高中数学 1.1 集合 集合的概念 康托尔-集合论的创造者素材 新人教版必修1

练 习
1. 下面的各组对象能否构成集合？ （1）小于2004的数； （2）和2004非常接近的数.
2.再看下列对象: （1） 2，4，6，8，10，12； （2）我校的篮球队员； （3）满足x－3＞2 的实数； （4）我国四大名著； （5）抛物线y=x2上的点．
2、元素与集合的关系
通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合， 小写的拉丁字母 a,b,c,…表示集合中的元素. 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A， 记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 a A.
作业
活页：提能演练一
第2课时 集合的表示
回顾复习
1．集合与元素的定义; 2．集合元素的特征性质： 确定性，互异性，无序性； 3．元素与集合的关系
4. 数集及有关符号；
集合的表示
“我国的直辖市”组成的集合表示为 {北京，天津，上海，重庆} 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.
1.1.1 集合的含义与表示
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起。
康托尔（G.Cantor,1845～1918）.德 国数学家，集合论创始人，他于1895
年谈到“集合”一词.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言， 我们怎样理解数学中的“集合”？
通知 8月27日上午8时，高一年级的学生 在体育馆集合进行军训动员. 校长室
例1：已知A由： 2,(a 1) a
2
, a 3a 3
2
三元素构成且 1 A ，求实数a的值
变.已知集合A含有三个元素1、0、x， 若 x 2 A ，求实数x的值。

集合的分类
有限集：集合中的元素有有限个。 无限集：集合中的元素有无限个。 空集：集合中不含任何元素。
例题：判断下列集合是有限集还是无限集
(1)由小于等于12的所有自然数组成的集合；（有限集） (2)关于方程 x2 x 0 的所有实数根组成的集合；（有限集） (3)由方程 x2 4 0 的实数根组成的集合；（有限集） (4)由大于12小于30的所有实数组成的集合。（无限集）
集合的概念
康托尔 (1845 —1918)德国数学家
集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达 数学内容。集合论最早是由德国数学家康托尔创立的。
情景导入
超市里的物品摆放
请你说一说， 物品的摆放有 何特点？
某奶茶店 的价目表
请你说一说， 这幅图上的分 类有集合的概念：一般地，将研究对象称为元素（element），将某些元素
例3：{等腰三角形，直角三角形，等边三角形，钝角三角形}
二、元素与集合间的关系
（1）属于(belong to)关系：若元素a是集合A中的元素，
那么，a属于A，记作： a∈A
（2）不属于(not belong to)关系：若元素a不是集合A中的
元素，那么，a不属于A，记作：a A
例：A={1,2,0.1,5,10}
例1：用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)关于方程 x2 x 0的所有实数根组成的集合；
集合的表示
2、描述法：
将满足集合中元素性质的所有元素（满足的条件） 表示出来，写成如下形式：
{x A | p(x)}
代表元素
特征属性
P4 例2：试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程 x2 2 0的所有实数根组成的集合A； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B。

康托尔-集合论的创造者康托尔·G（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3～1918.1.6 ）德国数学家，集合论的创始人。

生于俄国圣彼得堡。

父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。

1856年全家迁居德国的法兰克福。

先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29～1893.5.14）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31～1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7～1891.12.29)。

1866年曾去格丁根学习一学期。

1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。

毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。

他在哈雷大学任教（1869～1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。

1872年成为该校副教授，1879年任教授。

由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直被病魔缠身。

1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。

康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。

早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。

除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888～1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

主要贡献康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。

【答案】DC
【解析】
【分析】
集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.
【详解】集合 表示直线 与直线 交点的集合，
即 .DC
【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
拓广探索
10.请解决下列问题：
（1）设 ，若 ，求 的值；
（2）已知集合 ，若 ，求实数a的取值范围.
习题1.1
复习巩固
4.用符号“ ”或“ ”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若 ，则-1_____________A；
（3）若 ，则3________________B；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【解析】
【分析】
根据子集的定义写出一个子集即可.
【详解】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.
9.在平面直角坐标系中，集合 表示直线 ，从这个角度看，集合 表示什么？集合C，D之间有什么关系？
, , , , , , , .
【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.
4.用适当的符号填空：
（1）a_____ ；（2）0____ ；（3） ____ ；
（4） ____N；（5） ____ ；（6） ____ .
【答案】①. ②. ③. = ④.⑤.⑥. =
【解析】

