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复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数共轭知识点总结归纳一、复数的定义和性质在复数的定义中，复数通常表示为a+bi的形式，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，而i则是虚数单位。
复数可以在复平面上表示为坐标点(a,b)，并且复数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
1.1 复数共轭的定义复数的共轭定义如下：设z=a+bi是一个复数，那么与z关于实轴对称的复数是z的共轭，记作z*=a-bi。
即对于任意复数z=a+bi，其共轭为z*=a-bi。
1.2 复数共轭的性质复数共轭具有以下性质：（1）定义性质：对于任意复数z=a+bi，其共轭z*=a-bi。
（2）共轭的共轭：(z*)*=z。
（3）共轭与实部、虚部的关系：a) 实部：Re(z)=1/2(z+z*)；b) 虚部：Im(z)=1/2(z-z*)。
二、复数共轭的运算在复数的运算中，复数共轭具有一些重要的运算性质，这些性质对于复数的运算和化简有着重要的作用。
2.1 复数共轭的加法和减法对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其共轭的加法和减法性质如下：（1）加法性质：(z1+z2)*=z1*+z2*；（2）减法性质：(z1-z2)*=z1*-z2*。
2.2 复数共轭的乘法和除法对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其共轭的乘法和除法性质如下：（1）乘法性质：(z1*z2)*=z1*z2*；（2）除法性质：(z1/z2)*=z1*/z2*。
2.3 共轭的倒数对于非零复数z=a+bi，其共轭的倒数为：(1/z)*=1/z*。
三、复数共轭的应用在实际问题中，复数共轭有着广泛的应用，尤其在复数的运算、方程的求解和函数的性质中发挥着重要的作用。
3.1 复数方程的求解在复数方程的求解中，复数共轭可以帮助我们简化方程，并且解出方程的实数解和虚数解。
例：解方程z^2+2z+2=0。
解：令z=a+bi，代入方程中得到(a+bi)^2+2(a+bi)+2=0。
展开化简得到(a^2-b^2+2a+2)+i(2ab+2b)=0。
§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。
2．2 复数的乘法与除法(2)1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任意复数z ，z 1，z 2和m ，n ∈N ＋，有(z )m ·(z )n ＝(z )m ＋n ，(z m )n ＝(z )mn ，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2． 2．虚数单位i n (n ∈N ＋)的周期性i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ． 3．复数的除法运算及法则把满足等式(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫作复数a ＋b i 除以c ＋d i 所得的商，且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i ．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”)(1)在复数范围内，完全平方公式、平方差公式、乘方运算依然成立．( ) (2)在复数范围内，|z |2＝z 2.( )(3)在复数范围内，若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2解析：选A.a －i1＋i ＝()a －i ()1－i ()1＋i()1－i ＝a －1－()a ＋1i 2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1.若复数z ＝1＋i1－i ，则w ＝z 2＋z 4＋z 6＋z 8＋z 10的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：选B.因为z ＝1＋i1－i ＝i ，所以w ＝i 2＋i 4＋i 6＋i 8＋i 10＝－1.已知复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i ，则复数z －＝________． 解析：因为z ＝6＋4i2－3i ＝()6＋4i ()2＋3i ()2－3i ()2＋3i ＝26i 13＝2i ， 所以z －＝－2i. 答案：－2i辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)．复数的除法运算计算：(1)1＋2i 3－4i＋(1＋i)(1－i)； (2)2＋2i()1－i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6. 【解】 (1)1＋2i3－4i ＋(1＋i)(1－i)＝（1＋2i ）（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＋1－i 2＝－5＋10i 25＋2＝95＋25i. (2)2＋2i（1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 6＝2＋2i －2i ＋（2）6（1＋i ）6 ＝1＋i －i ＋8[（1＋i ）2]3 ＝（1＋i ）i －i·i ＋8（2i ）3＝－1＋i ＋1－i＝－1＋i ＋i ＝－1＋2i.(1)复数的除法实质是通过分子分母同乘以分母的共轭复数，实现对分母的实数化． (2)熟悉以下结论对简化运算很有帮助．①1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ②b －a i ＝(a ＋b i)(－i)，－b ＋a i ＝(a ＋b i)i.1.(1)若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．－12C ．15D ．－25(2)计算：①（1＋i ）3－（1－i ）3（1＋i ）2－（1－i ）2； ②⎝⎛⎭⎫12＋32i 4＋()1－3i 2（2＋2i ）2. 解：(1)选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.(2)①法一：原式＝1＋3i （1＋i ）＋i 3－[1－3i （1－i ）－i 3]2i ＋2i ＝4i4i ＝1. 法二：原式＝[（1＋i ）－（1－i ）][（1＋i ）2＋（1＋i ）（1－i ）＋（1－i ）2][（1＋i ）＋（1－i ）][（1＋i ）－（1－i ）]＝1.②原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12＋32i 22＋－2－23i 4()1＋i2 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2－1＋3i 4i ＝－12－32i ＋14i －34＝⎝⎛⎭⎫－12－34＋⎝⎛⎭⎫14－32i. 虚数单位的幂的周期性(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017等于________．(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.故填i.(2)设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，① 所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，② ①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101 ＝i （1－i 100）1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i.所以S ＝－100i 1－i ＝－100i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－100（－1＋i ）2＝50－50i.所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i. (1)虚数单位i 的周期性 ①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1， i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋4＝1(n ∈N )． n 也可以推广到整数集．