高中数学第四章4.3.1对数的概念课时作业(含解析)新人教A版必修第一册

对数函数的概念(15分钟30分)1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，则f(1)等于( )A.3B.C.1D.0【解析】选D.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，所以解得a=2，所以f(x)=log2x，所以f(1)=log21=0.2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )A.y=log1.05xB.y=log1.005xC.y=log0.95xD.y=log0.995x【解析】选B.y天后，x=1.005y，即y=log1.005x.3.函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域是_______.【解析】因为对数函数定义域是(0，+∞)，所以3+2x-x2>0，所以-1<x<3，因此函数的定义域为(-1，3).答案：(-1，3)4.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，则a=_______.【解析】因为函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，所以解得a=4.答案：45.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A.(1)若-1∉A，-3∈A，求实数a的取值范围.(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意，得解得2≤a<，故实数a的取值范围为.(2)由题意，得x2+ax+1>0的解集为R，得Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，所以实数a的取值范围是(-2，2).(25分钟50分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·河西高一检测)函数f(x)=ln(2x-4)的定义域是( )A.(0，2)B.(0，2]C.[2，+∞)D.(2，+∞)【解析】选D.要使f(x)有意义，则：2x-4>0，所以x>2.所以f(x)的定义域为(2，+∞).2.设f(x)是对数函数，且f()=-，那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1).由条件得log a=-，即log a=-，则a=.因此f(x)=x，所以f()==-.3.(2020·重庆高一检测)函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为( )A.[1，+∞)B.(0，1)C.[-1，1]D.[0，1]【解析】选D.令g(x)=ax2+2x+a，因为函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，所以g(x)的值域包含(0，+∞).①当a=0时，g(x)=2x，值域为R⊇(0，+∞)，成立.②当a≠0时，要使g(x)的值域包含(0，+∞)，则，解得0<a≤1.综上，a∈[0，1].【误区警示】本题容易忽视a=0的情况.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数表达式中，是对数函数的有( )A.y=log e xB.y=lo xC.y=log4x2D.y=log2(x+1)【解析】选AB.A中y=log e x是对数函数；B中y=lo x是对数函数；C中y=log4x2不是对数函数；D中y=log2(x+1)不是对数函数.三、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020·杭州高一检测)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是_______.【解析】由，解得：-<x<1.所以函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是答案：6.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过 y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位.(1)y与x的关系式为_______；(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_______小时(精确到0.1).(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)【解析】(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x=(1-20%)y×1=0.8y，即y与x的关系式为 y=log0.8x，0<x≤1.(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，令x=，则y=log0.8=≈7.2，所以y≤7.2.所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.答案：(1)y=log0.8x，0<x≤1 (2)7.2四、解答题(每小题10分，共20分)7.已知f(x)=log a，(a>0，且a≠1).(1)证明f(x)为奇函数.(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为：，解得f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为{x|-1<x<1}.因为f(x)=log a，(a>0，且a≠1)，所以f(-x)=log a=-log a=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=log a(a>0，且a≠1)，所以由f(x)>0，得log a>log a1，当0<a<1时，有0<<1，解得-1<x<0；当a>1时，有>1，解得0<x<1；所以当a>1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(0，1)，当0<a<1时，使f(x)>0成立的x 的取值范围是(-1，0).8.求下列函数的定义域.(1)y=.(2)y=log|x-2|(25-5x).【解析】(1)要使函数有意义，需即即-3<x<-2或x≥2，故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞). (2)要使函数有意义，需即所以x<2，且x≠1，故所求函数的定义域为(-∞，1)∪(1，2).。

