋i.z 1z 2a ＋b i c ＋d i ac ＋bd c 2＋d 2bc －ad c 2＋d 2[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一　复数乘除法的运算思考1　怎样进行复数的乘法？答　两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．思考2　复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1.例 1　计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解　(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟　复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练1　计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解　(1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.思考3　如何理解复数的除法运算法则？答　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．例 2　计算：(1)＋；4－3i 4＋3i 4＋3i 4－3i (2)()6＋.1＋i 1－i 2＋3i 3－2i 解　(1)原式＝＋＝＋＝＋＝(4－3i )2(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )2(4－3i )(4＋3i )16－9－24i42＋3216－9＋24i42＋327－24i257＋24i25；1425(2)方法一　原式＝[]6＋(1＋i )22(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋＝－1＋i.6＋2i ＋3i －65方法二　(技巧解法)原式＝[]6＋＝i 6＋＝－1＋i.(1＋i )22(2＋3i )i(3－2i )i (2＋3i )i2＋3i 反思与感悟　复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2　计算：(1)；(2).7＋i 3＋4i (－1＋i )(2＋i )－i解　(1)＝＝＝1－i.7＋i3＋4i (7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )25－25i25(2)＝＝＝－1－3i.(－1＋i )(2＋i )－i－3＋i －i (－3＋i )·i －i·i探究点二　共轭复数及其应用思考1　像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答　一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．z 思考2　复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答　复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2 ，所以两个共轭复数之积为实数．思考3　共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答　(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．z (3)若z ≠0且z ＋＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．z 思考4　z ·与|z |2和||2有什么关系？z z 答　z ·＝|z |2＝||2.z z 例 3　已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数.z 解　设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i 且|z |＝＝1，即a 2＋b 2＝1.①z a 2＋b 2因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得Error!或Error!所以＝－i ，或＝－＋i.z 4535z 4535反思与感悟　本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪训练3　已知复数z 满足：z ·＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．z 解　设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·＝a 2＋b 2，z ∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴Error!，解得Error!，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－i B ．i C ．－1 D ．1答案　A解析　z ＝＝－i.1i 2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案　C解析　由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝＝－4i.4i 3．复数等于( )i －21＋2i A ．i B ．－iC ．－－iD ．－＋i 45354535答案　A4．复数z ＝(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2－i2＋i A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限答案　D解析　因为z ＝＝＝，故复数z 对应的点在第四象限，选D.2－i2＋i (2－i )253－4i 5[呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、基础过关1．复数－i ＋等于( )1i A ．－2i B.i 12C ．0 D ．2i 答案　A解析　－i ＋＝－i －＝－2i ，选A.1i i2i 2．i 为虚数单位，＋＋＋等于( )1i 1i31i51i7A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 答案　A解析　＝－i ，＝i ，＝－i ，＝i ，1i 1i31i51i7∴＋＋＋＝0.1i 1i31i51i73．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案　D解析　∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴Error!.4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )i1＋i 3A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限答案　B解析　＋(1＋i)2＝＋i ＋(－2＋2i)i1＋i 312123＝－＋(2＋)i ，32312对应点(－，2＋)在第二象限．323125．设复数z 的共轭复数是，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·是实数，则实数z z 2t ＝________.答案　34解析　∵z 2＝t ＋i ，∴＝t －i.z 2z 1·＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，z 2又∵z 1·∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝.z 2346．若z ＝，则复数＝________.1＋2i iz 答案　2＋i解析　z ＝＝2－i ，∴＝2＋i.1＋2i iz 7．计算：(1)＋()2 010；2＋2i (1－i )221＋i (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解　(1)＋()2 010＝＋() 1 0052＋2i (1－i )221＋i 2＋2i －2i 22i ＝i(1＋i)＋()1 005＝－1＋i ＋(－i)1 0051i ＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.二、能力提升8．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z 等于( )A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 答案　A解析　由已知得z ＝＝＝－1＋i.2i1－i 2i (1＋i )(1－i )(1＋i )9.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )z A ．2＋i B ．2－iC ．5＋iD ．5－i 答案　D解析　由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝＝2＋i ，52－i ∴z ＝5＋i ，∴＝5－i.z 10．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案　1解析　由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－1＝2＋3i －1＝1＋3i.－3＋2ii11．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及.zz 解　因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝＝＝2－i ，故＝2＋i.4＋3i 1＋2i (4＋3i )(1－2i )5z 所以＝＝＝＝－i.z z 2－i 2＋i (2－i )253－4i 5354512.已知复数z 的共轭复数为，且z ·－3i z ＝，求z .z z 101－3i 解　z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i.z 又z ·－3i z ＝，z 101－3i ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝，10(1＋3i )10∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴Error!∴Error!或Error!.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.三、探究与拓展13.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解　(1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴Error!，得Error!.∴b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．。

2021年高中数学第4章数系的扩充与复数的引入（二）同步练习北师大版选修1-2说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1、设则复数为实数的充要条件是（）A、 B、C、D、2、复数等于（）A、 B、 C、 D、3、若复数满足方程，则的值为（）A、 B、 C、 D、4、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b ＝d;运算“”为：，运算“”为：，设，若则（）A、 B、 C、 D、5、适合方程的复数是（）A、 B、 C、 D、6、＝ ( )A、32i B、－32i C、 D、－7、是虚数单位，（）A、 B、C、D、8、如果复数是实数，则实数（）A、 B、 C、 D、9、已知复数z满足 (＋3i）z＝3i，则z＝（）A、 B、 C、 D、10、在复平面内，复数对应的点位于 ( )A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、已知__________12、在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是。

