勾股定理的六种证明方法

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

1 勾股定理的证明

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

abcabba214214222， 整理得 222cba.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.

又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于2ba.

∴ 22214cabba. ∴ 222cba.

【证法3】（赵爽证明） DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEH 2 ababccABCDEPHGFEDCBAabcabcabcabc以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

勾股定理六种证明方法

嘿，朋友们！今天咱来聊聊勾股定理的六种证明方法呀！

先来说说第一种，拼图法。这就好比是搭积木，把不同的图形拼在一起，嘿，奇迹就出现啦！通过巧妙地组合，就能直观地看出勾股定理的奥秘。

第二种呢，是面积法。把图形的面积算来算去，就像在玩数字游戏，突然之间，哇哦，勾股定理就被发现啦！你说神奇不神奇？

然后是赵爽弦图法。这个方法就像是一个神奇的魔法阵，通过那些线条和图形的排列组合，一下子就把勾股定理给呈现出来了。

还有总统证法呢！连总统都来研究勾股定理啦，这多有意思呀！想象一下，总统在那苦思冥想，终于找到了证明的方法，是不是很有画面感？

再有就是相似三角形法。就好像在一群相似的小伙伴中找不同，找到那些关键的点，就能解开勾股定理的秘密啦。

最后一种是射影定理法。这就像是一束光打在墙上，影子的变化中藏着勾股定理的答案呢。

哎呀，这六种证明方法，每一种都有它独特的魅力和乐趣呀！它们就像是打开数学宝藏的不同钥匙，每一把都能让我们看到勾股定理不一样的精彩。你说数学是不是很神奇呢？它就像一个无边无际的宇宙，等着我们去探索，去发现那些隐藏在其中的奥秘。

通过这些证明方法，我们可以更深刻地理解勾股定理，而不仅仅是记住一个公式。这就像是了解一个人的内心，而不只是看到他的外表一样。当我们真正理解了勾股定理，我们就能在数学的世界里更加自由地遨游，解决各种难题，发现更多的惊喜。

所以呀，朋友们，不要害怕数学，不要觉得它很难。只要我们用心去探索，去尝试，就一定能发现它的乐趣和美妙。勾股定理的六种证明方法就是一个很好的例子呀，它们让我们看到，数学并不是枯燥无味的，而是充满了智慧和惊喜的呢！让我们一起在数学的海洋里畅游吧！

勾股定理20种证明方法

1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。

2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。

3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。

4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。

5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。

6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。

7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。

8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。

9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。这可以通过暴力算法或递推算法来实现。

10. 利用反证法证明勾股定理。假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。

11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。

12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。

13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。

14. 利用圆的性质证明勾股定理。将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。

15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。