2019-2020学年新人教A 版必修一 4.3.1 对数的概念 课时作业1．若log x 4＝2，则x 的值为( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D. 2答案 B2．若b ＝a 2(a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2b ＝a B ．log 2a ＝b C ．log b a ＝2 D ．log a b ＝2 答案 D3．在对数式中log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1＜x ＜3 B ．x ＞1且x ≠2 C ．x ＞3 D ．1＜x ＜3且x ≠2 答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3且x ≠2.4．若log x 3y ＝4，则x ，y 之间的关系正确的是( ) A ．x 4＝3y B ．y ＝64x C ．y ＝3x 4 D ．x ＝3y 2答案 A解析 log x 3y ＝4＝log x x 4，则x 4＝3y .5．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－3C ．log 39＝2与32＝9D ．log 55＝1与51＝5 答案 B6．已知log 2x ＝4，则x －12＝( )A.13B.123 C.33 D.14答案 D7．与函数y ＝10lg(x －1)的图像相同的函数是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝|x －1|C ．y ＝x 2－1x ＋1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12答案 D解析 y ＝10lg(x －1)＝x －1(x >1)．8．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2 C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B9．若f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B10．的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52 D ．1＋52答案 B 11．log 333＝________.答案 312．求下列各式的值．(1)log 1515； (2)log 0.41； (3)log 981； (4)log 2.56.25; (5)log 7343; (6)log 3243. 答案 (1)1 (2)0 (3)2 (4)2 (5)3 (6)5 13．求x 的值．答案 (1)－2 (2)14 (3)75 (4)12 (5)11614．求值：(1)log 84； (2)解析 (1)设log 84＝x ，则8x ＝4，即23x ＝22，15．若log 2[log 0.5(log 2x )]＝0，求x 的值．解析 由条件知log 0.5(log 2x )＝1＝log 0.50.5， 得log 2x ＝12＝log 22，从而x ＝ 2. 16．解析＝12－27＋13 ＝23－33＋13＝－233. ►重点班·选做题17．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，集合B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝__________.答案 {1,2,5}解析 由A ∩B ＝{2}，知log 2(a ＋3)＝2， 得a ＝1，由此知b ＝2.故A ∪B ＝{1,2,5}． 18．设x ＝log 23，求23x －2－3x 2x －2－x 的值．解析 23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x －2－x )(22x ＋1＋2－2x )2x －2－x ＝22x＋1＋2－2x ＝919.1．已知6a ＝8，试用a 表示下列各式： (1)log 68； (2)log 62； (3)log 26. 解析 (1)log 68＝a .2．已知log a b ＝log b a (a >0且a ≠1；b >0且b ≠1)，求证：a ＝b 或a ＝1b .【证明】 令log a b ＝log b a ＝t ，则a t ＝b ，b t ＝a . ∴(a t )t ＝a ，则at 2＝a ，∴t 2＝1，t ＝±1. 当t ＝1时，a ＝b ；当t ＝－1时，a ＝1b . 所以a ＝b 或a ＝1b .。

课时作业30 对数的概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( B ) A ．a <12且a ≠1 B ．0<a <12 C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析：由对数的概念可知，使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，－2a ＋1>0，解得0<a <12.2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( C )解析：log 39＝2应转化为32＝9.3．有以下四个结论：①lg(lg10)＝0；②ln(lne)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2，其中正确的是( A )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 解析：③中，由10＝lg x ，得x ＝1010，故③错； ④中，由e ＝ln x ，得x ＝e e ，故④错．( B )A ．35B.357C.735 D ．－7解析：5．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n 等于( D ) A ．3 B.34 C ．9 D.92 解析：由已知得a m＝12，a n＝3.所以a m ＋2n ＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D. 6．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19 B ．x ＝33 C ．x ＝ 3D ．x ＝9解析：2 log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 二、填空题＝12.解析：由已知得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，8．lg(lne)＋log 2(2·lg10)＝1. 解析：ln e ＝1，lg10＝1，故原式＝lg1＋log 2(2×1)＝0＋1＝1.9．已知log 3(log 4x )＝0，log 2(log 3y )＝1，则x ＋y ＝13.解析：由已知得log 4x ＝1，故x ＝4， log 3y ＝2，故y ＝32＝9. 所以x ＋y ＝4＋9＝13. 三、解答题10．求下列对数的值：解：(3)设log 93＝x ，则9x ＝3，即32x ＝3. ∴x ＝12.设log 212＝y ， 则2y＝12＝2－1.∴y ＝－1.∴log 2(log 93)＝－1. 11．计算下列各式：解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.——能力提升类——12．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， 则f (f (2))＝f (1)＝2e 0＝2，故选C.13．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x >0且x ≠1)，则log x (abc )＝( D )A.47 B.27 C.72D.74解析：x ＝a 2＝b ＝c 4，所以(abc )4＝x 7，14．已知lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0，则b a ＝110. 解析：∵lg a ＝2.431 0，lg b ＝1.431 0， ∴a ＝102.431 0，b ＝101.431 0.∴b a ＝101.431 0102.431 0＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝110. 15．已知x ＝log 23，求23x －2－3x2x －2－x 的值．解：解法1：∵23x＝(2log 23)3＝33＝27,2－3x ＝123x ＝127，2x ＝2 log 23＝3,2－x ＝12x ＝13，∴原式＝27－1273－13＝919.解法2：∵x ＝log 23，∴2x ＝3，∴23x －2－3x 2x －2－x ＝(2x )3－(2x )－32x －(2x )－1＝33－3－33－3－1＝27－1273－13＝919.由Ruize收集整理。

4.3.1 对数的概念【学习目标】课程标准学科素养1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).1、直观想象2、数学运算【自主学习】一．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是.二.常用对数与自然对数三.对数的基本性质(1)负数和零对数.(2)log a1＝(a>0，且a≠1).(3)log a a＝(a>0，且a≠1).(4)对数恒等式a log a N＝(a>0且a≠1，N >0).【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．()【经典例题】题型一指数式与对数式的互化点拨：指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.例1 根据对数定义，将下列指数式写成对数式：①3x ＝127； ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝64； ①log 1612＝－14； ①ln 10＝x .【跟踪训练】1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 点拨:①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.例2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.【跟踪训练】2 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.①log 0.41＝________.①ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值.①log 64x ＝－23；①log x 8＝6； ①lg 100＝x ；①－ln e 2＝x .题型三 对数基本性质的应用 点拨：利用对数性质求值的方法(1)性质 log a 1＝0 log a a ＝1 (a >0，且a ≠1).(2)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a (log b c )的值，先求log b c 的值，再求log a (log b c )的值．(3)对数恒等式a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)例3 求下列式子值。

