平面向量概念

概念教学必须体现概念的形成过程

──“平面向量的概念”的教学与反思

人民教育出版社中数室 章建跃 南京师范大学附属中学 陶维林

当前，不重视章节起始课的教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍．在章节起始时，许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念．

李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”[1]以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．

本文是我们继“函数的概念”教学案例[2]后做的又一个案例，主要指导思想是“数学概念„„首要表现在概念的形成”[1]，概念教学必须让学生经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律．期待我们的案例能抛砖引玉，希望广大教师积极参与“如何教好数学概念”的讨论．

一、对教学内容的基本认识

《平面向量》是“人教A版”数学4的一章，本节课包括“章引言”和“2.1平面向量的实际背景及基本概念”两部分．

在配套的《教师教学用书》中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述：“章引言说明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决„„”．因此，“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是本章学习的“先行组织者”，应有充分的重视．教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解，以避免空洞说教．

许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，但我们认为“其实不然”．事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的过程．

1 平面向量

一.基本知识点

1、在表示两向量的夹角和两条直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①两直线所成的角的取值范围依次是.2,0②向量的夹角的取值范围是[0，π],并且分同向,反向,垂直三种特殊情况.

2、你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量，（）向量的模——有向线段的长度，2||a

，）单位向量（1||30a （）零向量，4000||，（）相等的向量长度相等方向相同5ab

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。

babba∥存在唯一实数，使()0

（7）向量的加、减法：

3、平面向量基本定理（向量的分解定理）：为该平面任一向量，的非零向量，是平面内的两个不共线，aee21则存在唯一的实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量12112212aeeee的一组基底。

4、向量的坐标表示设，，，axybxy1122，则，，，abxyyyxyxy11121122，

axyxy1111，，

若，，，AxyBxy1122,则，ABxxyy2121，

||ABxxyyAB212212，、两点间距离公式

5、平面向量的数量积

（）··叫做向量与的数量积（或内积）。1ababab||||cos为向量与的夹角，，ab0

数量积的几何意义：ababab·等于与在的方向上的射影的乘积。||||cos

（2）数量积的运算法则

2 ①··abba②··()abcacbc

③·，·，abxyxyxxyy11221212

平面向量及应用

温州八中 林胜杰

向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用，通过本章的复习将使我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域，进一步领会数形结合的思想方法，增强我们解决实际问题的能力。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系多项内容的媒介，特别是在处理立体几何、解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

【考点梳理】

一、考试内容

1．向量、向量的概念，向量的加法与减法，实数与向量的积。

2．平面向量的坐标表示，线段的定比分点。

3．平面向量的数量积，平面两点间的距离公式。

4．平移及平移公式。

二、考试要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2．掌握向量的加法与减法。

3．掌握实数与向量积，理解两个向量共线的充要条件。

4．了解平面向量基本定理。理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

三、考点精析

1．平面向量知识结构

2．向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的长度，叫做向量的模。

（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。

（3）表示法

①几何法：画有向线段表示，记为AB或a。

②坐标法：AB=xi+yj=(x,y)；AB=(x2－x1,y2－y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量

平面向量的有关概念

[典例]

(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )

A．a＝－b

B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

[解析] (1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．

(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案] (1)C (2)D

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点(二) 平面向量的线性运算

1．向量的线性运算：加法、减法、数乘

2．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

平面向量的线性运算

[例1] (1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝( )

A.13b＋23c B.53c－23b C.23b－13c D.23b＋13c