《用字母表示数》示范教学方案

第三章整式及其加减

用字母表示数

一、教学目标

1．经历探索规律并用字母表示规律的过程．

2．能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式．

3．体会字母表示数的意义，形成初步的符号感．

二、教学重点及难点

重点 :体会字母表示数的意义，掌握用字母表示数的方法.

难点 : 探索规律，用字母表示数来表示数量关系.

三、教学准备

多媒体课件

四、相关资源

动画

五、教学过程

【新知讲解】

（一）情境导入，初步认识

一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；……”．

同学们怎么算呢？

嘴数＝只数，眼睛数＝只数×2，腿数＝只数×4

设计意图：以学生喜欢的游戏的方式引入，让学生感受数学的奥妙，激发学生的求知欲.

（二）用字母表示数

活动1．字母表示数字规律

（1）数字：比如偶数、奇数的表示．

偶数：能被2整除的整数叫做偶数，如0，±2，±4，±6，….如果用k表示任意一个整数，那么2k就表示偶数．

奇数：不能被2整除的整数叫做奇数，如±1，±3，±5，±7，….如果用k表示任意一个整数，那么2k－1或2k＋1就表示奇数．

（2）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段的行驶

速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回答下列问题：①列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？

②如果用v表示速度，列车 t h行驶的路程是多少？

师生活动：学生独立回答后在教师引导下归纳：字母可以用来表示数．书写时要注意：①数与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“·”或省略不写；②数与字母相乘时数字在前．

解：①列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，根据速度、时间和路程之间的关系：路程＝速度×时间．

故列车2 h行驶的路程（单位：km）是：100×2＝200；

列车3 h行驶的路程（单位：km）是：100×3＝300；

列车t h行驶的路程（单位：km）是：100×t＝100t．

②如果用v表示速度，列车 t h 行驶的路程是：v×t＝vt．

归纳总结：（1）①字母可以表示任何数，如a可以表示正数，可以表示负数，也可以表示0；②问题中的数量关系可以用含有字母的式子表示．

（2）用字母表示数的特点：

①一般性：用字母表示数更能反映数字或事物的一般性．

②限制性：字母的取值应使具体式子有意义且符合实际情况．

(3)字母表示数时应注意的问题：

①同一问题中，不同的量要用不同的字母表示；不同的问题中，不同的量可以使用相同的字母，但字母的含义不同．

②用字母表示几个数的和差，并且后面有单位时，要把和差用括号括起来．

设计意图：学生通过范例感受字母可以表示数，字母可以参与运算，进一步激发学生思考以前学习过的用字母表示的有理数的运算律有哪些特点，使学生加深对公式和运算律的理解．通过对比，使学生初步感受字母表示数的优点．

此图片是动画缩略图，本动画资源给出一个两位数，通过一定规则，探索结果的规律，加深对用字母表示数，适用于用字母表示数的教学.若需使用，请插入【数学探究】两位数数字游戏.

活动2. 用字母表示运算律和公式

（1）如果用a，b，c分别表示有理数，那么

加法交换律可以表示成：a＋b＝b＋a；

加法结合律可以表示成：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

乘法交换律可以表示成：a·b＝b·a；

乘法结合律可以表示成：(a·b)·c＝a·(b·c)；

乘法分配律可以表示成：a(b＋c)＝ab＋ac.

(2)字母表示公式

①在行程问题中，路程＝时间×速度．

如果用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么这个公式就可写成：s＝vt.

②如果用a表示长方形的长，b表示长方形的宽，S表示长方形的面积，l表示长方形的周长，那么S＝ab，l＝2(a＋b)．

③如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，l表示圆的周长，那么S＝πr2，l＝2πr.

④如果用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，用S表示三角形的面积，那么三角形的面积公式可以表示为S＝12ah.

（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ，体积是 .

(2)若长方形的长为a cm，宽为b cm，则周长为________cm，面积为________cm2.

（3）设n表示一个数，则它的相反数是 ；

（4）铅笔的单价是x元，钢笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则钢笔的单价是 元.