4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．(多选)下列函数是指数函数的有( ) A ．y ＝x 4B ．y ＝(12)xC ．y ＝22xD ．y ＝－3x2．已知某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……依此类推,那么1个这样的细胞分裂3次后,得到的细胞个数为( )A ．4个B ．8个C ．16个D ．32个3．如果指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)的图象经过点(2,4),那么a 的值是( ) A ． 2 B ．2 C ．3 D ．44．若函数f (x )是指数函数,且f (2)＝2,则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．(12)xD ．(22)x5．已知f (x )＝3x －b(b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (4)的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．86．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，3x ，x >0，则f (f (－1))＝( )A ．2B ． 3C ．0D ．127．已知函数y ＝a ·2x和y ＝2x ＋b都是指数函数,则a ＋b ＝________．8．已知函数f (x )是指数函数,且f (－32)＝525,则f (3)＝________．关键能力综合练1．若函数y ＝(m 2－m －1)·m x是指数函数,则m 等于( ) A ．－1或2 B ．－1 C ．2 D ．122．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋3，x ≤0，则f (f (－2))的值为( )A ．14B ．12C ．2D ．43．若函数f (x )＝(12a －1)·a x是指数函数,则f (12)的值为( )A ．－2B ．2C ．－2 2D ．2 24．若函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则a 的取值范围是( ) A ．a >0且a ≠1 B ．a ≥0且a ≠1 C ．a >12且a ≠1 D ．a ≥125．某产品计划每年成本降低p %,若三年后成本为a 元,则现在成本为( ) A ．a (1＋p %)元 B ．a (1－p %)元 C ．a （1－p %）3元 D ．a1＋p %元 6．(多选)设指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则下列等式中正确的是( ) A ．f (x ＋y )＝f (x )f (y ) B ．f (x －y )＝f （x ）f （y ）C ．f (xy)＝f (x )－f (y ) D ．f (nx )＝[f (x )]n(n ∈Q )7．某厂2018年的产值为a 万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为________万元．8．若函数y ＝(k ＋2)a x＋2－b (a >0,且a ≠1)是指数函数,则k ＝________,b ＝________． 9．已知指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1), (1)求f (0)的值；(2)如果f (2)＝9,求实数a 的值．10．已知函数f (x )＝(a 2＋a －5)a x是指数函数． (1)求f (x )的表达式；(2)判断F (x )＝f (x )－f (－x )的奇偶性,并加以证明．核心素养升级练1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食,则y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝360(1.041.012)x －1B ．y ＝360×1.04xC ．y ＝360×1.04x1.012D ．y ＝360(1.041.012)x2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x（x ＞0）2x －3（x ≤0）,若f (a )－f (2)＝0,则实数a 的值等于________．3．截止到2018年底,我国某市人口约为130万．若今后能将人口年平均递增率控制在3‰,经过x 年后,此市人口数为y (万).(1)求y 与x 的函数关系y ＝f (x ),并写出定义域；(2)若按此增长率,2029年年底的人口数是多少？(3)哪一年年底的人口数将达到135万？4．2.1 指数函数的概念必备知识基础练1．答案：BC解析：对于A,函数y ＝x 4不是指数函数, 对于B,函数y ＝(12)x是指数函数；对于C,函数y ＝22x＝4x是指数函数； 对于D,函数y ＝－3x不是指数函数． 2．答案：B解析：由题意知1个细胞分裂3次的个数为23＝8. 3．答案：B解析：由题意可知f (2)＝a 2＝4,解得a ＝2或a ＝－2(舍). 4．答案：A解析：由题意,设f (x )＝a x(a >0且a ≠1), 因为f (2)＝2,所以a 2＝2,解得a ＝ 2. 所以f (x )＝(2)x. 5．答案：C 解析：f (2)＝32－b＝1＝30,即b ＝2,f (4)＝34－2＝9.6．答案：B解析：f (－1)＝2－1＝12,f (f (－1))＝f (12)＝312＝ 3.7．答案：1解析：因为函数y ＝a ·2x是指数函数,所以a ＝1, 由y ＝2x ＋b是指数函数,所以b ＝0,所以a ＋b ＝1. 8．答案：125解析：设f (x )＝a x(a >0且a ≠1),则f (－32)＝a －32＝525＝5－32,得a ＝5,故f (x )＝5x,因此,f (3)＝53＝125.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m >0m ≠1,解得m ＝2.2．答案：C解析：由题意f (－2)＝－2＋3＝1,∴f (f (－2))＝f (1)＝2. 3．答案：B解析：因为函数f (x )＝(12a －1)·a x 是指数函数,所以12a －1＝1,即a ＝4,所以f (x )＝4x,那么f (12)＝412＝2.4．答案：C解析：由于函数y ＝(2a －1)x(x 是自变量)是指数函数,则2a －1>0且2a －1≠1,解得a >12且a ≠1.5．答案：C解析：设现在成本为x 元,因为某产品计划每年成本降低p %,且三年后成本为a 元, 所以(1－p %)3x ＝a , 所以x ＝a（1－p %）3.6．答案：ABD解析：因指数函数f (x )＝a x(a >0,且a ≠1),则有： 对于A,f (x ＋y )＝ax ＋y＝a x ·a y＝f (x )f (y ),A 中的等式正确；对于B,f (x －y )＝a x －y＝a x·a －y＝a x a y ＝f （x ）f （y ）,B 中的等式正确；对于C,f (x y )＝a x y ,f (x )－f (y )＝a x －a y ,显然,a xy≠a x －a y,C 中的等式错误；对于D,n ∈Q ,f (nx )＝a nx ＝(a x )n ＝[f (x )]n,D 中的等式正确． 7．答案：a (1＋7%)4解析：2018年产值为a ,增长率为7%. 2019年产值为a ＋a ×7%＝a (1＋7%)(万元).2020年产值为a (1＋7%)＋a (1＋7%)×7%＝a (1＋7%)2(万元). ……2022年的产值为a (1＋7%)4万元． 8．答案：－1 2解析：根据指数函数的定义,得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋2＝1，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.9．解析：(1)f (0)＝a 0＝1. (2)f (2)＝a 2＝9,∴a ＝3.10．解析：(1)由a 2＋a －5＝1,可得a ＝2或a ＝－3(舍去), ∴f (x )＝2x.(2)F (x )＝2x －2－x,定义域为R , ∴F (－x )＝2－x－2x＝－F (x ), ∴F (x )是奇函数．核心素养升级练1．答案：D解析：不妨设现在乡镇人口总数为a ,则现在乡镇粮食总量为360a ,故经过x 年后,乡镇人口总数为a (1＋0.012)x ,乡镇粮食总量为360a (1＋0.04)x, 故经过x 年后,人均占有粮食y ＝360a （1＋0.04）xa （1＋0.012）x ＝360(1.041.012)x. 2．答案：2解析：由已知,得f (2)＝9； 又当x ＞0时,f (x )＝3x, 所以当a >0时,f (a )＝3a, 所以3a－9＝0,所以a ＝2. 当x <0时,f (x )＝2x －3, 所以当a <0时,f (a )＝2a －3, 所以2a －3－9＝0,所以a ＝6, 又因为a <0,所以a ≠6. 综上可知a ＝2.3．解析：(1)2018年年底的人口数为130万；经过1年,2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年,2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年,2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同,所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).(2)2029年年底,经过了11年,过2029年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).(3)由(2)可知,2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134<135.2030年年底的人口数为130(1＋3‰)12≈134.8(万),2031年年底的人口数为130(1＋3‰)13≈135.2(万).所以2031年年底的人口数将达到135万．。