②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N ＋)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ； ②1i＝－i.2.(1)若z ＝21－i，那么z 100＋z 50＋1的值是______．(2)计算：①2＋2i （1－i ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； ②i ＋i 2＋…＋i 2 017.解：(1)因为z ＝21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）2＝（1＋i ）2，所以z 2＝（1＋i ）22＝i.所以z 4＝－1.又i 4＝1，所以z 100＋z 50＋1＝(z 4)25＋(z 2)25＋1＝(－1)25＋i 25＋1＝i.故填i.(2)①原式＝2（1＋i ）－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008 ＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008 ＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1 ＝i.②法一：原式＝i （1－i 2 017）1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －（i 4）504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i2＝i.法二：因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N ＋)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.实数、复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程：(1)x 2－2x ＋3＝0； (2)x 3－1＝0.【解】 (1)法一：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2 ＝(x －1)2－(2i)2＝(x －1－2i)(x －1＋2i)＝0， 所以x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i.法二：设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为方程x 2－2x ＋3＝0的根， 则(a ＋b i)2－2(a ＋b i)＋3＝0， 整理得a 2－b 2－2a ＋3＋2b (a －1)i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－2a ＋3＝0，2b （a －1）＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. 法三：因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 又因为x 2－2x ＋3＝0， 所以(x －1)2＋2＝0. 所以(x －1)2＝－2.所以x －1＝2i 或x －1＝－2i ， 即x ＝1＋2i 或x ＝1－2i.所以方程x 2－2x ＋3＝0的两根为1＋2i 和1－2i. (2)因为x 3－1＝(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2 ＝(x －1)⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i ＝0，所以x ＝1或x ＝－12＋32i 或x ＝－12－32i.在本例中，试在实数范围内解方程． 解：(1)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0， 故方程x 2－2x ＋3＝0在实数范围内无解．(2)由x 3－1＝0，得(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0， 因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， 所以x ＝1.故方程x 3－1＝0在实数范围内的解为x ＝1.复数范围内解方程的一般思路：一是因式分解，二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．3.(1)一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0(m ∈R )有一个根为x ＝a ＋3i(a ∈R )，则a ＝______，m ＝________．(2)已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，z ＝5w ＋|w －2|.求一个以z 和z －为根的实系数一元二次方程．解：(1)该方程为实系数一元二次方程，且它有一个虚根为x 1＝a ＋3i ，那么它必有共轭虚根为x 2＝a －3i.由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝a ＋3i ＋a －3i ＝3. 所以a ＝32，又x 1·x 2＝m .所以m ＝214.故填32，214.(2)因为w －4＝(3－2w )i ， 所以w ＝4＋3i1＋2i ＝2－i ，所以z ＝52－i ＋|－i|＝3＋i ，所以z －＝3－i ，又因为z ＋z －＝6，z ·z －＝10，所以所求的一元二次方程可以是x 2－6x ＋10＝0.规范解答复数与其他知识的交汇(本题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－x ＋a )i ，x ，a ∈R .当x 在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z |的最小值g (a )．【解】 |z |2＝(2x ＋a )2＋(2－x ＋a )2 ＝22x ＋2－2x ＋2a (2x ＋2－x )＋2a 2. (4分)令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2， 且22x ＋2－2x ＝t 2－2.从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2，(8分) 当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝ a 2－2；(10分) 当－a <2，即a >－2时， g (a )＝ （a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.(12分)根据求模公式，正确求出|z |2的表达式是解题的关键．换元后一定要明确引入的新变元的取值范围，否则最多只能得到不超过一半的分数造成失分．因a ∈R ，t ≥2，这是给定区间上的二次函数的最值问题，一定要根据对称轴的位置进行分类讨论，否则失分．1．如果i m ＝1，则cos m π2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．22解析：选A.因为i m ＝1，所以m 能被4整除， 令m ＝4k (k ∈Z )，则m π2＝2k π(k ∈Z )， 所以cos m π2＝1.2．复数1＋i 1－i ＋i 3的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．i解析：选A.1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）22－i ＝i －i ＝0，故选A.3．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014＝______ . 解析：设S ＝1＋2i ＋3i 2＋…＋2 015i 2 014， ① 得i S ＝i ＋2i 2＋…＋2 014i 2 014＋2 015i 2 015， ②①－②得(1－i)S ＝1＋i ＋i 2＋…＋i 2 014－2 015i 2 015 ＝1－i 2 0151－i－2 015i 2 015.所以S ＝1 008i －1 008. 答案：1 008i －1 0084．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，求x ＋y 的值．