mKddv方程的求解及可视化吧
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mKddv 方程的求解及可视化钱庭摘要：利用Jacobi 椭圆函数展开法求解mKdv 方程的冲击波解，在科学计算与模拟平台上作出了其图像，并且还作出了mKdv 方程在分离变量法下的呼吸子解图像，通过图像展示了它的一些性质。
Abstract: Employed the expansion method of Jacobi elliptic function, I worked out the ShockWave of mKdv equations and mapped out the image of it on the platform of scientific computing and simulation. Also I worked out the image of breath sub-solution when mKdv equations were analyzed through separating variables. Through those images, some of its features are displayed.1.引言mKdv 方程也称变形的Kdv ]1[方程，它是用摄动法或级数展开法求解较复杂的非线性演化方程时高阶近似所满足的方程，所以对其求解具有重要的作用，各种各样的方法也层出不穷。
mKdv 方程在很多领域都有很重要的作用，例如研究非线性光学，描述大气的波动，及量子力学中的应用，利用Jacobi 椭圆函数的展开法求解其冲击波解，该方法还适用于多种非线性波动方程的求解，例如非线性Kleln-Gordon 方程，Boussinesq 方程。
虽然在很多书上有涉及到Kdv 方程的求解，但过于繁杂，不适合低年级的学生推导及理解。
同时，随着计算机技术的不断发展，利用计算机作图直观的展示一些特殊函数或非线性方程的解在教学中变的越来越重要，也就是当今正发展的数字教学培养模式。
文献[2]展示了Mathieu 函数的图像及以其为基础的许多问题的图像；文献[3]用函数直观的表现KP 方程和一种新的NPDE 孤立子纠缠；文献[3]用推广的Jacobi 椭圆函数展开法解NLS 方程，并作出了部分图像。
1.Jacobi 椭圆函数展开考虑非线性波方程T （u ，t u∂∂，x u∂∂，22tu∂∂，22xu ∂∂，···）=0， （1）行波解设为 ),(),(vt x l u u -==ξξ （2） 其中l 和v 分别为波数和波速。
可设（1）式的Jacobi 椭圆函数展开解为),()(0ξξ∑==ni iisn u a（3） 它的最高阶数位 O （.))(n u =ξ （4） =ξd du ,01ξξξdn cn sniani i i∑=- （5）由（5）式可知1)(+=n d du O ξ，类似的有t n d u d O n t d du u O ttt+=++=)(,1)1()(ξξ（6）对于mKdv 方程：0332=∂∂+∂∂+∂∂xu xu utu βα （7）将（2）（3）式代入上式得03322=++-ξβξξd u d ld du aud du v（8）通过平衡最高阶导数项与非齐次项可得n=1 (9) mKdv 方程（7）有下列形式的解：.10ξsn a a u += （10） ,1ξξξdn cn a d du = ,)2(2312101202ξξξξξdn cn sn a sn a a a a d du u++=,]6)1([2121233ξξξξdn cn sn a m a m d u d ++-= （11）把（11）式代入（8），得：.0)6(2])1(21222121012220=++++--ξξβαξξαξξβαdn c sn a l m a dn sn a a dn cn a l m c a 由上式得：.)1(,6,02210k m v ml a a +-=-+==-βαβ(12)代入（10）式得ξαβmlsn u 6-=+-（13）上式就是mKdv 方程（7）的准确周期解。
当m=1时，（13）可化为 u ).(2tanh 3tanh 6vt x v vl --==++--βαξαβ（14）上式就是mKdv 方程的冲击波解。
对上式，取.1,1,2-===βαv 当t=0时，用科学计算模拟平台作出其二围图像有：当t 从0时刻不断增加时，计算机作图显示冲击波将保持原状向右传播。