4．3.1 对数的概念必备知识基础练1．下列说法正确的是( ) A ．因为12＝1，所以log 11＝2 B ．因为32＝9，所以log 39＝2 C ．因为(－3)2＝9，所以log －39＝2 D ．因为32＝9，所以log 92＝32．已知a 23＝5(a >0)，则log a 5＝( )A ．2B ．3C ．32D ．233．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7zC ．y ＝7xD ．y ＝z 7x4．若log x 127＝－3，则x ＝( )A ．81B ．181C ．13 D ．35．将指数式e 3＝n 化为对数式，其中正确的结果为( )A ．log3e ＝n B ．log n e ＝ 3C ．ln 3＝nD ．ln n ＝ 36．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是( ) A ．54＝625与log 4625＝5 B ．10－2＝0.01与lg 0.01＝－2 C ．(12)－4＝16与log －416＝12D ．912＝3与log 93＝127．[2022·广东揭阳高一期末]若2x＝3，则实数x 的值为________． 8．计算：＝________．关键能力综合练1．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n的值为( )A ．12B ．16C ．6D ．182．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝93．已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．5 D ．154．若f (10x)＝x ，则f (3)等于( ) A ．3 B ．103C ．310D ．lg 35．若2x＝6，log 443＝y ，则x ＋2y 的值是( )A ．3B ．13C ．log 23D ．－36．(多选)有以下四个结论，其中正确的有( ) A ．lg (lg 10)＝0 B ．lg (ln e)＝0 C ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2D ．ln (lg 1)＝0 7．24＋log 25＝________．8．已知log 3(log 4x )＝0，log 2(log 3y )＝1，则x ＋y ＝________． 9．求下列各式中x 的值． (1)log x 64＝4； (2)ln e ＝－x ； (3)log 2[log 3(log 2x )]＝1.10．计算下列各式：核心素养升级练1．在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是( ) A ．b <2或b >5 B ．2<b <5 C ．4<b <5 D ．2<b <5且b ≠42．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．3．已知log 2[log 12(log 2x )]＝log 3[log 13(log 3y )]＝log 5[log 15(log 5z )]＝0，试比较x ，y ，z 的大小．4．3.1 对数的概念必备知识基础练1．答案：B解析：因为当a b＝N (a >0且a ≠1)时，b ＝log a N ，所以选项A 的底数为1，是错误的，选项C 的底数为负数，是错误的，32＝9的底数为3，所以化为对数后底数也应为3，所以B 正确，D 错误．2．答案：D解析：因为a 23＝5(a >0)，所以log a 5＝23.3．答案：B解析：由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，y ＝x 7z. 4．答案：D解析：因为log x 127＝－3，所以127＝x －3，即x 3＝27，所以x ＝3.5．答案：D解析：由a n＝m 有n ＝log a m ，结合题设，则有3＝ln n ． 6．答案：BD解析：对于A ，54＝625可化为：log 5625＝4，故不正确； 对于B ，10－2＝0.01可化为：lg 0.01＝－2，故正确； 对于C ，(12)－4＝16可化为：log 1216＝－4，故不正确；对于D ，912＝3可化为：log 93＝12，故正确．7．答案：log 23解析：因为2x＝3，所以x ＝log 23. 8．答案：7解析：(12)－log 27＝(2－1)－log 27＝2log 27＝7.关键能力综合练1．答案：A解析：由指对互化公式可知a m ＝2，a n ＝3，则a 2m ＝(a m )2＝4，a 2m ＋n＝a 2m ·a n＝4×3＝12.2．答案：A 解析：由题得2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.3．答案：A解析：由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 4．答案：D解析：由10x ＝3，得x ＝lg 3.又f (10x)＝x ，所以f (3)＝lg 3. 5．答案：A解析：因为log 443＝y ，则4y ＝22y ＝43，所以，2x ＋2y ＝2x ·22y ＝6×43＝8＝23，故x ＋2y ＝3.6．答案：AB解析：lg (lg 10)＝lg 1＝0，lg (ln e)＝lg 1＝0，所以A ，B 均正确； C 中若e ＝ln x ，则x ＝e e，故C 错误； D 中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D 错误． 7．答案：80 解析：因为24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80.8．答案：13解析：由log 3(log 4x )＝0得log 4x ＝1，得x ＝4， 由log 2(log 3y )＝1，log 3y ＝2，得y ＝32＝9. 所以x ＋y ＝4＋9＝13.9．解析：(1)由log x 64＝4可得x 4＝64，且x >0，所以x ＝2 2. (2)由ln e ＝－x 得e －x＝e ＝e 12，所以－x ＝12，x ＝－12.(3)由log 2[log 3(log 2x )]＝1得log 3(log 2x )＝2，所以log 2x ＝32，所以x ＝29＝512. 10．解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4. (2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34×3－1＋1＝43＋1＝73.核心素养升级练1．答案：D解析：由对数的意义得⎩⎪⎨⎪⎧b －2>05－b >05－b ≠1，解得2<b <5且b ≠4.所以实数b 的取值范围是2<b <5且b ≠4.选D.2．答案：108解析：因为正数a ，b 满足，2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，所以设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝x ，则a ＝2x －2，b ＝3x －3，a ＋b ＝6x，∴1a ＋1b ＝a ＋bab＝6x2x －2·3x －3＝62×3＝108.3．解析：由log 2[log 12(log 2x )]＝0， 得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，即x ＝212；同理y ＝313，z ＝515.∵y ＝313＝326＝916，x ＝212＝236＝816， ∴y >x .又x ＝212＝2510＝32110，z ＝515＝5210＝25110， ∴x >z ，∴y >x >z .。

