教师公开招聘考试中学数学(数学思想方法)模拟试卷2(题后含答案及解析)

教师公开招聘考试中学数学（数学思想方法）模拟试卷2 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 3. 解答题

选择题

1． 直线y=2x一6关于y轴对称的直线的解析方式是( )

A．y=2x+6

B．y=一2x+6

C．y=一2x一6

D．y=2x一6

正确答案：C

解析：可从直线y=2x一6上找两点：(0，一6)、(3，0)这两个点关于y轴对称点是(0，一6)、(一3，0)，那么这两个点在直线y=2x一6关于y轴对称的直线y=kx+b上，则b=一6，一3k+b=0，解得k=一2，∴y=一2x一6．故选

C．

2． 如果实数x、y满足条件那么2x—y的最大值为( )

A．2

B．1

C．一2

D．一3

正确答案：B

解析：作出可行域，如图所示，令z=2x—y，则y=2x—z，要求z的最大值，即一z有最小值，当直线2x一y=z过点(0，一1)时，z最大，最大值为zmax=1．故选

B．

3． 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f’(x)．g(x)+f(x)．g’(x)＞0，且g(一3)=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )．

A．(一3，0)∪(3，+∞)

B．(一3，0)∪(0，3)

C．(一∞，一3)∪(3，+∞)

D．(－∞，一3)∪(0，3)

正确答案：D

解析：设F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(x)=f(一x)g(一x)=一f(x)g(x)=一F(x)，即F(x)为奇函数．又当x＜0时，F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数．因为奇函数在对称区

间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数．因为F(一3)=f(－3)g(一3)=0=F(3)．如图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(一∞，一3)∪(0，3)，故选

D．

解答题

4． 如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b．

正确答案：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行，故直线a，b相交，设交点为A，则A在直线b上，故A在平面α上．所以，直线a与平面α相交于点A，这与条件“直线a平行于平面α矛盾，因此，假设不成立，即有“直线a平行于直线b”．

5． 已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．

正确答案：假设p+q＞2，则q＞2一p．∴q3＞8—12p+6p2－p3．∴p3+q3＞8—12p+6p2=6(p2－2p+1+)=2+6(p－1)2．由此可知：p3+q3≠2，这与已知矛盾．∴p+q≤2．

6． 已知△ABC中，AB=BC=AC，D是三角形内任一点，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，E、F、G是垂足．求证：DE+DF+DG是一个定值．

正确答案：连结DA、DB、DC，设△ABC的边长为，∵S△ABC=S△DBC+S△DCA+S△DAB，∴a(DE+DF+DG)．∴DE+DF+DG=hA．∵等边三角形的高ha是一个定值，∴DE+DF+DG是一个定值．

7． 如图已知：△ABC中，的值。

正确答案：∵△ADF和△ABC有公共角A，∵S△DEF=S△ABC—S△ADF－S△BED－S△CEF=S△ABC一3×．∴．

8． 已知在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠AB

C．求证：BC=BD+A

D．

正确答案：在BC上分别截取BE=BA，BF=B

D．易证得．∴AD=ED，∠A=∠BED=100°．由已知可得：∠C=40°，∠DBF=20°．又∵BF=BD，∴∠BFD=80°．∴∠DFC=100°，故∠CDF=40°=∠

C．∴CF=DF．∵∠BED=100°，∴∠BFD=∠DEF=80°，∴ED=FD=CF，∴AD=CF，∴BC=BD+A

D．

9． 已知f(x)=一xn+cx，f(2)=一14，f(4)=一252，求y=的定义域，并判定其在上的单调性．

正确答案：．∴f(x)=一x4+x，解f(x)＞0得：0＜x＜1．设＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)=一x14+x1一(一x22+x2)=(x1一x2)[1一(x1+x2)(x12+x22)]，∵x1+x2＞，x12+x22＞，∴(x1+x2)(x12+x22)＞=1．∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(，1)上是减函数．∴＜1，∴由复合函数的单调性得y=上是增函数．

10． 已知数列，…．Sn为其前n项和，求S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明．

正确答案：计算得S1=(n∈N)．当n=1时，等式显然成立；假设n=k时等式成立，即：Sk=，由此可知，当n=k+1时等式也成立．综上所述，等式对任何n∈N都成立．

11． 设数列｛an｝的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn=，证明数列｛an｝是等差数列．