解：因为x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，所以x （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＋y （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5（1＋3i ）（1－3i ）（1＋3i ），即12x (1＋i)＋15y (1＋2i)＝12(1＋3i)， 所以⎩⎨⎧12x ＋15y ＝12，12x ＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5.所以x ＋y ＝4.[A 基础达标]1.1－3i（3＋i ）2等于( )A ．14－34iB ．12－34iC ．－14－34iD ．－14＋34i解析：选C.原式＝1－3i3＋23i －1＝（1－3i ）22（1－3i 2）＝1－3－23i 8＝－2－23i 8＝－14－34i ，故选C.2．在复平面内，复数1－3i 3＋i ＋11－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.1－3i 3＋i ＋11－i ＝（1－3i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12－12i ，故该复数对应的点在第四象限．3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H解析：选D.依题意得z ＝3＋i ，z1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．4．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C. 3D ．2解析：选A.由1＋z 1－z＝i ， 得z ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i 2＝i ， 所以|z |＝|i|＝1，故选A.5．对于非零实数a 、b ，以下四个命题都成立：①a ＋1a ≠0； ②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.取a ＝i ，则a ＋1a ＝i ＋1i＝0，可知命题①对非零复数不成立；命题②：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2为所有数均成立的恒等式，故命题②对非零复数成立；取a ＝i ，b ＝1，可得|a |＝|b |，但a ≠±b ，故命题③对非零复数不成立；若a 2＝ab ，则a (a －b )＝0.由于a 、b 为非零复数，所以a －b ＝0.所以命题④对非零复数成立．综上可知，对非零复数a 、b 仍然成立的命题有2个．6．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________． 解析：由m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i 2.由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12. 答案：127．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝1＋i ，i 为虚数单位，若z 22＝z ·z 1，则复数z 等于______． 解析：因为z 22＝z ·z 1，所以z ＝z 22z 1＝（1＋i ）23＋4i ＝2i 3＋4i ＝2i （3－4i ）25＝825＋625i.答案：825＋625i 8．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b 2＝1c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于________．解析：根据集合中元素的互异性，知b ＝－1，由c 2＝－1得c ＝±i.因为对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ，所以当c ＝i 时，d ＝－i ；当c ＝－i 时，d ＝i ，都有b ＋c ＋d ＝－1.答案：－19．设z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －＋i z ＝103＋i，求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以z ·z －＝(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.由z ·z －＋i z ＝103＋i，得 a 2＋b 2＋i(a ＋b i)＝10（3－i ）（3＋i ）（3－i ）， 即(a 2＋b 2－b )＋a i ＝3－i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－b ＝3，a ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1或2.所以z ＝－1＋2i 或z ＝－1－i.10．在复数范围内分解因式：(1)x 2＋x ＋1；(2)x 6－1.解：(1)x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－34i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－⎝⎛⎭⎫32i 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . (2)x 6－1＝(x 3＋1)(x 3－1)＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x －1)⎝⎛⎭⎫x －12－32i ⎝⎛⎭⎫x －12＋32i · ⎝⎛⎭⎫x ＋12－32i ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋32i . [B 能力提升]11．若a 为实数，2＋a i 1＋2i＝－2i ，则a 等于( ) A.2B ．－ 2C ．2 2D ．－2 2解析：选 B.等式左边＝（2＋a i ）（1－2i ）3＝2＋2a 3＋a －223i.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a 3＝0，a －223＝－2，解得a ＝－2，故选B.12．若n ∈N ＋，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝________． 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24＝i 2＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24＝(－i)2＝－1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝(－1)n ＋(－1)n . ①当n 是奇数时，原式＝－2.②当n 是偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2（n 是奇数）2（n 是偶数） 13．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ，由题意，得a ＝3b ≠0.因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52， 所以|z |＝a 2＋b 2＝510，将a ＝3b 代入上式，得a ＝±15，b ＝±5，故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i)． 14．(选做题)已知z 为复数，z ＋2i 和z 2－i均为实数，其中i 是虚数单位． (1)求复数z 和|z |；(2)若复数z 1＝z －＋1m －1－7m ＋2i 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2i ＝a ＋(b ＋2)i 为实数，所以b ＋2＝0，即b ＝－2.又z 2－i ＝a ＋b i 2－i＝（a ＋b i ）（2＋i ）5＝2a －b 5＋a ＋2b 5i 为实数， 所以a ＋2b 5＝0，所以a ＝－2b . 又b ＝－2，所以a ＝4，所以z ＝4－2i.所以|z |＝42＋（－2）2＝2 5.(2)z －1＝z ＋1m －1－7m ＋2i ＝4＋1m －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－7m ＋2i ＝4m －3m －1＋2m －3m ＋2i. 因为z 1在复平面内对应的点位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m －3m －1>02m －3m ＋2<0，解得－2<m <34或1<m <32，所以实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，34∪⎝⎛⎭⎫1，32.。