2021年高中数学新教材必修第一册4.3《对数》课时练习（含答案）1、2021年新教材必修第一册4.3《对数》课时练习一、选择题若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围( )A.≤x＜2B.＜x＜2C.＜x＜2或x＞2D.x＞有以下四个结论：①lg(lg10)=0，②ln(lne)=0，③若lgx=10，则x=100，④若lnx=e，则x=e2.其中正确的选项是()A.①③B.②④C.①②D.③④已知a=log32，则log38－2log36=( )A.a－2B.5a－2C.3a－(1＋a)2D.3a－a2－1已知lga=2.4310，lgb=1.4310，则等于( )A.B.C.10D.100若logax=2，logbx=3，logcx=6，则logabcx的值为( )A.1B.2、2C.3D.4设a，b，c均为不等于1的正实数，则以下等式中恒成立的是( )A.logab·logcb=logcaB.logab·logca=logcbC.loga(bc)=lo gab·logacD.loga(b＋c)=logab＋logab＋logac计算：(lg5)2＋lg2lg5＋lg20的值是( )A.0B.1C.2D.3若logx(－2)=－1，则x 的值为( )A.－2B.＋2C.－2或＋2D.2－已知函数，则等于( )A.3B.8C.9D.12已知x2＋y2－4x－2y＋5=0，则logx(yx)的值是( )A.1B.0C.x D.y二、填空题n设loga2=m，loga3=n，则a2m ＋n的值为________3、______.化简：=________.已知x，y∈(0,1)，若lgx＋lgy=lg(x ＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)=________.已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3514=______.三、解答题计算：计算：.计算．设x=log23，求的值.n参考答案答案为：C解析：由log(x－1)(4x－5)有意义得⇒答案为：C解析：①lg(lg10)=0，正确.②ln(lne)=0，正确.若lgx=10，则x=1010，③不正确.若lnx=e，则x=ee，故④不正确.所以选C.答案为：A解析：log38－2log36=3log32－2(log32＋log33)=3a－2(a＋14、)=a－2.答案为：B解析：==10－1=，应选B.答案为：A解析：logax==2，∴logxa=.同理logxb=，logxc=.logabcx===1.答案为：B 解析：由对数的运算公式loga(bc)=logab＋logac可推断选项C，D 错误.选项A，由对数的换底公式知logab·logcb=logca⇒·=⇒(lgb)2=(lga)2，此式不恒成立.选项B，由对数的换底公式知logab·logca=·==logcb，故恒成立.答案为：C解析：(lg5)2＋lg2lg5＋lg20=lg5·(lg5＋lg2)＋lg20=lg5＋lg20=lg100=2.答案为：B答案为：B；答案为：B解析：由x2＋y2－4x－2y＋5=0，则(x5、－2)2＋(y－1)2=0，∴x=2，y=1；logx(yx)=log2(12)=0.答案为：12解析：∵loga2=m，loga3=n，∴am=2，an=3.∴a2m＋n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.n答案为：1解析：原式===1.答案为：0解析：lg(x＋y)=lgx＋lgy=lg(xy)⇒x＋y=xy，lg(1－x)＋lg(1－y)=lg[(1－x)(1－y)]=lg(1－x－y＋xy)=lg1=0.答案为：；解析：log3514===.答案为：2.答案为：2.答案为：1.解：==22x＋1＋2－2x=.。

