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高中数学：2.1.1 椭圆及其标准方程二 教案 (北师大选修1-1)

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PF2F1第二章 圆锥曲线与方程

2.1.1 椭圆及其标准方程

教学过程：

一、复习引入：

1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年至间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长

（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

2.复习求轨迹方程的基本步骤：

3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在

画图板上的21,FF两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉

近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆

分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？

（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

答：两个定点，绳长

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

二、讲解新课：

1 椭圆定义：

平面内与两个定点21,FF的距离之和等于常数（大于||21FF）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定

（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定

思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）

由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下一节学习离心率概念作铺垫)

2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点21,FF的直线为x轴，线段21FF的垂直平分线为y轴

设),(yxP为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c2（0c）.

则)0,(),0,(21cFcF，又设M与21,FF距离之和等于a2(ca22)（常数） 彗星太阳aPFPFPP221

221)(ycxPF又，

aycxycx2)()(2222，

化简，得 )()(22222222caayaxca，

由定义ca22,022ca

令222bca代入，得 222222bayaxb，

两边同除22ba得 12222byax

此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是)0,()0,(21cFcF，中心在坐标原点的椭圆方程 其中222bca

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换yx,轴）焦点则变成),0(),,0(21cFcF,只要将方程12222byax中的yx,调换，即可得

12222bxay，也是椭圆的标准方程

理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这两个标准方程中，都有0ba的要求，如方程),0,0(122nmnmnymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1byax类比，如12222byax中，由于ba，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看22,yx分母的大小)

三、讲解范例：

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23,25） PF2F1xOyPF2F1xOy解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

12222byax

)0(ba

9454,582,10222222cabcaca

所以所求椭圆标准方程为192522yx

⑵ 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

12222bxay )0(ba

由椭圆的定义知，

22)225()23(2a＋22)225()23(

10211023102

10a 又2c

6410222cab

所以所求标准方程为161022xy

另法：∵ 42222acab

∴可设所求方程142222axay，后将点（23,25）的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程

点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；

题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出a与b长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程

四、课堂练习：

1 椭圆192522yx上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

A.5 B.6 C.4 D.10

2.椭圆11692522yx的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)

3.已知椭圆的方程为18222myx，焦点在x轴上，则其焦距为（

）

A.228m B.2m22

C.282m D.222m

4.1,6ca,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

5.方程1)42sin(322yx表示椭圆，则的取值范围是（ ）

Ａ.838 Ｂ.kkk(838∈Ｚ）

Ｃ.838 Ｄ. kkk(83282∈Ｚ）

参考答案：

1.A2.C3.A4.1353622xy 5. Ｂ

五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:

①椭圆的定义中, 022ca；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；

③a、b、c的几何意义

六、板书设计（略）

七、课后记：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)

(1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：19y16x22；121x25y22）

(2) 已知三角形ΔABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：116y25x22

若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，

其方程为：125y16x22

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高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计

高中数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程公开课教学设计

第1页，共4页 §2.2.1 椭圆及其标准方程

■ 一、三维目标————————————————————————————————

（一）知识与技能

1. 掌握椭圆的定义和标准方程；2. 会求简单的椭圆方程；

（二）过程与方法

1.经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。3.在数学思想方法的不断渗透过程中，学生能自觉利用数学思想方法分析和解决问题。

（三）情感、态度与价值观

1.充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识。2.重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣。3.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风。4.通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

■ 二、教学重点与难点—————————————————————————————————

1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用 2. 难点：标准方程的建立与推导

■ 三、教学过程设计——————————————————————————————

教学过程 教师行为 设计意图 教师技能 学情预测

以

境

激

情

材料1：行星运行模拟轨道图.

材料2：北京南站建筑

材料3: 珠宝

材料4：镜子

材料5：丰田车标

展示生活中椭圆图片

设问1：请大家观察，我们能从中发现哪种共同的几何图形呢？

设问2：生活中处处都有这种美丽的曲线，我们称之为椭圆，怎样的曲线才是严格意义上的椭圆呢？是不是我们随手画的扁些的圆都是椭圆呢？我们这节课共同来认识椭圆。 利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生充分认识生活中的椭圆，明确本节课的研究方向，为下面学习做好心理准备。 导入

高中数学北师大版必修二：2.1.1椭圆及其标准方程

高中数学北师大版必修二：2.1.1椭圆及其标准方程

第二章1.1《椭圆及其标准方程》教学设计

教师 区县 课时 1课时

课题 椭圆及其标准方程 课型 新授课

教材分析 椭圆及其标准方程是平面解析几何中的重要基础知识,也是圆锥曲线的基础。这段教材内容承上启下，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，是学习其他圆锥曲线的基础和示范，也是对学生探索问题和解决问题能力的初步培养。