13、设、为实数，且，则+=__________.14、非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①②③④⑤其中关于运算为“融洽集”_______________;（写出所有“融洽集”的序号）三、解答题(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15、(本小题满分9分)已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.16、(本小题满分9分)计算17、(本小题满分9分) 在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为 1+2i，3－5i．求另外两个顶点C，D对应的复数．18、(本小题满分13分)设是虚数，是实数，且.（1）求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证是纯虚数；参考答案第Ⅰ卷(选择题共40分)1-10 DADBA AABDD第Ⅱ卷(非选择题 共60分)11、12、直线13、414、①③15、[解法一] i 2i 21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ，……4分 .……8分 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.，所求的一个一元二次方程可以是. ……10分[解法二] 设，得， ……4分以下解法同[解法一].16、解：====17、解：设,则因为ABCD是一个正方形，所以并且从而：解得或所以或同理：或.18、解：（1）设,则=因为为实数，所以从而进而.由以上还可以得知：又由条件可得（2）])1][()1[(])1][()1[()1()1()(1)(111bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a z z u -+++-+--=++--=+++-=+-= =由第（1）题结论，可知的实部为0，显然的虚部不为0。

一、选择题1．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-33．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π4．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 5．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．2 D6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知i 是虚数单位，复数212i z i +=-，则复数z =（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i 8．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i 10．复数1323i i+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -11．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．1 12．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若2a i z+为纯虚数，求实数a 的值． 22．已知复数1z i =-. （1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 23．已知z 是复数，且z i +，2z 1+i 均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i a +=a 的值.24．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=.（1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模. 26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.2．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．6．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果. 详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i i z i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.8．B解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数. 10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323i i+的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．15．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-. ∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为ba bi -18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）34z i =+；（2）83a =-. 【分析】 (1) 设(),z x yi x y R =+∈，可得2040x y -=-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩，从而可得结果.【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++23i x yi i =-++()240x y i -+-=2040x y -=∴-=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩34z i ∴=+ （2）由（1）知()()()()23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i++-=又2a i z+为纯虚数， 380640a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83a ∴=- 【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.22．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩ 【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.23．（1）1z i ，=--（2）3a =或1a =-【解析】试题分析:（1）设R z x yi x y =+∈，、,根据复数为实数条件列方程组100y y x +=⎧⎨-=⎩,解得1x y ==-（2）根据复数模的定义得方程()()221+15a --=,解方程可得实数a 的值.试题解：（1）设R z x yi x y =+∈，、则()++1R z i x y i x y =+∈，、；()()221+1+x yi z x y y x i i i+==++- 2+1+z z i i，均为实数， 100y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 1x y ∴==- 1z i ∴=--，（2）由z i a +=得1i i a --+=()()221+15a ∴--= 3a ∴=或1a =-24．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ， 所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．25．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模.【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】 本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）132z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()11122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()1112z i i ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭得112z i i -==+，所以132z i =. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】 本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。

一、选择题1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 2．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-3 4．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 5．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==；②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 8．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A ．1BC ．2D ．9．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 10．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1B C D 11．已知a 是实数，1a i i+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．112．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x 的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．14．已知纯虚数z 满足122z i z +=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 15．已知复数1i z i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________. 16．已知i 是虚数单位，则复数11i i +-的实部为______. 17．已知方程的两个虚根为、，且，则实数______． 18．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 19．已知复数242(1)i z i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．20．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．三、解答题21．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围； （3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 22．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.23．已知2z i =+，a ，b 为实数.（1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bz i z+=--，求实数a ，b 的值. 24．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围. 25．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）.（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 26．已知复数212z t t ti =-++，()22z xy x y i =+-，其中t ，x ，y R ∈，且12z z =.（1）求点()P x y ，的轨迹方程；（2）若3m x y =+，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 3．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义． 4．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.6．D解析：D【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论.详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限.故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.7．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求 解析：4【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+- ()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =，0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．【解析】设整理得解析：z i =-【解析】 设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩15．1【解析】由题意可得：则复数的实部为1解析：1【解析】由题意可得：()11i i z i i -+==- ，则复数z 的实部为1.16．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi17．5【分析】根据题意得出Δ<0然后求出方程x2-2x+p=0的两个虚根再利用复数的求模公式结合等式α-β=4可求出实数p 的值【详解】由题意可知Δ=4-4p<0得p>1解方程x2-2x+p=0即x-12解析：【分析】根据题意得出，然后求出方程的两个虚根，再利用复数的求模公式结合等式可求出实数的值. 【详解】由题意可知，，得. 解方程，即，解得，. 所以，，解得. 故答案为.【点睛】 本题考查实系数方程虚根的求解，同时也考查了复数模长公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。