3个
9.问题8说明集合中的元素具有什么性质？
互异性.一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素
是不重复出现的,这就是集合的互异性.
10.由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集
合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具
有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？
(5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ × ）
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ √ ）
六、归纳小结
知识方面
你收获到
了什么？
获取知识的思想方法方面
体验和感悟
七、布置作业
1. 分层作业；
2.教材P5练习1、2，习题1.1复习巩固第1题。
谢谢您的倾听！
集合M和N相同.这说明集合中的元素具有无序性,即集合中的
元素是没有顺序的.可以发现：如果两个集合中的元素完全相
同,那么这两个集合是相等的.
三、概念形成
1.元素与集合的概念
（1）一般地，把研究对象统称为元素，表示：a，b，c，d，…
（2）把一些元素组成的总体叫做集合，表示：A，B，C，D，…
2.元素与集合的关系
（4）与0接近的全体实数；
×
（5）到线段的两个端点距离相等的所有点。 √
4.常用数集及其记法：
集
非负整数
正整数
合 （自然数集）
集
记
法
N
N*或N＋
整数集
有理数
集
实数集
Z
Q
R
常用数集的表示方法：
正整数集：N＋或N﹡
自然数集： N
整数集: Z
有理数集: Q
实数集: R

1.1.1 集合的含义
学习目标
1.通过实例掌握集合的含义并理解集合中
元素的三个性质。
2.能够记住并会使用常用的数集符号。
3.会用符号表示元素与集合之间的关系。
新课导入
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国
数学家，集合论创始人.人们把康托尔 于1873年12月7日给戴德金的信中最早 提出集合论思想的那一天定为集合论 诞生日.A.2B.3C.0或3
D.0,2,3均可
6.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，
2或4 6－a∈A，则a＝_____________.
课堂小结
1.集合的含义.
确定性 2.集合中元素的性质 互异性 无序性 3.数集及其符号表示.
4.元素与集合间的关系
课堂作业
习题1.1 A组
问题2：组成集合的元素一定是数吗？ 组成集合的元素可以是人，物、图、点、数
问题3：高一（11）班所有的“帅哥”能否构成一 个集合？由此说明什么？ 集合中的元 不能. 其中的元素不确定 素是确定的
问题4：由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合
中有5个元素，这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .
已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(11)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(11)班的一位同学， b表示高一(12)班的一位同学. 问题8：那么a，b与集合A分别有什么关系?
元素a与集合A的关系
属于 集合A， 如果a是集合A的元素，就说a_____ a∈A ； 记作_____
不属于 集合A, 如果b不是集合A中的元素，就说b_______
集合中的元
素是互异的
问题5：高一（11）班的全体同学组成一个集合，

