第28章锐角三角函数综合测试题

初中三角函数应用题综合一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：19．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．2012．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 m．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．在Rt△ADM中，∵tan∠ADM＝，∴DM＝＝AM．在Rt△AFM中，∵tan∠AFM＝，∴FM＝＝AM．∵DF＝DM﹣FM，∴AM﹣AM＝10．∴AM＝10．AM＝5．∴AB＝AM+MB＝5+1.5≈5×1.73+1.5＝8.65+1.5＝10.15＝10.2（米）．答：这棵树AB的高度为10.2米．2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．∴公园D与小明家A的距离为km．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴BD＝＝＝40（千米），∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，∴tan∠EDF＝＝＝，在Rt△BCD中，CD＝6m，∵tan∠BDC＝tan∠EDF，∴＝，∴BC＝3.6m，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m；方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴，∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，∴＝，解得：BC＝3.6，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），∴铁环钩的长度DE为55cm．6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），答：AB的长为21.9米；（2）不超速，理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），∵10.95×3600＝39420（米/时），∴该车速度为39.42千米/小时，∵39.42千米/小时＜40千米/小时，∴这辆校车在AB路段不超速．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：1【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，则BF＝AB＝300（m），∴DE＝300m，在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，∴CE＝BC＝400（m），∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，故选：C．10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，∴AC＝BC＝4（m），故选：B．11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．20【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），∵背水坡CD的坡度i＝1：，∴tan C＝i＝＝＝，∴∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），故选：A．12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是　20.62　米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m），答：舞台的高AC为m；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，则CD＝＝＝，∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，答：DB的长度为（﹣）m．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，∴设QG＝x米，∵山坡的坡度为i＝1：2.4，∴AG＝2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，解得：x＝2，则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），∴PQ＝8+1＝9（m）．答：信号塔PQ的高约为9m．三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，故选：C．16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴△BGC是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（5+15）（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，故选：A．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为　14.7　米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，∴CD＝BC﹣BD，即6＝AB﹣AB，解得：AB＝≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米，故答案为：14.7．19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为　（15+15）　m．【解答】解：设BC的长为x米．在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝x米，在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴tan∠CAD＝＝＝，解得：x＝15+15，答：楼房DC的高度为（15+15）米，故答案为：（15+15）．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，∴CF＝BC•sin20°≈10×0.34＝3.4（m），BF＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∴AH＝BF＝9.4m，在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，∴DH＝AH•tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），答：树木CD的高度约为11.6m．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，∴＝解得：x＝，答：建筑物BC的高为m．四．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共1小题）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，由tan37°＝＝0.75，得：＝0.75，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．答：山的高度是120米．。

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 年九年级 28 章锐角三角函数
学校：___________姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1. sin 60°= （ ）
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
2
2
2
2.在 Rt△ABC 中， C = 90°, AB = 5, BC = 3 ，则 tan A 的值是( )
2.如果∠BED=60°, PD = 3 ,求 PA 的长.
3.将线段 PD 以直线 AD 为对称轴作对称线段 DF,点 F 正好在圆 O 上,如图 2,求证:四边形 DFBE 为菱形.
6 / 16
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1.答案：B
参考答案
解析： sin 60°= 3 . 2
12.轨道环线通车给广大市民带来了很大便利，图是渝鲁站出口的横截面平面图，扶梯 AB 的坡度
i = 1: 2.4 ，在距扶梯起点 A 端 6 米的 P 处，用 1.5 米的测角仪测得扶梯终端 B 处的仰角为 14°，扶梯
终端 B 距顶部 2.4 米，则扶梯的起点 A 与顶部的距离是(参考数据: sin14 0.24 ， cos14 0.97 ，
是
.
15.把一张矩形的纸片按如图所示的方式对折两次,然后剪下一个角,为了能得到一个正方形,剪口与折 痕所成的角 α 的余弦值为_______.