第四章 §1 第1课时一、选择题1．复数(1＋3)i 的虚部是( )A ．1B ．3C ．0D ．1＋ 3 [答案] D[解析] 不要受a ＋b i 形式的影响，该复数中a ＝0，b ＝1＋ 3.2．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝CB ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C [答案] D[解析] ∁S A ＝{虚数}，∁S B 包括实数和除去纯虚数以外的虚数．3．(2014·白鹭洲中学期中)复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 [答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D. 4．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( )A ．x ＝0且y ＝3B ．x ＝0且y ＝－3C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[答案] A [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0－3＝8x －y， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A. 5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝b ＝0时复数为0是实数，故B 不正确．由(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ≠0a －b ＝0，解得a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a ＝b 是该复数为纯虚数的必要而不充分条件．6．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] D[解析] 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，①错误；在③中，若x ＝－1，(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，故③错误；两个虚数不能比较大小，故②错误，④正确．二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝________，y ＝________[答案] x ＝14，y ＝1 [解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.. 8．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．[答案] －1[解析] 可以A ∩B ＝{3}来寻找解题突破口，按题意a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 9．若复数z ＝(m 2－5m ＋6)＋(m －3)i 是实数，则实数m ＝________.[答案] 3[解析] 由题意，得m －3＝0，∴m ＝3.三、解答题10．复数z ＝m 2－2m －3＋(m 2＋2m －8)i(m ∈R )，当m 为何值时，z 为：(1)实数、(2)虚数、(3)纯虚数．[答案] (1)－4 (2)m <－4或－4<m ≤－1或m ≥3 (3)－1或3[解析] (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≥0m 2＋2m －8＝0，∴m ＝－4.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≥0m 2＋2m －8≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥3或m ≤－1m ≠2且m ≠－4，∴m ≥3或m ≤－1且m ≠－4. 故当m ≥3或m ≤－1且m ≠－4时，z 为虚数．(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2＋2m －8≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或3，m ≠2且m ≠－4，∴m ＝－1或3.一、选择题11．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(0∈R )，z 1＝z 2，则θ等于() A ．k π(k ∈Z ) B ．2k π＋πk (k ∈Z )C ．2k π±πk (k ∈Z ) D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 12．以2i －5的实部为虚部，以5i ＋2i 2的虚部为实部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5－5i [答案] D[解析] 2i －5的实部为－5，5i ＋2i 2＝5i －2＝－2＋5i 的虚部为5，所以新复数为5－5i.13．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2 [答案] C[解析] 解法一：(验证排除)a ＝－1时，复数为i ，是纯虚数，∴a ≠－1，排除A ，D ；a ＝2时，复数为实数0，∴a ＝2，排除B ，故选C.解法二：(直接法)若复数不是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0|a －1|－1＝0，或a 2－a －2≠0， 解得a ≠－1.二、填空题14．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________.[答案] 2k π＋π2(k ∈Z )． [解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝01＋sin θ≠0，所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )． 15．若复数cos2θ＋i(1－tan θ)(θ∈R )为纯虚数，则θ的值是________ .[答案] θ＝k π－π4(k ∈Z ) [解析] 由于复数cos2θ＋i(1－tan θ)(θ∈R )为纯虚数，故其实部为零，虚部不为零，即⎩⎪⎨⎪⎧ cos2θ＝01－tan θ≠0， 由cos2θ＝0可得cos 2θ－sin 2θ＝0，即tan 2θ＝1.∴tan θ＝±1，而1－tan θ≠0，∴tan θ＝－1.∴θ＝k π－π4(k ∈Z )． 三、解答题16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[答案] (1)6 (2)a <－1或－1<a <1或1<a <6或a >b (3)不存在[解析] (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6＝0a 2－1≠0，∴⎩⎨⎧a ＝－1或a ＝6a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0， ∴⎩⎨⎧a ≠－1且a ≠6a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6，∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．[答案] 3[解析] 由题意，得⎩⎨⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10， ∴⎩⎨⎧ m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．18．已知：复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，其中x ∈R .求证：复数z 不可能是纯虚数．[解析] 假设复数z 是纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(x 2－3x －3)＝0 ①log 2(x －3)≠0 ② 由①得x 2－3x －3＝1，解得x ＝－1或x ＝4. 当x ＝－1时，log 2(x －3)无意义； 当x ＝4时，log 2(x －3)＝0，这与log 2(x －3)≠0矛盾，故假设不成立，所以复数z 不可能是纯虚数．。

复数的加法与减法
明目标、知重点.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
．复数加法与减法的运算法则
()设＝＋，＝＋是任意两个复数，则＋＝(＋)＋(＋)，－＝(－)＋(－).
()对任意，，∈，有＋＝＋，
(＋)＋＝＋(＋)．
．复数加减法的几何意义
如图：设复数，对应向量分别为，，四边形为平行四边形，则与＋对应的向量是，与－对应的向量是.
[情境导学]
我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？
探究点一复数加减法的运算
思考我们规定复数的加法法则如下：设＝＋，＝＋是任意两个复数，那么(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋).那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？
答仍然是个复数，且是一个确定的复数；
思考当＝，＝时，与实数加法法则一致吗？
答一致．
思考复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
思考实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．
答满足，对任意的，，∈，有交换律：＋＝＋.
结合律：(＋)＋＝＋(＋)．
证明：设＝＋，＝＋，＋＝(＋)＋(＋)，＋＝(＋)＋(＋)，
显然，＋＝＋，同理可得(＋)＋＝＋(＋)．
思考类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．
答(＋)－(＋)＝(－)＋(－).
例计算：
()(＋)＋(－＋)＋(－－)＋(－)；
()＋(＋)＋(－＋)＋(－－)．。

数的概念的扩展
复数的有关概念
明目标、知重点.了解引入虚数单位的必要性，了解数集的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.理解复数的几何表示．
．复数的有关概念
()复数
①定义：形如＋的数叫作复数，其中，∈，叫作虚数单位．叫作复数的实部，叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母表示，即＝＋ (，∈)．
()复数集
①定义：复数的全体组叫作复数集．
②表示：通常用大写字母表示．
．复数的分类及包含关系
()复数(＋，，∈)
()集合表示：
．两个复数相等
＋＝＋当且仅当＝且＝.
．复数的几何意义
()复数＝＋(，∈)一一,对应,复平面内的点(，)；
()复数＝＋(，∈)一一平面向量＝(，)．
．复数的模
复数＝＋(，∈)对应的向量为，则的模叫作复数的模或绝对值，记作，且＝.
[情境导学]
为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如＝－这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程＝－在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一复数的概念
思考为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程＋＝在实数系中无根的问题呢？
答设想引入新数，使是方程＋＝的根，即·＝－，方程＋＝有解，同时得到一些新数．。