问题
如果用A表示高一（ ）班学生组成的集合， 表示高 如果用 表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高 表示高一 一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同 ）班的一位同学， 表示高一（ ） 表示高一 那么a、 与集合 分别有什么关系？ 与集合A分别有什么关系 学,那么 、b与集合 分别有什么关系？由此看出元 那么 素与集合之间有什么关系？ 素与集合之间有什么关系？
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数 的值. 求实数a的值 求实数 的值
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？ 今天我们学习了哪些内容？
集合的含义 集合元素的性质：确定性，互异性，无序性 元素与集合的关系： ， 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
第12页 页 习题1.1 A组 第1、2、3、4题 习题 组 、 、 、 题
2．选择题 ． ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
0, a, a 2 3a + 2 }中的元素， ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a 为( c )
判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中 关键在于 解析 判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 判断一个元素是否在某个集合中 弄清这个集合由哪些元素组成的. 弄清这个集合由哪些元素组成的
集合的表示方法 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合 (2) 如何表示“方程 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 的所有实数根” 的所有实数根 合? ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｛1,-2｝ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ ｝ 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号 并用花括号｛ 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号｛｝括起来表示 注意：元素与元素之间用逗号隔开） （注意：元素与元素之间用逗号隔开） 叫做列举法 集合的方法叫做列举法. 集合的方法叫做列举法 用列举法表示下列集合： 例1 用列举法表示下列集合： 一个集合中的元素 (1)小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 小于 的所有自然数组成的集合； 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x = x 的所有实数根组成的集合； 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的所有实数根组成的集合； 方程 的无序性). 的无序性 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合 以内的所有素数组成的集合. 由 以内的所有素数组成的集合 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2)B={0，1}. ， (3)C={2，3，5，7，11，13，17，19}. ， ， ， ， ， ， ， 1.确定性 确定性 2.互异性 互异性 3.无序性 无序性

8
课前预习
课堂互动
素养达成
2.元素与集合的关系 在a∈A与a∉A这两种情况中有且只有一种成立
知识点
元素与 集合的 关系
关系
概念
记法
如果__a_是__集__合__A_中__的__元__素____，
属于
__a_∈__A__
就说a属于A
不属于 如果_a_不__是__集__合__A_中__的__元__素__， __a___A_ 就说a不属于A
A.著名物理家
B.很大的数
C.聪明的人
D.小于3的实数
(2)下列各组对象可以构成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.所有小的正数
18
课前预习
课堂互动
素养达成
解析 (1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合. (2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点” 无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平 面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集 合. 答案 (1)D (2)B
11
课前预习
课堂互动
素养达成
[微训练]
给出下列说法： ①在一个集合中可以找到两个相同的元素；
②好听的歌能组成一个集合； ③高一(1)班所有姓氏能构成集合； ④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个. 其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
12
课前预习
课堂互动
素养达成
3.若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能

探究
探究1.视察下面几个例子：
(1)1～11之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)地球上的四大洋；
(4)方程x²-3x+2=0 的所有实数根；
(5)较小的数.
探究 探究1.视察下面几个例子：
(1)1～11之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(1)中，我们把1～11之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体 就是一个集合；
高中数学主要研究数集和点集.
新知讲授
集合相等： 只要构成两个集合的元素是一样的， 我们就称这两个集合相等.
下面两组集合分别是否相等?
集合一：不超过5的自然数组成的集合 集合二：0,1,2,3,4,5组成的集合
是
集合三：不超过5的奇数组成的集合 集合四：1,3,5组成的集合
新知讲授 列举法 (3)地球上的四大洋； {太平洋，北冰洋，大西洋，印度洋} (4)方程x²-3x+2=0 的所有实数根； {2,1}
若用A表示(1)中“1~11之间的每一个偶数”组成的集合，
那么2,3分别与集合A有何种关系呢? 2∈A,3∈A.
新知讲授
自然数集(非负整数集):全体非负整数组成的集合 正整数集：全体正整数组成的集合 整数集：全体整数组成的集合 有理数集：全体有理数组成的集合 实数集：全体实数组成的集合
N N*或N
集合的概念
新课引入
“集合”是日常生活中的一个常用词， 现代汉语解释为：许多的人或物聚在一起.
康托尔( G.Cantor,1845-1918). 德国数学家，集合论
首创人.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最 早提出集合论思想的那一天定为集合论产生日.