（5）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为 千米.

设计意图：通过交流、讨论，使学生对用字母表示数由感性认识上升到理性认识，从而加深学生对新知识的理解和掌握，突破重点和难点．

此图片是动画缩略图，本动画资源利用火柴棍按规律摆正方形，找出图形特征和规律，求出所需火柴棍个数的表达式，适用于用字母表示图形规律的教学.若需使用，请插入【数学活动】利用火柴棍按规律摆图形-正方形.

活动3．用字母表示图形规律

图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．

用字母表示图形中的规律的方法及步骤：

①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；

②用字母列出式子．

用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的；规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．

（1）用火柴棒搭正方形：

搭1个正方形需要4根火柴棒．

（1）按上图方式，搭2个正方形需要_______根火柴棒，搭3个正方形需要_______根火柴棒．7、10

（2）搭10个这样的正方形需要_____根火柴棒．31

（3）搭100个这样的正方形需要_____根火柴棒．你是怎样得到的？301

（4）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒？

小陈：如下图，第一个正方形用4根．

后面，每增加一个正方形，多用3根，x个正方形共用[4＋3（x－1）]根．

小方：如下图，先搭1根．

后面每增加一个正方形，多用3根．x个正方形共用（1＋3x）根．

小林：如下图，先搭3根．

后面，每增加3根，就多一个正方形，最后再补上1根，成了a个正方形．a个正方形共用（3x＋1）根．

小经：如下图，上边a根，下边a根，中间（a＋1）根，a个正方形共用[x＋x＋（x＋1）]根．

小青：如下图，每个正方形算4根，a个正方形共计4a根，其中要扣除重复计算的（a－1）根，实际需要 [4x－（x－1）]根．

小陈、小方、小林、小经、小青五个人所找的规律一样吗？

师生活动：四个人一组交流、讨论，各小组代表汇总、汇报．教师巡查，并引导学生归纳总结．

4＋3（a－1）＝4＋3a－3（分配律）

＝1＋3a（交换律和结合律）

所以，小陈、小方、小林的结果相同．

a＋a＋（a＋1）＝a＋a＋a＋1＝3a＋1（三个数的和等于这个数的3倍）

所以，小林、小经的结果相同．

因为a－1的相反数是1－a，且减去一个数等于加上这个数的相反数．

所以4a－（a－1）＝4a＋（1－a）

＝4a＋1－a

＝4a－a＋1

＝3a＋1．

所以，五个人的结果都相同．

总之，用火柴棒搭a个正方形，需要（3a＋1）个火柴棒．

设计意图：数学使我们增长了才干，提高了解决实际问题的本领．

【典型例题】

例1. 填空：

（1）苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；

（2）某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年

的产量；

（3）一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，用式子表示它的体积；

（4）用式子表示数n的相反数.

师生活动：学生先思考，然后和同桌交流，学生代表板演展示，再让学生互评．

解：（1）现价是每千克0.8p元；

（2）去年的产量是mn件；

（3）包装盒的体积是：a·a·h cm3 即a2h cm3；

（4）数n的相反数是-n.

设计意图：熟悉用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系，理解字母可以像数一样参与运算，为形成单项式的概念做铺垫．

例2. 观察下列各式：x，2x2，3x3，4x4，…，

按此规律，第n个式子是________．

解：观察数字变化特点是：连续自然数，字母诉指数变化依次比邻近的前一个字母次数多一．

所以按此规律，第n个式子是nxn．

师生活动：学生通过观察，分析，归纳，发现规律，并用含字母的式子表示一般结论．

问题：上面的问题中，既有已知数，又有用字母表示的未知数，用含有字母的式子表示数量关系有什么意义？

师生活动：学生思考，由一名学生回答，全班学生订正，教师补充．

小结：用字母表示数，字母和数一样可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．

设计意图：进一步理解用字母表示数的意义，理解用含有字母的数学式子表示实际问题中的数量关系的简洁性、必要性和一般性．

【随堂练习】

1 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；

（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买

3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；

（3）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积；

（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积.