《平面向量的正交分解及坐标表示》教案

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

【教学目标】

1、知识与技能

理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。

2、过程与方法

在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。

3、情感、态度与价值观

让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。

【教学重点】

平面向量的坐标运算。

【教学难点】

理解向量坐标化的意义。

【教学过程】

〖创设情境 导入新课〗

【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受到

斜面的力1F的作用，沿斜面下滑；

一是木块产生 斜面的压力2F，也就是说，重力G的效果等价于1F和2F的 力的效果，即：12GFF,12GFF叫做把重力G 。

类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量11e和22e，使1122aee。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。

把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x轴和y轴上分别取两个 向量i和j，则ij，且,ij可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a在基底,ij下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对,xy来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算

《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案

【教材分析】

本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；

2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.

数学学科素养

1.数学抽象：平面向量的坐标表示；

2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；

3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.

【教学重点和难点】

重点：向量的坐标表示；

难点：向量的坐标表示的理解.

【教学过程】

一、情景导入

问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察，研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本27-29页，思考并完成以下问题

1、怎样分解一个向量才为正交分解？

2、平面向量怎样用坐标表示？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

…………○1○1

我们把叫做向量的（直角）坐标，记作

…………○2○2

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.

特别地，，，.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

教学过程：

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量 二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

yjxia…………○1○1

我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作

),(yxa…………○2○2

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx.

特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA，则点A的位置由a唯一确定.

设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1） 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ba)()(2211jyixjyixjyyixx)()(2121

《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计

【教学设计构想】

1.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”，学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程.

2.将知识的数学形态转化为教学形态；教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富,承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。

3。教学重心前移；对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题，以往的教学，是将重心放在如何强化学生的解题训练上,注重解题的方法与技巧,在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。

4。还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题,形成学生认知上的冲突,才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后,要舍得给学生独立思考，与同伴交流的时间。

【教材内容地位】

本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示"，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算.

2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理,2。平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示.本节教学的内容是本单元的第2节。

【目标与目标解析】

知识与技能： 1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:(1）能写出给定向量的坐标；（2)给出坐标能画出表示向量的有向线段;

2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系,具体要求:（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；(2)向量的坐标等于终点减去起点坐标。