a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.
如何用符号表示a，b与集合A之间的关系?
3.元素a与集合A的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.
03
学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其
记法：
常用的数集 自然数集
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
01
结构导图
第一章内容
知识框图
导
02
引
问题情境
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:
许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语
言，是一种工具。集合的知识是现代数学的基础。
康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集
举法表示
描述法
把集合中元素所具有的
性质描述出来，具有抽
象性、概括性、普遍性
的特点
不易看出集合的具体元素
课堂总结
今天学习了哪些新知识？新方法？
05
1．集合的概念;
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性；
3．数集及有关符号；
4. 集合的表示方法.
5. 元素与集合的关系.。
结
05
结构再望
学完了集合的含义、接下来我们将要学习什么呢？
（1） 集合中的元素都小于10.
（2） 集合中的元素都是实数．
描述法
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，
写作:
x R
x 10.
{ x I | p( x )}
代表元素
取值范围

1.1.1集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）有关概念:1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈Aa∉（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集{Φ，}0{，0等符号的含义注：应区分Φ，}5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B第3题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。

一、集合的有关概念
1.元素(element)---我们把研究的对 象统称为元素.
集合(set)---把一些元素组成的总体 叫做集合, 简称集.
2.常用大写的拉丁字母A、B、C…表示 集合.
用小写的拉丁字母a、b、c…表示元 素
3.集合元素三大特性： （1）确定性：集合中的元素必须是确定的。
即给定一集合，任何一个对象是不是这个集合 中的元素是确定的。
2、描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为 描述元素 的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征。 （2）描述法的一般形式是：将集合的所有元素都具有的性质 （满足的条件）表示出来，写成{x︱p(x)}的形式
练习：数集A={x, x2-x},则x满足的条件为
_x____0_且 . x 2
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置．
4.集合相等: 只要构成两个集合的元素是一样的,我们
就称这两个集合是相等的
5、元素与集合的关系 ━隶属关系
（1）属于(belong to)：如果a是集合A 的元素，就说a属于A，记作a∈A
思考：试用描述法表示所有奇数的集合
B xx=k+1，k Z 或 B xx=k-1，k Z
思考：试用适当的方法表示下列集合 1、一个点（2,3） 2、平面直角坐标系中，第一象限的点 的集合 3、x轴和y轴上的点的集合 4、直线y=3x+1上的点的集合 5、二次函数y 2x2 3x 4图象上的点的集合
判断以下元素的全体是否组成集合并说明理由； （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流。 （3）中国的直辖市 （4）身材较高的人 （5）著名的数学家 （6）所有的三角形 （7）到直线L 的距离等于定长d的所有点

2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江}
2. 集合中的元素具有的特性：
× （1）确定性：我们班的高个子同学 × （2）互异性：{张三，李四，张三}
（3）无序性：{黄河，长江} {长江，黄河}
2. 集合中的元素具有的特性：
记作N．
记作N*或N+ ． 记作Z ． 记作Q．
4.常用数集及其记法：
（1）非负整数集 （自然数集）：
（2）正整数集： （3）整数集： （4）有理数集： （5）实数集：
记作N．Nature
记作N*或N+ ． 记作Z ．zheng数 记作Q． 记作R．Real
探究4：下列关系中正确的个数为（ ）
A. 1
拓展3：
已知 a∈R, x∈R, 集合 A 是方程 ax2+2x+1=0 的解集。 1) 若A中只有一个元素，求 a 的值； 2) 若A中有两个元素，求 a 的取值范围。
拓展4：
已知由实数组成的集合A满足： 若x∈A， ，则 ∈A。 1）若2∈A,试确定集合A； 2）试讨论集合A能否为单元素集合？
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示：
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素通常用小写拉丁字母表示： a, b, c
1. 元素、集合的概念及其表示：
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
探究2：
已知集合 S 中有三个元素 a, b, c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）