第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习（一)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答、共100分，考试时间90分钟、第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是( )A 、1B 、1-C 、1±D 、以上都不对2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ）A 、纯虚数B 、实数C 、虚数D 、无法确定4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是( ）A 、2B 、3C 、4D 、无数个5、3()m i R +∈,则实数m 的值为（ ）A 、3±、33± C 、3、32±6、若x C ∈,则方程||13x i x =+-的解是( )A 、1322i +B 、124,1x x ==-C 、43i -+D 、1322i - 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ）A 、3B 、7C 、9D 、58、已知2z =则501001z z ++的值为( ） A 、i B 、1 C 、2i + D 、39、已知11x x +=,则199619961x x+的值为( ) A 、1- B 、1 C 、i - D 、i10、已知复数ii Z +-=11，则4321Z Z Z Z ++++的值是:（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、34i +的平方根是 、 。

一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．复数(),z a bi a b R =+∈，()m z z b =+，n z z =⋅，2p z =，则（ ）A ．m 、n 、p 三数都不能比较大小B ．m 、n 、p 三数的大小关系不能确定C ．m n p ≤=D ．m n p ≥=3．已知i 是虚数单位，则21ii=-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i --4．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p5．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 6．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1B ．-1C ．12D ．12-7．已知复数1i z =-+，则22z z z+=+（ ） A ．1- B ．1 C ．i - D ．i 8．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．1C ．0或1D ．-1 9．设(2)34,i z i +=+ 则z =（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -10．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ）A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i --11．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝12．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 14．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 15．若复数z 满足22zii i=-+（i 为虚数单位），则复数z =__________. 16．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 17．关于x 的方程()210x px p R -+=∈的两个根12,x x ，若121x x -=，则实数p =__________．18．若复数z 满足11z -=，则z 的最大值为________．19．()()12i a i ++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =__________. 20．设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为_______． 三、解答题21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.22．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.23．已知复数()2113z i i =-++. （1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值. 24．解答下面两个问题：（Ⅰ）已知复数122z i =-+，其共轭复数为z ，求21()z z +；（Ⅱ）复数z 1＝2a ＋1＋（1＋a 2）i ，z 2＝1－a ＋（3－a ）i ，a ∈R ，若12z z +是实数，求a 的值．25．已知复数z 1=1+ai （其中a ＞0），且z 12为纯虚数． （Ⅰ）求复数z 1； （Ⅱ）若z 2=，求复数z 2的模|z 2|26．已知复数22(232)(32)z m m m m i =--+-+，（其中i 为虚数单位）. （1）当复数z 是纯虚数时，求实数m 的值；（2）若复数z 对应的点在直线y x =上，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，()()221212()444221620z z z z i i +-⋅=-+-=-B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+()()2222222222214z aba b aba b =-+=+=+，1z a bi =-，221z a b =+，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．C解析：C 【分析】根据复数的四则运算，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】z a bi =-，()2m a bi a bi b ab =++-=，22()()n a bi a bi a b =+-=+，22p a b =+222a b ab +，当且仅当a b =时，取等号m n p ∴≤=故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，涉及了基本不等式的应用，属于中档题.3．A解析：A 【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 4．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案． 【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z|=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．5．A解析：A 【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解． 【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．A解析：A 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11ii 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．A解析：A 【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i iz z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 8．B解析：B 【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.9．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法法则求z ，再根据共轭复数定义得.z 详解：因为()234,i z i +=+所以3410522,25i iz i z i i ++===+∴=-+ 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i iz i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11．D解析：D 【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.12．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi二、填空题13．【解析】设整理得 解析：z i =-【解析】设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩14．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.15．【解析】由题意得考点：复数的运算【解析】 由题意，得.考点：复数的运算.16．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值. 【详解】 设复数z x yi =+ 2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+ ∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.17．【解析】分析：根据所给的方程当判别式不小于0时和小于0时用求根公式表示出两个根的差根据差的绝对值的值做出字母p 的值详解：当即或由求根公式得得当即由求根公式得|得综上所述或故答案为点睛：本题考查一元二解析：【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p 的值．详解：当240p =-≥ ，即2p ≥或2p ≤- ，由求根公式得121x x -== ，得p =当240p =-＜ ，即22p ＜＜- ，由求根公式得|12|1x x -==，得p =综上所述，p =或p =．故答案为点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．18．2【解析】分析：首先根据题中的条件结合复数的几何意义可以明确复数对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆取最大值时就是圆上的点到原点的距离的最大值结合原的性质其为圆心到原点的距离加半径求得结果详解：依题解析：2 【解析】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数z 对应点的轨迹是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，z 取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合原的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果. 详解：依题意，设复数,(,)z x yi x R y R =+∈∈，因为11z -=，所以有22(1)1x y -+=，由复数的几何意义，可知z 对应的点的轨迹为以(1,0)为圆心，以1为半径的圆，因为z =所以z 的最大值为112+=，所以答案为2.点睛：该题考查的是有关复数z 的模的问题，利用复数的几何意义，结合题中的条件，最后将其转化为圆上的点到某个点的距离的最值问题，等于圆心到对应点的距离加半径，从而求得结果.19．【解析】的实部与虚部相等解得故答案为解析：3- 【解析】()()12i a i ++()212a a i =-++的实部与虚部相等，212a a ∴-=+，解得3a =-，故答案为3-.20．【解析】试题分析：由得：为实数而所以又所以的值为考点：复数概念 解析：3【解析】试题分析：由z z =得：3i 1i m z m +=+为实数，而2224311m m z i m m -=+++，所以2230,1m m-=+又0m >，所以m 的值为3考点：复数概念三、解答题21．（1）0a >；（2）1z i =-+ 【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=，由题意得解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z iz i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+22．（Ⅰ）2z i =--（Ⅱ）3a =【分析】（I ）设()0,0z c di c d =+<<,利用复数相等的概念求出复数z; （Ⅱ）先计算出2019111z z +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，再求a 的值.【详解】解；（Ⅰ）设()0,0z c di c d =+<<，则()2222234z c di c d cdi i =+=-+=+，223,24,c d cd ⎧-=∴⎨=⎩解得2,1c d =-⎧⎨=-⎩或2,1c d =⎧⎨=⎩（舍去）. 2z i ∴=--.（Ⅱ）2z i =-+，∴()211111112i z i i i z i i ++--+====+-+- ∴201920192016311z i i z ++⎛⎫== ⎪+⎝⎭()50450443431i i i ⨯+==⋅=-，∴2a i -==，∴a =【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.23．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解． 详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++，而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩．24．（Ⅰ）12+;（Ⅱ）a ＝1，或a ＝－2． 【解析】试题分析：(1)利用复数的运算法则可得：11z =，()212z =-+，则原式＝12+． (2)利用题意得到关于实数a 的方程，解方程可得a ＝1，或a ＝－2．试题（Ⅰ）因为1322z i =-+，所以221131312222i z ⎛⎫⎛⎫=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()2213132222z i i ⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以原式＝131312222i i -+=+． （Ⅱ）()()()22122111322z z a a i a a i a a a i +=++++---=+++- 因为12z z +是实数，所以a 2＋a －2＝0，解得a ＝1，或a ＝－2，故a ＝1，或a ＝－2．25．（Ⅰ）z 1=1+i （Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）利用复数的乘方以及复数的基本概念，虚部不为0实部为0，即可求复数z 1；（Ⅱ）化简121z z i=-为a+bi 的形式，即可直接求解复数z 2的模|z 2|． 试题（Ⅰ）， ∵为纯虚数∴1﹣a 2=0， 又∵a ＞0 ∴a=1∴z 1=1+i ．（Ⅱ）()()()()121i 1i Z 1i 2i Z i 1i 1i 1i 1i 2+⋅++=====---⋅+， ∴考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算26．（1）12m =-,（2）=2m ± 【分析】 （1）复数z 是纯虚数，其实部为0，虚部不为0，解方程与不等式组222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩即可求得答案；（2）依题意，可得2223232m m m m --=-+，解出即可求得实数m 的取值．【详解】（1）由题意有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩①②时，解①得12m =-或2m =，解②得 1 m ≠且2m ≠， 综合可得12m =-时，复数为纯虚数. （2）由题意复数z 对应的点在直线y x =上， 则有：2223232m m m m --=-+，解得：=2m ±，所以当=2m ±时，复数对应的点在y x =上.【点睛】本题考查复数的概念及几何意义，解题关键是根据复试的几何意义列出不等式及等式求解，属于中等题.。