3 / 16
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16.在 △ ABC
中，A，B
都是锐角，且
sin
A
=
1 2

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数之正切函数专题练习一、选择题1.如图，第一象限的点P的坐标是(a，b)，则tan ∠POx等于( )A．abB．baC．aa2+b2D．ba2+b22.如图，点A(t,3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝2，则t的值是( )A． 1B． 1.5C． 2D． 33.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y 的值是( )A． 2B． 8C．－2D．－84.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是( )A．23B．32C．132D．1335.根据图中的信息，经过估算，下列数值与tanα值最接近的是( )A． 0.26B． 0.43C． 0.90D． 2.236.如图，在2×3的正方形网格中，tan ∠ACB的值为( )A．223B．2105C．12D． 27.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则tan ∠APB等于( )A． 1B．3C．33D．128.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )A．12B．13C．14D．249.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，AC＝1，则tan A的值为( )A．12B．32C．33D．310.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB＝2BC，则tan ∠CBE＋tan ∠DAE的值是( )A． 2B． 2＋3C． 2－3D． 2＋2311.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值( )A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．大小不变12.比较tan 20°，tan 50°，tan 70°的大小，下列不等式正确的是( )A． tan 70°＜tan 50°＜tan 20°B． tan 50°＜tan 20°＜tan 70°C． tan 20°＜tan 50°＜tan 70°D． tan 20°＜tan 70°＜tan 50°二、填空题13.如图，P(12，a)在反比例函数y＝60图象上，PH⊥x轴于H，则tan ∠POH的值为__________．x14.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果2b＝3a，则tan A＝__________.15.在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大4倍，那么它的两个锐角的正切值__________．16.已知∠B是△ABC中最小的内角，则tan B的取值范围是____________．17.比较大小：tan 50°________tan 48°.三、解答题18.如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A.求tan ∠BOA的值．19.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．答案解析1.【答案】B【解析】如图因为第一象限的点P的坐标是(a，b)，所以tan ∠POx＝ba.故选B.2.【答案】B【解析】如图，tanα＝ABOB ＝2，即3t＝2，解得t＝1.5.故选B.3.【答案】D【解析】如图，∵点P(4，y)在第四象限内，∴OA＝4，PA＝－y又OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，∴tan ∠AOP＝2，∴PAOA＝2，∴－y＝2×4，∴y＝－8.故选D.4.【答案】A【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝ABOB ＝23，故选A.5.【答案】B【解析】如图，AB≈2.6，OB＝6，tanα＝ABOB ≈2.66≈0.43.故选B.6.【答案】D【解析】如图，过A作AD⊥BC于D，设每个小正方形边长为1，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝1，则tan ∠ACB＝ADCD＝2，故选D.7.【答案】A【解析】∵A、B、O是小正方形顶点，∴∠AOB＝90°，∴∠APB＝12∠AOB＝45°，∴tan ∠APB＝1.故选A.8.【答案】B【解析】设每个小正方形边长为1，过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝3，故tan B＝CDBD ＝13，则tan B′＝tan B＝13.故选B.9.【答案】D【解析】∵AB＝2，AC＝1，∴CB＝22−12＝3，∴tan A＝BCAC＝3，故选D.10.【答案】【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴tan ∠CBE＝CEBC ，tan ∠DAE＝DEAD，∵AD＝BC，CE＋DE＝CD＝AB＝2AD，∴tan ∠CBE＋tan ∠DAE＝CEBC ＋DEAD＝CDAD＝2ADAD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】把这个直角三角形的各边长都扩大2倍，那么所得到的直角三角形与原来的三角形相似，则∠B的大小不变，则∠B的正切值不变．故选D.12.【答案】C【解析】由锐角的正切值随角增大而增大，得tan 20°＜tan 50°＜tan 70°，故C符合题意，故选C.13.【答案】512【解析】∵P(12，a)在反比例函数y＝60x图象上，∴a＝6012＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan ∠POH＝512.14.【答案】23【解析】∵∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，∴tan A＝ab，∵2b＝3a，∴a b ＝23，∴tan A ＝a b ＝23.15.【答案】不变【解析】∵锐角的正切值是该角的对边与邻边的比，∴当各边都扩大为原来的4倍时，比值不变．16.【答案】0＜tan B ≤3【解析】根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°.根据题意，知：0°＜∠B ≤60°.又tan 60°＝3，故0＜tan B ≤3.17.【答案】＞【解析】根据锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)，∵50°＞48°，∴tan 50°＞tan 48°.18.【答案】解　tan ∠BOA ＝AB OA ＝24＝12.【解析】19.【答案】解　如图，过点A 作AD ⊥BC 的延长线于D ，S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2−AD 2＝82−42＝43，tan B ＝AD BD ＝443＝33.【解析】过点A作AD⊥BC的延长线于D，利用三角形的面积求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．。

