7.1平面向量的概念(1)

平面向量基本定理(教案)

教案章节一：向量的概念回顾

1.1 向量的定义

向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。

向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为 (a, b)。

1.2 向量的加法

向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。

向量的加法满足交换律和结合律，即 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

教案章节二：平面向量的基本定理

2.1 定理的定义

平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。

基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。

2.2 基底的性质

基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。

基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。

教案章节三：向量的线性组合

3.1 线性组合的定义

向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。

例如，a u + b v 表示将向量 u 乘以实数 a，向量 v 乘以实数 b，将两个结果相加。

3.2 线性组合的性质 线性组合满足分配律，即 (a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。

线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。

教案章节四：向量的坐标表示

4.1 坐标系的建立

坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。

在二维空间中，通常使用 x 轴和 y 轴作为坐标轴。

4.2 向量的坐标表示

向量可以用坐标形式表示，即 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。

向量的长度可以用勾股定理计算，即 |u| = √(x^2 + y^2)。

教案章节五：向量的线性相关性

5.1 线性相关的定义

向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。

例如，向量组 (u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数 a, b, c，使得 a u +

一、导入新课

情境导入：见P32

某学生在标准400m运动场上的百米起点A处出发，沿跑道跑完400m到达终点A处。

教师适时设问:

（1） 该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么？

（2） 如果该生从A出发，跑完1500m，那么他所跑的路程是多少？位移是什么？

（3） 位移和路程两个量有什么区别？

注意：这里涉及到了物理中的两个量，在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，被称为矢量。而路程是只有大小的量，称为标量。

进一步提问：

你还能举出一些这样的矢量和标量吗？

二、讲授新课

1．向量的概念

在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

练习1 对于下列各量：

①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2．向量的几何表示

物理中如何表示一个大小为5N的重力作用，和一个水平向左、大小为8N的拉力呢？思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

带箭头的线段（有向线段）表示，箭头为方向，长度可以表示力的大小

力作图中为三要素：

大小、方向和作用点

G F （1）几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）符号表示：

以A为起点，B为终点，记为AB

也可用小写字母来表示，记为a

（3）向量的大小称作向量的长度（或模），记做a

（4）零向量：长度为0的向量，记做0

（5）单位向量：长度为1个单位长度的向量，记做e

注意：零向量强调了长度，而方向任意。而长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量

例1．如果每个小正方形的边长均为1个单位长度。分别以A，B，C为起点或终点，可以构成那些向量？用有向线段表示这些向量，并求出他们的模。

解：可以构成向量CBBCCAACBAAB,,,,,

第7章 平面向量（教案） 【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．

能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．

【教学重点】

向量的线性运算．

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．

【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.

教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.

向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.

实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到abab∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0 ”等条件.

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

*揭示课题

第7章 平面向量（教案） 教 学

过 程 教师

行为 学生

行为 教学

意图 时间

7.1 平面向量的概念及线性运算

*创设情境 兴趣导入

如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1 介绍

1 专题七 平面向量

【考情探究】

课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容

一、平面向量的概念、线性运算及基本定理 1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.

2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算. 1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以基础题为主,主要考三部分内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.

2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个已知条件的形式出现. 1.注意基础知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,基础与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择合适的基底或坐标系,把未知向量用已知向量表示.

2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可忽视. 二、平面向量的数量积及向量的综合应用 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

3.了解平面向量基本定理及其意义.

【真题探秘】

§7.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理

2 基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一 平面向量的概念及线性运算

1.设D为△ABC中BC边上的中点,且O为AD边上靠近点A的三等分点,则( )

A.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =-16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B.𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