2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4：模块综合检测 含解析 精品

模块综合检测

(时间120分钟 满分150分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )

A．y＝12sinx3＋π6 B．y＝12sin3x＋π6

C．y＝2sinx3－π6 D．y＝12sinx＋π6

解析：选A 由题意得，A＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.

2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD 等于 ( )

A．OM B．2OM

C．3OM D．4OM

解析：选D 依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，所以OA＋OC＋OB＋OD＝4OM，故选D.

3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )

A．(－5，－10) B．(－4，－8)

C．(－3，－6) D．(－2，－4)

解析：选B ∵a＝(1,2)，b＝(－2，m)，

∴1×m－2×(－2)＝0，

∴m＝－4.

∴2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．

4．若α∈π2，π，且sin α＝45，则sinα＋π4－22cos(π－α)的值为( )

A.225 B．－25

C.25 D．－225

解析：选B sinα＋π4－22cos(π－α)

＝22sin α＋22cos α＋22cos α

＝22sin α＋2cos α.

∵sin α＝45，α∈π2，π，

∴cos α＝－35.

∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

解析：选C a·b＝－10，则(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，所以c·a＝－52，设a与c的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a|·|c|＝－525×5＝－12，又0°

6．将函数y＝sin2x＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点－π12，0成中心对称(

)

A．向左平移π12个单位长度

B．向左平移π6个单位长度

C．向右平移π12个单位长度

D．向右平移π6个单位长度

解析：选C 函数y＝sin2x＋π3的对称中心为kπ2－π6，0，其中离－π12，0最近的对称中心为－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可．

7．函数ƒ(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)的部分图象如图所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于(

)

A．2 B．2＋2

C．2＋22 D．－2－22

解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x)＝2sin π4x.

∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋22.

8．如图，在四边形ABCD中，|AB|＋|BD|＋|DC|＝4，|AB|·|BD|＋|BD|·|DC|＝4，AB·BD＝BD·DC＝0，则(AB＋DC)·AC的值为( )

A．4 B．2

C．42 D．22

解析：选A ∵AC＝AB＋BD＋DC，AB·BD＝BD·DC＝0，

∴(AB＋DC)·AC

＝(AB＋DC)·(AB＋BD＋DC)＝AB2＋AB·BD＋AB·DC＋DC·AB＋DC·BD＋DC2＝AB2＋2AB·DC＋DC2.

∵AB·BD＝0，BD·DC＝0，

∴AB⊥BD，DC⊥BD，∴AB∥DC，

∴AB·DC＝|AB||DC|，

∴原式＝(|AB|＋|DC|)2.

设|AB|＋|DC|＝x，则|BD|＝4－x，|BD|·x＝4，

∴x2－4x＋4＝0，∴x＝2，∴原式＝4，故选A.

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)

9．在平面直角坐标系 xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．

解析：∵∠ABO＝90°，∴AB⊥OB，∴OB·AB＝0.

又AB＝OB－OA＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，

∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.

∴t＝5.

答案：5

10．已知ƒ(x)＝sin x＋π6，若cos α＝350＜α＜π2，则ƒα＋π12＝________.

解析：因为cos α＝350＜α＜π2，所以sin α＝45；

ƒα＋π12＝sinα＋π12＋π6＝sinα＋π4

＝22(sin α＋cos α)＝7210.

答案：7210

11．在△ABC中，已知sin A＝10sin Bsin C，cos A＝10cos B· cos C，则tan A＝________，sin 2A＝________.

解析：由sin A＝10sin Bsin C，cos A＝10cos Bcos C得cos A－sin A＝10cos(B＋C)＝－10cos A，所以sin A＝11cos A，所以tan A＝11，sin 2A＝2sin Acos Asin2A＋cos2A＝2tan A1＋tan2A＝1161.

答案：11 1161

12．函数f(x)＝cos2x－sin2x＋sin 2x＋1的最小正周期是________，振幅是________．

解析：f(x)＝cos2x－sin2x＋sin 2x＋1＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以最小正周期为π，振幅为2.

答案：π 2

13．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且|2a－b|＝13，则|2a＋b|＝________，向量a在向量b方向上的投影为________．

解析：|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4×22－4a·b＋32＝13，解得a·b＝3.因为|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝4×22＋4×3＋32＝37，所以|2a＋b|＝37.向量a在向量b方向上的投影为a·b|b|＝33＝1.

答案：37 1

14．已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝22，∠C＝90°，则f(x)＝________，f12＝________.

解析：依题意知，△ABC是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是12，AB＝1，故M＝12，函数f(x)的最小正周期是2，即2πω＝2，ω＝π，所以f(x)＝12cos(πx＋φ)，又函数f(x)是奇函数，所以φ＝kπ＋π2，k∈Z.

由0＜φ＜π，得φ＝π2，故f(x)＝12cosπx＋π2＝－12sin πx，则f12＝－12sinπ2＝－12.

答案：－12sin πx －12

15．有下列四个命题：

①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β；

②若函数y＝2cosax－π3的最小正周期是4π，则a＝12；

③函数y＝sin2x－sin xsin x－1是奇函数；

④函数y＝sinx－π2在[0，π]上是增函数．

其中正确命题的序号为________．

解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；

函数y＝2cosax－π3的最小正周期为T＝2π|a|＝4π，

所以|a|＝12，a＝±12，因此②不正确；

③中函数定义域是 xx≠2kπ＋π2，k∈Z，显然不关于原点对称，所以③不正确；

由于函数y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cos x，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．

答案：④

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分14分)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ.

(1)若a∥b，求a·b；

(2)若a－b与a垂直，求θ.

解：(1)∵a∥b，∴θ＝0°或180°，

∴a·b＝|a||b|cos θ＝±2.

(2)∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，

即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0，

∴cos θ＝22.

又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.

17．(本小题满分15分)已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a·b＝25，

求52sin 2α－4cosα＋π42cos2 α2.

解：∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)

＝cos 2α＋2sin2α－sin α

＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.

∵α∈π2，π，∴cos α＝－45，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，

∴52sin 2α－4cosα＋π42cos2 α2

＝52sin 2α－22cos α－sin α1＋cos α

＝52×－2425－22－45－351－45

＝－102.

18．(本小题满分15分)已知函数ƒ(x)＝2cos x·sinx＋π3－3sin2x＋sin xcos x.

(1)当x∈0，π2时，求ƒ(x)的值域；

(2)用五点法在下图中作出y＝ƒ(x)在闭区间－π6，5π6上的简图；

解：ƒ(x)＝2cos x·sinx＋π3－3sin2x＋sin xcos x

＝2cos xsin xcos π3＋cos xsin π3－3sin2x＋sin xcos x＝sin 2x＋3cos 2x

＝2sin2x＋π3.