第28章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(玉林中考)sin 45°的值是( B ) A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝42°，BC ＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是( D )A ．8 ÷ sin 4 2 ＝B ．8 ÷ cos 4 2 ＝C ．8 ÷ tan 4 2 ＝D ．8 × tan 4 2 ＝第2题图 第4题图 第5题图第6题图3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，那么sin B 的值是( C )A ．35B ．34C ．45D ．434．(杭州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，则( B )A ．c ＝b sinB B ．b ＝c sin BC ．a ＝b tan BD ．b ＝c tan B5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，已知∠ACD 的正弦值是23 ，则AC AB的值是( D )A ．25B ．35C ．52D ．236．(荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的斜边OA 在第一象限，并与x 轴的正半轴夹角为30°.C 为OA 的中点，BC ＝1，则点A 的坐标为( B )A ．(3 ，3 )B ．(3 ，1)C ．(2，1)D ．(2，3 )7．(2022·随州)如图，已知点B ，D ，C 在同一直线的水平地面上，在点C 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为α，在点D 处测得建筑物AB 的顶端A 的仰角为β，若CD ＝a ，则建筑物AB 的高度为( D )A ．a tan α－tan βB ．a tan β－tan αC ．a tan αtan βtan α－tan βD ．a tan αtan βtan β－tan α第7题图 第8题图第9题图8．(温州中考)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC .若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝α，则OC 2的值为( A )A ．1sin 2α ＋1B ．sin 2α＋1C ．1cos 2α＋1 D ．cos 2α＋1 9．(重庆中考)如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度(或坡比)为i ＝1∶2.4，坡顶D 到BC 的垂直距离DE ＝50米(点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内)，在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)(D )A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米10．(绍兴中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，cos B ＝14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE ＝∠B ，连接CE ，则CE AD的值为( D ) A ．32 B ． 3 C ．152D ．2 第10题图 第13题图 第14题图第15题图二、填空题(每小题3分，共15分)11．(甘肃中考)在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33 ，则cos B ＝__12 __． 12．(无锡中考)一条上山直道的坡度为1∶7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为__102 __米．13．(2022·泰安)如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC ＝30°，已知窗户的高度AF ＝2 m ，窗台的高度CF ＝1 m ，窗外水平遮阳篷的宽AD ＝0.8 m ，则CP 的长度为__4.4__m(结果精确到0.1 m).14．(咸宁中考)如图，海上有一灯塔P ，位于小岛A 北偏东60°方向上，一艘轮船从小岛A 出发，由西向东航行24 n mile 到达B 处，这时测得灯塔P 在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P 的正南方，此时轮船与灯塔P 的距离是__20.8__n mile.(结果保留一位小数，3 ≈1.73)15．(深圳中考)如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB ＝12 ，BO OD ＝43 ，则S △ABD S △CBD＝__332 __． 三、解答题(共75分)16．(8分)计算：(1)3tan30°＋cos 245°－2sin60°； (2)tan 260°－2sin45°＋cos60°.解：原式＝12 解：原式＝72－217．(9分)在△ABC 中，∠C ＝90°.(1)已知c ＝83 ，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ；(2)已知a ＝36 ，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c .解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝43 (2)∠B ＝60°，b ＝92 ，c ＝6618．(9分)(2022·湘潭)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DH AH≈0.618)：伞柄AH 始终平分∠BAC ，AB ＝AC ＝20 cm ，当∠BAC ＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC ＝90°.请问最少需要准备多长的伞柄？(结果保留整数，参考数据：3 ≈1.732)解：作BE ⊥AH 于点E ，∵∠BAC ＝120°，AH 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝60°，∴AE ＝AB ·cos60°＝20×12 ＝10(cm)，BE ＝AB ·sin60°＝20×32 ＝103 ≈17.32(cm)，∵BD ＝CD ，∠BDC ＝90°，∴∠BDE ＝45°，∴DE ＝BE ＝17.32 cm ，∴AD ＝AE ＋DE ＝10＋17.32＝27.32(cm)，∵DH AH ＝0.618，即AH －27.32AH＝0.618，解得AH ≈72，∴最少需要准备72 cm 长的伞柄19．