集合的概念
常用数集及其记法
自然数集：全体非负整数组成的集合(非负整数集)，记作
正整数集：全体正整数组成的集合，记作∗ 或+
整数集：全体整数组成的集合，记作
有理数集：全体有理数组成的集合，记作
实数集：全体实数组成的集合，记作
B
集合的概念
集合的概念
用自然语言描述集合不够抽象且较为麻烦，
那怎么用数学语言表示集合？
思考：1.地球上的四大洋组成的集合如何表示？
列举法：将元素一一列举出来，并用花括号｛｝括起来表示集合。
注：（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义
（2）元素之间用逗号隔开，一个集合中的元素书写一般不考虑顺序。
集合的概念
课堂小结
1.集合的概念
2.元素与集合的关系
3.集合中元素的特征
确定性
互异性
无序性
一个给定的集
一个给定的集
一个给定的集
合中的元素必
合中的元素都
合中的元素排
须是确定的
Hale Waihona Puke 是互不相同的列无顺序
当两个集合中的元素一样时，我们就称这两个集合是相等的
集
合
中
元
素
的
特
征
集合的概念
判断正误
（1）某中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合
（2）元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是相等的
4.常用数集
5.集合的表示：自然语言、列举法、描述法
作业
集合的概念
2.由实数, − , , ( ) , − 组成的集合中最多含有几
个元素
典例2：满足“a∈A且4-a∈A，a∈N且4-a∈N”，

（1）小于10的所有自然数组成的集合.
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.
新知探索3 集合的表示方法有哪些？
思
问题6 不等式 − < 的解该如何表示？
呢？
议、展、评下列的3组例子，每一组的两个例子都是集合吗？为什么？
并总结出集合中元素的性质。
定
序
性
第一组：
第二组：
性
（1）立德中学今年入学的全体高一学生；
（1）集合 = {0,1,2}
（2）立德中学帅的高一学生。
（2）集合 = {2,1,0}
第三组：
（1）集合C= {0,1,2,4,7,9}
我们可以利用解集中元素的共同特征，即：是实数，且 < 10,把解集表示为
{ ∈ | < 10}.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法{ ∈ |()}.
注：(1)先看竖线前的代表元素，明确研究的对象；再看竖线后的共同特征;
(2)若需要多层次描述属性，可选用“且”“或”连接；
可以，所有的正方形
可以，与平行的所有直线
可以，1，2
概念生成
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合（简称为集）.
我们通常用大写拉丁字母, , ,…表示集合
用小写拉丁字母, , ,…表示元素.
同时，元素可以是点，可以是人，也可以是问题！
追问：集合
中的元素有
怎样的特点
重点
理解集合相关的概念与性质

.
【解析】(1)最小的数应该是 0,(2)当 a=0.5 时,-0.5∉N,且 0.5∉ N,(3)当 a=0,b=1 时,a+b=1. 【答案】0
2、变式训练
∈
∉
∈
∉
∈
∉
∈
∉
五、集合的表示方法
1、提出问题 1.“地球上的四大洋”能组成一个集合吗？它有几个 元素？你能把这个集合表示出来吗？ 结论:地球上的四大洋是具体明确的，可以组成集合，它 有4个元素，该集合可以表示为｛太平洋，大西洋，印度 洋，北冰洋｝.
2
四、数学中的常用数集及其记法
数
集
符号 N N*或N+ Z Q R
自然数集（非负整数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
3.下面有三个说法,其中正确的个数为 (1)集合 N 中最小的数是 1; (2)若-a 不属于 N,则 a 属于 N; * (3)若 a∈N,b∈N ,则 a+b 的最小值为 2.
（2）如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A，记作a∉A，读
作“a不属于集合A”.
例：用A表示“1～20以内的所有质数”组成的集合，
问2，4与集合A之间的关系？
注：a∈A 或 a∈A 取决于a是否是集 合A中的元素，任何a与A。 a∈A 或 a∈A 这两种情况有且只有一种成立。
∈ 符号“ ∈ ”“ ”表示元素与集 合的关系，不能表示集合与集合的关系
问题，感受集合语言的意义和作用.
二、学习重点：元素与集合之间的关系； 学习难点：集合的三要素.
情景设置
在军训期间，当教官高喊“集合”口令 之后，同学们都干了什么事？
知识探究
观察下面的例子 （1）1～20以内的所有质数； （2）所有的正方形； （3）到直线L的距离等于定长d的所有的点； （4）方程x2+x-2=0的所有实数根； （5）实验高中高一19班的所有学生。 问题：它们的研究对象是什么？