2．mKdv 方程的特殊变换]4[.mKdv 方程是非线性的频散方程，其一般形式如（7）式，经变换可化为如下形式： 06332=∂∂+∂∂+∂∂xu xu ut u （15）设,tan 21ϕ-∂∂=xu （16）方程（15）可化为： 0])[(6))(1(22332=∂∂-∂∂∂∂+∂∂+∂∂+xxxxtϕϕϕϕϕϕϕ （17）对方程（17），令x k t w t w x k 2211,-=-=ηξ （18） 再将方程的解ϕ设成分力变量的形式: )()(ηξϕB A = （19）于是（5）式可化为 0])()([6])()([6])6[()(3])6([)(3])()[(])()[(222222222122122221221222222122221222222122122222222123332221333122=-+++-+-++++---++-++-+++-+ηηξηξξηξξξηηηξηηξξd B d Bk d dB k A k d dA k d dB Ak d A d Ak d dA k B k d dB k d dA B k mA B k k m d dA BA B d dA d B d k k A k k n nBd dB A A B d dB d A d k k d dB n w d B d kB A A d dA m w d A d KB A B （20）其中n m , 为任意常数，再令2122213,3k k n k k m =-= （21）可将（20）化为如下形式)}(])[(])[({6)}(])[(])[({6))((3)()(3))(())((2222222222212222122212222122222212222221332232332231=---++++-++-+---+-+-++++B d B d B k B d dB k A d dA k d dB Ak A d A d A k A d dA k B d dB k d dA Bk d dA B d B d A B k k d dB A d A d A B k k d dB d B d B A A k d dA d A d B A B k ηηξηξξηξξηηξηηξξ(22)可得（7）式个呼吸子解为:])cosh()sin(tan[62031220131112δβθβαβ+-+-∂∂=--+-x k t w t w x k k k Arc xu （23）其中00131122222132,,3,3,0,0δθβαw k k k w k k k -=+--=+->>为任何常数。
mKdv 方程的呼吸子解的性质可以由图3图4现出来，图3是在0,0,1,1,2,2,1,1002121===-=-=-===δθβαk k w w 的情况下绘出的三维图及位相，显示了波局限在一定的时空区域内。
图4是在相同条件下给出了波形随时间的演化图，近似表示了一个时间周期中的波形变化，像呼吸一样，表现出呼吸子的特征。
图3t=0.0s t=0.6st=1.2s t=1.8t=2.4s t=3.1s图4从图4可以知道一个周期大约为3.1s ，显示了一个周期内不同时刻的波形。
不难看出，在任何时刻都保持近似孤立子的形状并且沿着x 轴向右传播，它在x 轴的上方和下方不断变化，形似呼吸。
1. 结论：本文把参考文献[1]对Kdv 方程求解的方法进行扩展，并求解出mKdv 方程的冲击波解，该扩展还可用于解答多种非线性方程。
通过对mKdv 方程进行一系列变换求得了它的呼吸子解，并且借用模拟平台画出了呼吸子解的二维和三维图像，将复杂的非线性方程直观的表现出来，反映解的一些性质。
这有助于对方程的理解和物理实际问题中的应用。
参考文献：[1] 郑强，岳萍，龚伦训.Jacobi椭圆函数展开解的可视化.物理学报，2005,54（07）：2996-04[2] Gutierez-V ega J C et al 2003 Am . J .phys .71 233[3] Zhang J F et al 2004 Commun. Theor . Phys.41 7[4] 刘式适，刘式达.物理学中的非线性方程[M].北京：北京大学出版社，2000:9-185,234-236.[5] 沙琳，钟鹏.mKdv方程的呼吸孤立子解.1003-1251（2006）02-0089-03[6] 楼森岳.推广的Painleve展开及Kdv方程的非标准截断解[J].物理学报，1998,47:1739-1745.[7] M. L.W ANG,Y. B.ZHOU,Z. B. LI. Application of homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J].Phys LettA,1996,213:67-75.[8] 李志斌，张善卿.非线性波方程准确孤立波解的符合计算[J].数学物理报，1997,17（1）：81-89.[9] 李志斌，潘素起.广义五阶Kdv方程的狐波解与孤子解[J].物理学报，2001,50（03）：402-405.[10] 沙琳，钟鹏mKdv方程的呼吸孤立子解[J]1003-1251（2006）02-0089-03.。