学习资料2．2 复数的乘法与除法授课提示:对应学生用书第33页［自主梳理］一、复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数．1．定义：(a ＋b i)（c ＋d i)＝________.2．运算律交换律：z 1·z 2＝________.结合律：（z 1·z 2)·z 3＝________。

分配律：z 1(z 2＋z 3）＝________。

3．复数的乘方z m z n ＝________，（z m )n ＝________，（z 1z 2）n ＝________.二、共轭复数1．定义:当两个复数的实部________，虚部互为________时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用________表示，即若z ＝a ＋b i ，则错误!＝________.2．性质:z ·错误!＝________＝________。

三、复数的除法错误!＝________.[双基自测］1．（1－i ）2·i 等于（ )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．22．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i＝（ ) A ．1＋2i B ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i3．已知a 是实数，错误!是纯虚数,则a ＝（ ）A ．1B ．－1C 。

错误!D ．－错误!4．若复数z ＝错误!，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为（ )A ．1B ．－1C ．iD ．－i5．已知复数z 满足z (2－3i ）＝6＋4i ，则复数错误!＝________。

[自主梳理］一、1.(ac －bd ）＋(ad ＋bc ）i 2.z 2·z 1 z 1·（z 2·z 3） z 1z 2＋z 1z 3 3。

z m ＋n z mn z n ，1z 错误!二、1.相等 相反数 错误! a －b i 2。

|z ｜2 ｜错误!|2三、错误!＋错误!i[双基自测］1．D (1－i)2·i ＝－2i·i ＝－2i 2＝2.2．A 错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i 。