(9分)已知锐角△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：a sin A ＝b sin B ＝c sin C. (1)如图①，若a ＝6，∠B ＝45°，∠C ＝75°，求b 的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD (如图②所示)，若CD ⊥AB ，AC ＝14米，AB ＝10米，sin ∠ACB ＝5314，求景观桥CD 的长度．解：(1)∵∠B ＝45°，∠C ＝75°，∴∠A ＝60°，∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴6sin 60°＝b sin 45°，∴b ＝26 (2)∵AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，∴105314＝14sin B，∴sin B ＝32 ，∴∠B ＝60°，∴tan B ＝CD BD ＝3 ，∴BD ＝33 CD ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴196＝CD 2＋(10－33 CD )2，∴CD ＝83 或＝－33 (舍去)，∴CD 的长度为83 米20．(9分)(2022·包头)如图，AB 是底部B 不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，测角仪器的高DH ＝CG ＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB 的高度，先在H 处用测角仪器测得建筑物顶端A 处的仰角∠ADE 为α，再向前走5米到达G 处，又测得建筑物顶端A 处的仰角∠ACE 为45°，已知tan α＝79，AB ⊥BH ，H ，G ，B 三点在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．解：由题意得：DH ＝CG ＝BE ＝1.5米，CD ＝GH ＝5米，DE ＝BH ，∠AED ＝90°，设CE ＝x 米，∴BH ＝DE ＝DC ＋CE ＝(x ＋5)米，在Rt △ACE 中，∠ACE ＝45°，∴AE ＝CE ·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，∠ADE＝α，∴tan α＝AEDE＝xx＋5＝79，∴x＝17.5，经检验：x＝17.5是原方程的根，∴AB＝AE＋BE＝17.5＋1.5＝19(米)，∴建筑物AB的高度为19米21．(10分)(2022·怀化)某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园，如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4 km.有关部门计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村，问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明．(参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：过A点作AD⊥BC于D点，由题意知：∠ABC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°，∴BD＝3AD，CD＝AD, ∵BC＝2.4 km＝2400 m，∴3AD＋AD＝2400，解得AD＝1200(3－1)≈876>800，故该公路不穿过纪念园22．(10分)(2022·鄂州)亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C 处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比＝1∶3，铅垂高度DG＝30米(点E，G，C，B在同一水平线上).求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB.(结果保留根号)解：(1)∵斜坡CF 的坡比＝1∶3，DG ＝30米，∴DG GC ＝13 ，∴GC ＝3DG ＝90(米)，在Rt △DGC 中，DC ＝DG 2＋GC 2 ＝302＋902 ＝3010 (米)，∴两位市民甲、乙之间的距离CD 为3010 米(2)过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，则DG ＝BH ＝30米，DH ＝BG ，设BC ＝x 米，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ·tan45°＝x (米)，∴AH ＝AB －BH ＝(x －30)米，在Rt △ADH 中，∠ADH ＝30°，∴tan30°＝AH DH ＝x －30x ＋90 ＝33，∴x ＝603 ＋90.经检验：x ＝603 ＋90是原方程的根，∴AB ＝(603 ＋90)米，∴此时飞机的高度AB 为(603 ＋90)米23．(11分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，以DB 为直径作⊙O 交BC 于点F ，连接BE ，EF .(1)证明：∠A ＝∠BEF ；(2)若AC ＝4，tan ∠BEF ＝4，求EF 的长．解：(1)连接DF ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ＝90°，∴AC ∥DF ，∴∠A ＝∠FDB ，∵∠FDB ＝∠BEF ，∴∠A ＝∠BEF(2)过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ，∴∠EHF ＝90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝12∠ACB ＝45°，∴∠CDF ＝90°－∠DCB ＝45°，∴CF ＝DF ，设CF ＝DF ＝x ，∵∠A ＝∠BEF ，∴tan A ＝tan ∠BEF ＝4，∴BC ＝AC ·tan A ＝4×4＝16，∴BF ＝BC －CF ＝16－x ，∵∠ACF ＝∠DFB ＝90°，∴△ACB ∽△DFB ，∴AC DF ＝BC BF ，∴4x ＝1616－x，∴x ＝165 .经检验，x ＝165 是原方程的根，∴CF ＝165，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BED ＝90°，∴∠EBC ＝90°－∠DCB ＝45°，∴EC ＝EB ，∵EH ⊥BC ，∴CH ＝BH ＝12 BC ＝8，∴EH ＝12BC ＝8，∴FH ＝CH －CF ＝245，∴EF ＝FH 2＋EH 2 ＝（245）2＋82 ＝85 34 ，∴EF 的长为85 34。