1.1.1 集合的含义与表示备课资料1.无限集在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架.他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地.这个学科就叫做集合论.它的概念和方法已经有效地渗透到所有的现代数学.尽管我们生存的世界是有限的，但是，为了研究它，我们却总是要涉及无限，所有自然数的集合就是一个无限集，圆周率的精确值表示需要无限多位小数，等等.对于无限集，可以得到一些意想不到的结论.例如，设集合A 是所有正整数的集合，集合B 是所有正偶数的集合.直观地，B 中的元素个数恰好是A 中元素个数的一半.但是，根据集合论的观点，它们的个数是一样的.这可以用“配对”的方法来验证：这里没有矛盾，如果有的话，也只是出于我们的成见.对此的阐释最好莫过于“希尔伯特旅馆”，这个理想化的建筑物有无限多个房间，以所有正整数1，2，3……来编号.一天晚上，碰巧所有房间都住满了（在这个故事中人数也是无限多）.这时新来了一个客人，正在老板无法安置的时候，一个聪明的服务员想出了一个办法，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到3号房，3号房的客人安排到4号房，由此类推……这样就腾出了1号房供新客人使用.而且即使来了不止一个客人，也可以同样妥善安置，比如说来了新客人10个，她说：“只需将1号房的客人安排到11号房，2号房的客人安排到12号房，3号房的客人安排到13号房，由此类推……这样就腾出了前十个空房供新客人使用.”这时，有人提出新的问题，如果后来的客人有无数人怎么办呢?这难不到我们的这位服务生，她提出将1号房的客人安排到2号房，2号房的客人安排到4号房，3号房的客人安排到6号房，由此类推……这样不就腾出了1号，3号，5号……无数个房间吗!2.设a 、b ∈R ，ab ≠0，集合A ={t |t =||a a +b b ||+||ab ab }，则card （a ）（card （a ）表示有限集A 的元素个数）的值为A.1B.2C.3D.43.集合M =｛（x ，y ）|y =2x 2+x +6，x ∈R ，x ≠0｝，点P （x ，y ）∈M ，则点Q （|x |，－y ）是第几象限的点?4.设集合P =｛x |x 为有长为1的边及40°为内角的等腰三角形｝，试问P 中有多少个元素?5.设M =｛a |a =x 2－y 2，x ，y ∈Z ｝，求证：（1）一切奇数属于M ；（2）偶数4k －2（k ∈Z ）不属于M ；（3）属于M 的两个整数，其积仍属于M .答案：2.B3.四（点拨：y =2x 2+x +6=2（x +41）2+847＞0，|x |＞0，－y ＜0） 4.4（点拨：腰长为1且顶角为40°的三角形、腰长为1且底角为40°的三角形、底边长为1且顶角为40°的三角形及底边长为1且底角为40°的三角形）5.（1）设a 为任意的奇数，即a =2k －1（k ∈Z ）.因2k －1=k 2－（k －1）2（k ，k －1∈Z ），故a ∈M .由a 的任意性知，一切奇数属于M .（2）假设4k －2∈M ，则存在x 、y ∈Z ，使4k －2=x 2－y 2 （x +y ）（x －y ）=2（2k －1）.①①式说明x+y和x－y必有一个是偶数，另一个是奇数，但是x+y和x－y具有相同的奇偶性，这是一对矛盾.故①式不成立，所以4k－2 M.（3）设α、β∈M，则α=x12－y12，β=x22－y22（x1、x2、y1、y2∈Z）.进而αβ=（x12－y12）（x22－y22）=x12x22+y12y22－x12y22－x22y12=（x1x2－y1y2）2－（x1y2－x2y1）2.而x1x2－y1y2∈Z，x1y2－x2y1∈Z，所以αβ∈M.。