4．4 对数函数 4．4.1 对数函数的概念1．给出下列函数：①y ＝223log x ；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 对数函数的概念 题点 对数函数的概念 『答 案』 A『解 析』 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x <1} C ．{x |－1<x <1}D ．∅考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 『答 案』 C『解 析』 ∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}， N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．3．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2C ．y ＝2log 2xD ．y ＝log 22x『答 案』 D『解 析』 因为y ＝log 22x 的定义域为R ，且根据对数恒等式知y ＝x . 4．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的『解 析』式为( ) A ．y ＝log 4x B ．y ＝14log xC ．y ＝12log xD ．y ＝log 2x『答 案』 D『解 析』 由于对数函数的图象过点M (16,4)， 所以4＝log a 16，得a ＝2.所以对数函数的『解 析』式为y ＝log 2x ，故选D.5．已知函数f (x )＝log a (x ＋2)，若图象过点(6,3)，则f (2)的值为( ) A ．－2B ．2C.12D ．－12考点 对数函数的性质 题点 对数函数图象过定点问题 『答 案』 B『解 析』 代入(6,3)，得3＝log a (6＋2)＝log a 8， 即a 3＝8，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2(x ＋2)，∴f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________. 『答 案』 5『解 析』 由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.7．函数y ＝()12log 3x a -的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________. 『答 案』 2『解 析』 由y ＝()12log 3x a -知，3x －a >0，即x >a3.∴a 3＝23，即a ＝2.8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元． 『答 案』 128『解 析』 由题意得5＝2log 4x －2， 即7＝log 2x ，得x ＝128. 9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝log (x －1)(3－x )； (2)f (x )＝2x ＋3x －1＋log 2(3x －1)． 解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2，故f (x )的定义域是(1,2)∪(2,3)． (2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x －1≠0，3x －1>0，解得x >13，且x ≠1.故f (x )的定义域是⎝⎛⎭⎫13，1∪(1，＋∞)．10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．(1)假设在一次地震中，一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？解 (1)M ＝lg A －lg A 0＝lg A A 0＝lg 200.002＝lg104＝4.即这次地震的震级为4级．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝lg A 5－lg A 0，8＝lg A 8－lg A 0，所以lg A 8－lg A 5＝3， 即lg A 8A 5＝3.所以A 8A 5＝103＝1000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．11．函数y ＝log 2(x －1)2－x的定义域是( )A ．(1,2』B ．(1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2) 『答 案』 B『解 析』 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，2－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，∴1<x <2.∴函数的定义域为(1,2)．12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( ) A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 『答 案』 A『解 析』 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.13．若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. 『答 案』 1『解 析』 由a 2－a ＋1＝1， 解得a ＝0或a ＝1. 又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1.14．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________． 『答 案』 『0,3)『解 析』 依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3. 综上，k 的取值范围是『0,3)．15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10』，则实数a 的值为( ) A ．0B ．10C ．1D.110『答 案』 C『解 析』 由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10』， 由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0<x ≤10时，lg x ≤1， 所以a ＝1，故选C.16．国际视力表值(又叫小数视力值，用V 表示，范围是『0.1，1.5』)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L 表示，范围是『4.0,5.2』)的换算关系式为L ＝5.0＋lg V . (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5 ② 0.4 ④ L①5.0③4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771) 解 (1)因为5.0＋lg1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg3＝5.0＋lg3－lg22≈5.0＋0.4771－0.3010≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0；＝5.0＋lg4－1因为5.0＋lg0.4＝5.0＋lg410＝5.0＋2lg2－1≈5.0＋2×0.3010－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg2－0.5≈5.0＋0.3010－0.5≈4.8.。