正确答案：设a2－a1=d，猜测an=a1+(n一1)d．当n=1时，a1=a1，∴当n=1时猜测正确．当n=2时，a1+(2—1)d=a1+d=a2，∴当n=2时猜测正确．假设当n=k(k≥2)时，猜测正确，即：ak=a1+(k一1)d，当n=k+1时，ak＋1=Sk＋1一Sk=，将ak=a1+(k－1)d代入，得到2ak＋1=(k+1)(a1+ak＋1)－2ka1－k(k－1)d，整理得(k一1)ak＋1=(k一1)a1+k(k一1)d，又因为k≥2，所以ak＋1=a1+kd，即n=k+1时猜测正确．综上所述，对所有的自然数n，都有an=a1+(n－1)d，从而数列｛an｝是等差数列．

椭圆：=1上有两点P、Q，0为原点．连OP、OQ，若kOP．kOQ=，

12． 求证：｜OP｜2+｜OQ｜2等于定值；

正确答案：由，P(4cosθ1，2sinθ1)，Q(4cosθ2，2sinθ2)，则kOP．kOQ=，整理得到：cosθ1．cosθ2+sinθ1．sinθ2=0，即cos(θ1－θ2)=0．∴｜OP｜2+｜OQ｜2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=8+12(cos2θ1+cos2θ2)=20+6(cos2θ1+cos2θ2)=20+12cos(θ1+θ2)cos(θ1－θ2)=20，即｜OP｜2+｜OQ｜2等于定值20．

13． 求线段PQ中点M的轨迹方程。

正确答案：由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为．所以有()2+y2=2+2(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)=2+2cos(θ1－θ2)=2，即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为：=1．

14． 实数a、b、c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．

正确答案：由a+b+c=1，设，其中t1+t2+t3=0，∴a2+b2+c2=(t1+t2+t3)+t12+t22+t32=+t12+t22+t32≥，所以a2+b2+c2的最小值是．

15． 求方程=10sinx实根的个数．

正确答案：原方程变形为lgx=2sinx，∵≤x≤100．但与100显然不是方程的根，故x∈(0．01，100)，也有｜lgx｜＜2，作y=lgx，y=2sinx的图象，如图，不难看出交点只在正值区间上存在，由于31π＜100＜32π，比较(2k一1)π＜100＜2kπ(k∈N)，得k=16，说明y=2sinx，在x∈(0．01，100)内有且仅有16个正值区间，又y=lgx严格递增，且lgx＜2与y=2sinx的图象除(0，π)有一个交点外，在其余15个正值区间均有两个交点，即方程有31个实根．

16． 已知二次函数的图象过原点及(4，0)点，且顶点到x轴的距离等于2，求二次函数的解析式．

正确答案：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)．∵二次函数的图象过(0，0)点及(4，0)点，∴c=0，16a+4b=0，即4a+b=0．设二次函数顶点的纵坐标为m，则｜m｜=2，∴=±2，∴b2=8a或b2=一8a．解方程组，将b=一4a代入得，(一4a)2=8a，16a2=8a，2a2－a=0．∴a=0(舍去)，a=．∴b=一2．解方程组，将b=－4a代入，得16a2=一8a．∴2a2+a=0，∴a=0(舍去)或a=，∴b=2．∴所求的二次函数的解析式为y=x2一2x或y=x2+2x．

17． 已知△ABC中，∠A=30°，BC=6，AC=，求AB的长．

正确答案：作CD⊥AB，交直线AB于D，∴∠A=30°，AC=，∴CD=A

C．sin∠A=．∵CD＜，即CD＜6，∴CD＜B

C．∴点D在线段AB上或在线段AB的延长线上．(1)当点D在AB上时，如图①在Rt△ADC中，∵，AD=C

D．tan60°==9，在Rt△CDB中，DB==3，∴AB=AD+DB=9+3=12．(2)当点D在AB延长线上时，如图②，则AD=9，BD=3，∴AB=AD—BD=9—3=6，综上，AB的长为12或6．

18． 如果方程cos2x—sinx+a=0在(0，]上有解，求a的取值范围．

正确答案：把方程变形为a=sinx—cos2x，设f(x)=一cos2x+sinx，x∈(0，]．显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a=f(x)有解．∵f(x)=－cos2x+sinx=－(1一sin2x)+sinx=sin2x+sinx一1=．且由x∈(0，]知sinx∈(0，1]．故f(x)的值域为(一1，1]，因此a的取值范围是(一1，1]．

19． 若a∈[一1，3]，解不等式x2一ax＞3x－2a+1．