教学目的 1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导，能根据椭圆标准方程求焦距和焦点, 会根据条件写出椭圆的标准方程。

2、过程与方法目标：注重数形结合，掌握解析法是研究几何问题的一般方法，注重探索能力的培养。

3、情感、态度和价值观目标：

(1) 培养学生建立运动、变化的观点，训练其动手能力；

(2) 通过小组合作，培养学生团结友爱、相互协作的精神。

重点 椭圆的定义及其标准方程

(解决办法：通过学生自己动手画图和模型演示，引导学生归纳出椭圆的定义；利用“坐标法”引导并带领学生对椭圆的标准方程加以推导，再通过相应例题让学生体验并掌握之。)

难点 椭圆标准方程的推导与化简，坐标法理解与应用

(解决办法：（师生互动）引导学生进行推导，每步作以引导与讲解，关键步骤与学生不解之处加以解释、说明)

教学

环节 教 学 内 容 设计意图

创设情境、导入新课 情 境：近几年中国的“神5、神6、神7、神8”等飞船试验成功，实现了中国人的飞天梦想。

问题1：飞船绕着地球飞行，运行的轨迹是什么？

在我们实际生活中，同学们能举出一些相同图形的实例吗？ 通过现实情境,活跃课堂气氛，引起学生的学

教

学

过

程

多媒体展示图片：油罐车横截面、鸡蛋横截面、北京现代车的标志形状等（由学生通过观察生活中的事物来回答）

问题2：回顾圆的画法及定义，想想椭圆的呢？ 习探究新知的积极性，使学生初步认识、了解椭圆.

学生实践与动画演示 1、请同学们将提前准备好的一根无弹性的细绳的两端固定在纸面上的F1和F2两点，用铅笔尖（M）把绳子勾紧使笔尖在纸上慢慢移动，观察笔尖的轨迹是什么图形?

新人教A版高中数学(选修1-1)2.1《椭圆》word说课教案

新人教A版高中数学(选修1-1)2.1《椭圆》word说课教案

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授课教师:苏彦斌(恩平一中)

教材：人教版高中选修1-1

（一） 教材分析

一．教材地位

《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.

二．教材特点

1、由于本章节难度教大，学生普遍觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.

2、本章节的概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果.

三.教学重点、难点

教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.

教学难点：椭圆标准方程的推导和应用.

（二）目的分析

1．知识与技能目标：学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想.

2．过程与方法目标：通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.

3．情感态度与价值观：引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.

（三）、教法分析

1、教法及设计目的

应用实物模型导入新课，目的是要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来.

在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先给学生直观的感性的认识.接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力.

本课主要采用探究式教学方法，即“观察对象－问题引导－讨论探究－得出结论”的探究式教学方法.在教学上是以多媒体和演示板作为教学手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并自己动手分析.

北师大选修1-1数学教案

北师大选修1-1数学教案

北师大选修1-1数学教案

【篇一：北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识归纳：双曲线】

2.2 双曲线

2.2.1双曲线及其标准方程

1、定义：平面内与两个定点f1、f2的距离的差的绝对值等于常数（小于|f1f2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.

x2y2y2x2

2、标准方程：2?2?1(a＞0,b＞0)或2?2?1(a＞0,b＞0) abab

3、a、b、c三者之间的关系：a2+b2=c2

4、与椭圆定义对照，比较两者有什么相同点与不同点？

两者都是平面内动点到两个定点的距离问题，两者的定点都是焦点，两者定点间的距离都是焦距，所不同的是椭圆是距离之和，双曲线是距离之差的绝对值.

5、椭圆是平面内到两定点的距离和为常数的点的轨迹，双曲线是平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹，只说“差”不行吗？为什么要加“绝对值”三个字呢？

只说差表示双曲线的一支，加上“绝对值”三个字，才能表示整条双曲线.

6、双曲线的定义中为什么要强调常数——差的绝对值小于|f1f2|呢？

如果差的绝对值即常数等于|f1f2|，那么图形为两条射线；如果差的绝对差即常数大于|f1f2|，那么无轨迹.

2.2.2 双曲线的简单几何性质

1、范围：双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内；

2、对称

性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.

x2y2

4、实（虚）轴：双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)与y轴没ab

有交点，但我们也把b1（0，-b),b2（0，b）画在y轴上. 线段

a1a2叫做双曲线的实轴，线段b1b2叫做双曲线的虚轴，实轴

的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，

焦点始终在实轴上. cc

5、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a叫做双曲线的离心率.e=a且e∈(1,+∞)，这是因为c＞a＞0.