4．3.2 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．知识点一 对数的运算性质[填一填]如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N(M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n .这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a MN ＝m －n ,即log a MN ＝log a M －log a N .知识点二 换底公式[填一填]前提原对数的底数a 的取值范围a >0,且a ≠1条件 原对数的真数b 的取值范围 b >0 换底后对数的底数c 的取值范围c >0,且c ≠1公式log a b ＝log c blog c a换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ,特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416,求m 的值． 提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416,∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2,化简得lg m ＝2lg3＝lg9, ∴m ＝9.类型一 对数运算性质的应用 [例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12. (2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根,运用对数的运算法则,将它们化为对数的和、差、积、商,然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商,运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二 换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5,试用a ,b 表示log 3645.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5,得log 185＝b ,∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a.利用换底公式可以统一“底”,以方便运算.在用换底公式时,应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22·⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三 与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ,求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3. [解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ), 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0. 所以⎝⎛⎭⎫x y 2－x y －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0,y >0,x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28, 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2,x 2＝－4. 因为x >0,x ＋2>0,所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式,由真数相等求解方程,转化过程中注意真数大于零这一条件,防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ),则log2xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0,易得x >1,原式可化为lg[x (x －1)]＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2,x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ), 所以lg xy ＝lg(x －2y )2,所以xy ＝(x －2y )2,即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0,解得x ＝y 或x ＝4y .因为x >0,y >0,x －2y >0,所以x ＝y 应舍去, 所以xy＝4.故log2xy＝log 24＝4.类型四 对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1表示,它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝,L 1≥0,其中I 0＝1×10－12W/m 2,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2,耳语的强度是1×10－10W/m 2,恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2,试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意,可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2,则I 1I 0＝1,故LI 1＝10·lg1＝0,则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2,则I 2I 0＝102,故LI 2＝10lg102＝20,即耳语声的强度水平为20分贝． 同理,恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001,两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝log c b ,所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ,log b a ＝lg a lg b ,所以log a b ＝1log b a ,试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1.5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ,②log a (MN )＝log a M ·log a N ,③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用,逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．。