一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．3 B ．2 CD2．设复数z 满足()12z i i ⋅-=+，则z 的虚部是（ ）A ．32B ．32iC ．32-D ．32i - 3．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ）（1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆；（2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线；（3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线；（4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5]A ．4B ．1C ．2D ．34．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-35．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( )A ． 42i ＋B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+ 6．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 7．若复数1a i z i +=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．12 D ．12- 8．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线 9．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0或1D ．-1 10．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5 BCD ．1311．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17- 12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．17- B ．-1 C ．73- D ．-7二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．在复数范围内解方程23||()2i z z z i i-++=+（i 为虚数单位），z =________ 15．若复数2i 12ia -+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =_______． 16．关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =______.17．设m R ∈，若z 是关于x 的方程2210x mx m ++-=的一个虚根，则z 的取值范围是____.18．已知复数131i z i+=-（i 是虚数单位），则z ____________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．20．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________．三、解答题21．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x 、n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）证明：当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n OZ OZ ；（3）求数列{}n n x y ⋅的前100项之和.22．设,m n R ∈，关于x 的方程20x mx n ++=的两个根分别是α和β.（1）当1i α=+时，求β与,m n 的值；（2）当2,4m n ==时，求||||αβ+的值.23．已知复数2i α=-，i m β=-，m R ∈.（1）若2αβα+<，求实数m 的取值范围；（2）若αβ+是关于x 的方程2130()x nx n -+=∈R 的一个根，求实数m 与n 的值. 24．已知1z i =-.(1)若2z az b 1i,a,b R ++=+∈,求,a b .(2)设复数1(,)z x yi x y R =+∈满足11z z -=，试求复数1z 平面内对应的点(,)x y 到原点距离的最大值.25．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.26．已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零；（2）复数z 是纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11i z i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．C解析：C【分析】 化简得到1322z i =+，故1322z i =-，得到答案.【详解】()12z i i ⋅-=+，则()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+，故1322z i =-，虚部为32-. 故选：C.【点睛】 本题考查了复数的运算，共轭复数，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．B解析：B【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断.【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误.故选B.【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线. 4．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数.【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.6．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．A解析：A【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可.【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+， 所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 8．A解析：A【解析】【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 9．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.11．A解析：A【分析】 根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案.【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ= 所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan 4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案. 【详解】 34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=- 3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算得到最简形式设出要求的复数的结果把设出的结果代入等式根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程解方程即可详解：原方程化简为设z=x+yi （xy ∈R ）代入解析：-12±. 【解析】分析：首先对等式的右边进行复数的除法运算，得到最简形式，设出要求的复数的结果，把设出的结果代入等式，根据复数相等的充要条件写出关于x 的方程，解方程即可． 详解：原方程化简为()2||1z z z i i ++=-, 设z=x+yi （x 、y ∈R ），代入上述方程得x 2+y 2+2xi=1﹣i ，∴x 2+y 2=1且2x=﹣1，解得x=﹣12且∴原方程的解是z=﹣12±.故答案为﹣122±. 点睛：本题主要考查复数的除法和乘方运算，考查复数相等的充要条件，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分．15．4【解析】∵且复数是纯虚数∴即故答案为4解析：4【解析】 ∵()()()()()2124222i 22412i 1212145a i i a a i a a ai i i i ----+----===++-+，且复数212a i i-+是纯虚数 ∴405a -=，即4a = 故答案为416．13【分析】根据复数方程的性质可得也是方程的根结合韦达定理即可求解【详解】由题意方程有一个根为则是方程的另一个根由韦达定理可得又由所以故答案为13【点睛】本题主要考查了复数的性质以及一元二次方程的根 解析：13【分析】根据复数方程的性质，可得23i --也是方程的根，结合韦达定理，即可求解.【详解】由题意，方程240x x k ++=有一个根为123x i =-+，则223x i =--是方程的另一个根，由韦达定理，可得12x x k =，又由(23)(23)13i i ---+=，所以13k =.故答案为13.【点睛】本题主要考查了复数的性质，以及一元二次方程的根与系数的关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．【解析】【分析】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个虚根由方程有虚根可知判别式为负数据此可求出m 的范围再利用根与系数的关系可得从而求出结果【详解】设z=a+bi(ab ∈R)则也是此方程的一个解析：⎫∞⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m 的范围，再利用根与系数的关系可得||z =.【详解】设z =a +bi ，(a ,b ∈R )，则z a bi =-也是此方程的一个虚根，z 是关于x 的方程x 2+mx +m 2−1=0的一个虚根，可得()22410m m ∆=--<，即243m >，则由根与系数的关系，2221z z a b m ⋅=+=-，则||z =>，所以z 的取值范围是：⎫∞⎪⎪⎝⎭.故答案为⎫∞⎪⎪⎝⎭.【点睛】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.18．【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：【点睛】本题主要考查复数的运算法则复数的模的计算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力【分析】由题意结合复数的运算法则求解复数的模即可.【详解】由题意结合复数的求模公式和性质可得：131311i i z i i ++====++. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.20．1【解析】∵复数z 满足满足故z 的虚部是1解析：1【解析】∵复数z 满足满足()12i z -=，()()()2122211112i i z i i i i ++∴====+--+， 故z 的虚部是1. 三、解答题21．（1）217z i =-+，386z i =-+，4142z i =--（2）证明见解析（3）10012-【解析】【分析】（1）利用1(1)n n z i z +=+，134z i =+，即可得出；（2）由已知1(1)n n z i z +=+，得11(1)n n z i z -=+，当41n k =+时，1(1)(4)n k i -+=-，即可证明；（3）由44(1)4n n n z i z z +=+=-，可得44n n x x +=-，44n n y y +=-，4416n n n n x y x y ++=，即可得出．【详解】（1）2(1)(34)17z i i i =++=-+，386z i =-+，4142z i =--；（2）由已知1(1)n n z z +=+⋅i ，得11(1)n n z i z -=+⋅，当41n k =+时，14(1)(1)(4)n k k i i -+=+=-，令(4)k λ=-，则1n z z λ=⋅，即则存在非零实数(4)kλ=-（*k ∈N ），使得1n OZ OZ λ=.所以，当41n k =+（*k ∈N ）时，1//n O Z Z O ；（3）因为44(1)4n n n z i z z +=+=-，故44n n x x +=-，44n n y y +=-， 所以4416n n n n x y x y ++=，又1112x y =，227x y =-，3348x y =-，4428x y =，1122331001001122334455667788()()x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++++=+++++++979798989999100100()x y x y x y x y +++++25100116(1274828)12116-=--+⋅=--，所以数列{}n n x y 的前100项之和为10012-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）1i β=-，2m =-，2n =；（2）4【分析】（1）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数求解出β的值，再根据韦达定理求解出,m n 的值；（2）先通过∆<0判断出两个根为虚数根，然后求解出方程的两个根,αβ即可计算出||||αβ+的结果.【详解】（1）当1i α=+时，1i β=-，(11)2m m i i αβ+=-⇒=-++-=-，(1)(1)2n i i αβ==+-=.（2）依题意，2240x x ++=，其416120∆=-=-<得,1αβ=-， 所以||||4αβ+=.（或416120∆=-=-<，由4||||2αβαααβ==⇒==，所以||||4αβ+=）【点睛】（1）若()200++=≠ax bx c a 且240b ac ∆=-<，则方程有两个虚数根；x = （2）一元二次方程如果有两个虚根，那么这两个虚根互为共轭复数.23．（1）(6,2)-（2）1m =，6n =或5,6m n =-=-【解析】【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【详解】（1）αα==于是222i m i m i αβ+=-+-=+-=又2αβα+<<，解得：62m -<<.所以实数m 的取值范围为()6,2-.（2）由（1）知2i α=-，22m i αβ+=+-.因为22m i +-（m R ∈）是方程()2130x nx n R -+=∈的一个根， 22m i ++（m R ∈）也是此方程的一个根，于是()()()()2222222213m i m i n m i m i ⎧++++-=⎪⎨++⋅+-=⎪⎩解得16m n =⎧⎨=⎩或56m n =-⎧⎨=-⎩，且满足()24130,n ∆=--⨯< 所以1m =，6n =或5,6m n =-=-【点睛】本题考查了复数的运算以及方程的解的问题，以及复数模的计算，属于基础题．24．（1）34a b =-⎧⎨=⎩（21 【分析】（1）复数相等时，实部分别相等，虚部分别相等；（2）由11z z -=判断出1z 对应的轨迹，然后分析轨迹上的点到原点距离最大值.【详解】解：（1）21z az b i ++=+，21i a ai b i ∴-+-+=+，(2)1a b a i i ∴+-+=+1(2)1a b a +=⎧∴⎨-+=⎩， 34a b =-⎧∴⎨=⎩； (2)设1,(,)z x yi x y =+∈R ，|()(1)|1x yi i ∴+--=即|(1)(1)|1x y i -++=，22(1)(1)1x y ∴-++=即1z 在平面对应点的轨迹为以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆，max 11d ∴==【点睛】本题考查复数相等以及复数方程对应的轨迹问题，难度一般.以复数0z 对应的点为圆心，以r 为半径的圆的复数方程是：0z z r -=.25．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解．详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d =⎧⎨=⎩． 26．(1) 1m = (2) 0m =【解析】分析：对于复数z=a+bi （a ，b ∈R ），（1）当且仅当a=b=0时，复数z=0；（2）当且仅当a=0，b≠0时，复数z 是纯虚数.详解：（1）∵z 是零，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩， 解得1m =.（2）∵z 是纯虚数，∴()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩. 解得0m =.综上，当1m =时，z 是零；当0m =时，z 是纯虚数.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.。