2020年高中数学人教A 版必修第一册课时作业4.3.2《对数的运算》一、选择题1.若a ＞0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＞0，则下列各式不恒成立的是( )①log a x 2=2log a x ；②log a x 2=2log a |x|；③log a (xy)=log a x ＋log a y ；④log a (xy)=log a |x|＋log a |y|.A.②④B.①③C.①④D.②③2.计算log 225·log 32·log 59的结果为( )2A.3 B.4 C.5 D.63.已知a=log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( )A.a －2B.5a －2C.3a －(1＋a)2D.3a －a 24.设log 34·log 48·log 8m=log 416，则m 的值为( )A. B.9 C.18 D.27125.已知log 32=a,3b =5，则log 3用a ，b 表示为( )30A.(a ＋b ＋1) B.(a ＋b)＋11212C.(a ＋b ＋1)D.＋b ＋113a 26.设9a =45，log 95=b ，则( )A ．a=b ＋9B ．a －b=1C ．a=9bD ．a÷b=17.若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1=0的两个根，则(lg )2的值等于( )a bA.2B.C.4D.12148.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a (bc)=log a b·log a cD.log a (b ＋c)=log a b ＋log a b ＋log a c二、填空题9.计算：log 35·log 56·log 69=________.10.计算：(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)=________.11.计算：lg10 000=________；lg0.001=________.三、解答题13.已知log a 2=m ，log a 3=n.(1)求a 2m －n 的值；(2)求log a 18.14.已知log 32=a,3b =7，用含有a ，b 的式子表示log 1256.15.计算：.2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 21 x 1y1z16.已知2x=3y=6z≠1，求证：＋=.参考答案1.答案为：B ；解析：∵xy ＞0，∴①中若x ＜0则不成立；③中若x ＜0，y ＜0也不成立，故选B.2.答案为：D ；3.答案为：A ；4.答案为：B ；解析：由题意得··=log 416=log 442=2.lg 4lg 3lg 8lg 4lg m lg 8∴=2，即lg m=2lg 3=lg 9.∴m=9.故选B. lg m lg 35.答案为：A ；解析：由3b =5得，b=log 35，而log 3=(log 310＋1)=(log 32＋log 35＋1)=(a ＋b ＋1)，故选A.301212126.答案为：B7.答案为：A ；8.答案为：B ；9.答案为：2；10.答案为：；251211.答案为：4，－3；(1)因为log a 2=m ，log a 3=n ，所以a m =2，a n =3.所以a 2m －n =a 2m ÷a n =22÷3=.43(2)log a 18=log a (2×32)=log a 2＋log a 32=log a 2＋2log a 3=m ＋2n.14.解：由3b =7得log 37=b ，log 1256====.log3 23×7 log3 22×3 3log32＋log372log32＋log333log32＋log372log32＋13a ＋b 2a ＋115.解：原式====.2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 22lg 2＋lg 32 lg 2＋lg 3 ＋2lg 22lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 31216.证明：设2x =3y =6z =k(k ≠1)，则x=log 2k=，y=log 3k=，z=log 6k=lg k lg 2lg k lg 3lg k lg 6∴＋===.1x 1y lg 2＋lg 3lg k lg 6lg k 1z。

4.3.2 对数的运算基础达标练1．log24等于( )A ．12B ．14C ．2D ．42．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．21＋log 25等于( ) A ．7B ．10C ．6D ．924．求值：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________.5．计算：log 225·log 322·log 59的结果为________． 6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m－n的值；(2)求log a 18.素养提升练1．化简：(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－22．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( )A ．7B ．7 2C ．±7 2D ．983．已知f (x )＝kx ＋6x－4(k ∈R )，f (lg 2)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝________. 4．计算⎝⎛⎭⎫－278－23 ＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝________. 5．若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝________；ab 2＝________.6．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．D『『解 析』』log 24＝log2(2)4＝4.2．B『『解 析』』由log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c ≠log c a ，故A 错；由log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg blg c＝log c b . 3．B 『『解 析』』21＋log25＝2×2log25＝2×5＝10.4．1『『解 析』』lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.5．6『『解 析』』原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.6．解 (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝2，a n ＝3. 所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .素养提升练1．B『『解 析』』因为(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，所以原式＝2－log 23＋log 23－1＝2－2log 23.2．B『『解 析』』因为2x ＝72y ＝A ，所以x ＝log 2A,2y ＝log 7A ，1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A (2×72)＝log A 98＝2，所以A 2＝98，又A >0，所以A ＝7 2. 3．－8『『解 析』』f (lg 2)＝k lg 2＋6lg 2－4＝0， ∴k ＝4－6lg 2lg 2＝4lg 2－6lg 2·lg 2，f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝4lg 2－6lg 2·lg 2·(－lg 2)－6lg 2－4＝－8.4．229『『解 析』』∵⎝⎛⎭⎫－278－23 ＝1⎝⎛⎭⎫－27823 ＝1⎝⎛⎭⎫－323×23 ＝49， log 827log 23＝log 227log 28·log 23＝3log 233log 23＝1， (2－3)0＝1， log 31＝0，2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2， 5log52＝2，∴原式＝49＋1＋1－0＋2－2＝229.5．121 『『解 析』』log a b ＋log b a ＝52⇒log a b ＋1log a b ＝52⇒log a b ＝2或12，因为a ＞b ＞1，所以log a b ＜1，所以log a b ＝12⇒b ＝a 12 ⇒b 2＝a ，所以b 2a ＝1.6．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又因为a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， 所以t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·lg 2b ＋lg 2a lg a ·lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a lg blg a lg b ＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。

2021年高中数学必修第一册4.3.1《对数的概念》同步课件
（含答案）
1、人教2021A版必修第一册第四章指数函数与对数函数n1.理解对数的概念，把握对数的性质，能进行简洁的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．学习目标n 在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2021年的倍数y．反之，假如要求经过多少年游客人次是2021年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？上述问题事实上就是从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．创设问题情
2、境n对数对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔〔Napier，1550年~1617年〕。

他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇异的对数定律说明书》，公布了他的发明。

恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

对数的发明n对数的概念n10n对数的性质n概念辨析nn 典例解析nn归纳总结n跟踪训练n典例解析nn归纳总结n问题探究n思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．n归纳总结n当堂达标nnnnnn课堂小结
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