一、选择题1．已知复平面内的圆M ：21z -=，若11p p -+为纯虚数，则与复数p 对应的点P （ ） A ．必在圆M 外B ．必在M 上C ．必在圆M 内D ．不能确定2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线4．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i5．已知复数1i z =-+，则22z z z+=+（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i6．已知i 是虚数单位，复数212iz i+=-，则复数z =（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i7．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则|1|z -= A ．3B 2C ．32D ．239．已知i 为虚数单位，若复数1()1aiz a R i-=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B 5C 13D ．1310．已知i 是虚数单位，则复数242iz i-=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知i 为虚数单位，则复数21ii-+对应复平面上的点在第（ ）象限． A ．一B ．二C ．三D ．四12．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．﹣7B ．17-C ．7D ．﹣7或17-二、填空题13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______.14．已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________. 15．若复数2018,1z i i=+-则z 的虚部为__________． 16．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．17．已知方程的两个虚根为、，且，则实数______．18．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 19．复数z 满足()12i z -=，则z 的虚部是__________． 20．如果复数z =421ii-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________．三、解答题21．现新定义两个复数111z a b i =+（1a 、1b R ∈）和222i z a b =+（2a 、2b R ∈）之间的一个新运算⊗，其运算法则为：121212z z a a b b i ⊗=+. （1）请证明新运算⊗对于复数的加法满足分配律，即求证：()1231213z z z z z z z ⊗+=⊗+⊗；（2）设运算Θ为运算⊗的逆运算，请推导运算Θ的运算法则. 22．设复数z 满足4533z z i +=，sin cos ()i ωθθθ=+∈R ． （1）求z 的值；（2）设复数z 和ω在复平面上对应的点分别是Z 和W ，求ZW 的取值范围．23．已知复数2132z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭是一元二次方程21(,)0m n x nx m ++=∈R 的一个根. （1）求m 和n 的值；（2）若1(2i)z a z =-，a ∈R ，1z 为纯虚数，求|2i |a +的值. 24．已知复数z 1=1+ai （其中a ＞0），且z 12为纯虚数．（Ⅰ）求复数z 1； （Ⅱ）若z 2=，求复数z 2的模|z 2|25．已知复数212z t t ti =-++，()22z xy x y i =+-，其中t ，x ，y R ∈，且12z z =.（1）求点()P x y ，的轨迹方程； （2）若3m x y =+，求m 的取值范围.26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数312i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z<，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设复数,(,)p x yi x y R =+∈,再利用11p p -+为纯虚数求出p 对应的点的轨迹方程,再与圆M ：21z -=比较即可.【详解】由题,复平面内圆M ：21z -=对应的圆是以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 若11p p -+为纯虚数,则设,(,)p x yi x y R =+∈,则因为11p p -+为纯虚数,可设11p ai p -=+,(,0)a R a ∈≠.故()()11111ai x yi x y ai x ai i x yi x y ay i -=⇒-+++=++-++= 故()11x ayy x a -=-⎧⎨=+⎩,因为0a ≠,故1x ≠.当0y =有1x =-.当0y ≠时,两式相除有 ()111x a y x x ay y++==---,化简得221x y +=. 故复数p 对应的点P 的轨迹是221,(1)x y x +=≠-.则221,(1)x y x +=≠所有的点都在(2,0)为圆心,1为半径的圆M 外. 故选：A【点睛】本题主要考查复数的轨迹问题,根据复数在复平面内的对应的点的关系求解轨迹方程即可.属于中等题型.2．D解析：D 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．4．D解析：D 【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数 【详解】因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．5．A解析：A 【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解. 详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i iz z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 6．D解析：D 【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.7．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8．B解析：B 【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -. 故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．C解析：C 【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11aiz a R i-=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a iai z i i i -⋅---+-===++⋅- 12,5,2aa -∴=-= 则()1123,2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.10．A解析：A 【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i iz i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi11．D解析：D 【解析】分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可. 详解：由题意可得：()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-， 则复数对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，该点位于第四象限，即复数21ii-+对应复平面上的点在第四象限. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【分析】根据纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，即3tan 4θ=-，再利用和差公式展开计算得到答案. 【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，故4cos 5θ≠，3sin 5θ=所以4cos 5θ=-，3tan 4θ=-∴tan tan4tan 741tan tan 4πθπθπθ-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭+⋅， 故选：A 【点睛】本题考查了纯虚数定义，和差公式，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．【分析】由题可知再对开根号求的两个平方根即可【详解】由题故即故复数的两个平方根为与故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算运用即可联系与的关系属于基础题型解析：ai b -,ai b -+ 【分析】由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可. 【详解】由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z ia bi ai biai b -+=-=+=+=-,即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+ 故答案为：ai b -,ai b -+ 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型.14．3【分析】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆而表示的是圆上的点到点的距离因此其最大值求出即可【详解】设复数复数的模为1表示以原点为原点1为半径的圆∴即表示的是圆上的点到点的距离因此的最大解析：3 【分析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，而()22z x yi +=++表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离，因此其最大值OP R =+，求出即可．【详解】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=， 故答案为3. 【点睛】本题考查了复数形式的圆的方程及两点间的距离公式、点与圆上的点的距离的最大值问题，考查了推理能力，属于中档题．15．1010【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果详解：由复数的运算法则可知：则的虚部为1010点睛：本题主要考查复数的运算法则意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：1010 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()2018120182018201810091009 1112i iii i i++===+--+，则2018100910101z i ii=+=+-，z的虚部为1010.点睛：本题主要考查复数的运算法则，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部．解：==，则复数z的虚部为﹣，故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．17．5【分析】根据题意得出Δ<0然后求出方程x2-2x+p=0的两个虚根再利用复数的求模公式结合等式α-β=4可求出实数p的值【详解】由题意可知Δ=4-4p<0得p>1解方程x2-2x+p=0即x-12解析：【分析】根据题意得出，然后求出方程的两个虚根，再利用复数的求模公式结合等式可求出实数的值.【详解】由题意可知，，得.解方程，即，解得，.所以，，解得.故答案为.【点睛】本题考查实系数方程虚根的求解，同时也考查了复数模长公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．4＋3i【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i 【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案 详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。

习题课 复 数明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋bi 的模|z|＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z|2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 2012＋ (4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 21006＋ (4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋bi)÷(c ＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 答案 B解析 方法一 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，∴z ＝a －bi ， ∴a －bi1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i.(2)i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011等于( ) A ．－iB ．－1C ．iD ．1 答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2011＝i 2011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z|的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z|.由图知，当OP 过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z|min ＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA→|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.。

第四章 §2 第1课时一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i)＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限．3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A. 4．在复平面内，点A 对应的复数为2＋3i ，向量OB →对应的复数为－1＋2i ，则向量BA →对应的复数为( )A ．1＋5iB ．3＋iC ．－3－iD ．1＋i[答案] B[解析] 向量OA →对应的复数即为A 点对应的复数，又因为BA →＝OA →－OB →，而(2＋3i)－(－1＋2i)＝3＋i ，故BA →对应的复数为3＋i ，故选B.5．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )A ．－34＋i B ．34－i C ．－34－i D ．－34＋i [答案] D[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ， 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1， 故z ＝34＋i ，故选D. [点评] ∵|z |∈R ，z ＝2－|z |＋i ，∴z 的虚部为1，因此可设z ＝a ＋i(a ∈R )，由此得a ＋i ＋a 2＋1＝2＋i 解出a .6．复数z ＝sin1 000°－icos1 000°在复平面内所对应的点Z 位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝sin(－80°)－icos(－80°)＝－sin80°－icos80°，∴－sin80°<0，－cos80°<0，∴点Z 在第三象限．故应选C.二、填空题7．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.8．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.[答案] －1[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 9．在复平面内，O 是原点，O A →、OC →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C→对应的复数为________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i.三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数；(2)求D B →对应的复数；(3)求△APB 的面积．[答案] (1)－2＋2i (2)5 (3)52[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， P B →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0，于是P A →·P B →＝－54， 而|P A |→＝172，|PB |→＝52， 所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A |→|PB |→sin ∠APB ＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52. [点评] (1)根据复数加、减法运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加、减法运算的几何意义为应用数结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．实数x 、y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1[答案] A[解析] ∵(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1. ∴xy ＝1.12．若复数x 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4 [答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7] D ． [916，1] [答案] C [解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916， ∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]． 二、填空题14．已知k ∈R ，且关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则实数k 的值为________．[答案] ±2[分析] 方程的实根必然适合方程，设x ＝x 0为方程的实根，代入整理后得a ＋b i ＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x 0和k 的方程组，通过解方程组可得x 及k 的值．[解析] 设方程的实数根为x 0，则x 20＋(k ＋2i)x 0＋2＋k i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，(1)2x 0＋k ＝0，(2)将(2)代入(1)消去k 得：－x 20＋2＝0，∴x 0＝±2， 当x 0＝2时，k ＝－22，当x 0＝－2时，k ＝22，综上知，k ＝±2 2.15．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. [答案] 3[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i] ＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3. 三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1，z 2.[答案] z 1＝5－9i y 2＝－8－7i[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.17．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5.(2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. ∴sin B ＝7210.∴S＝|BA→||BC→|sin B＝5×10×72＝7，10∴平行四边形ABCD的面积为7.。