一元二次方程的最小值和最大值

一元二次方程的像与性质一元二次方程是数学中常见且重要的形式之一，它具有一些独特的性质与像。

本文将就一元二次方程的像以及相关的性质进行探讨。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，a ≠ 0。

我们先来了解一下一元二次方程的定义和一些基本概念。

1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指在方程中只有一个未知数x，并且该未知数的最高次项系数为2。

这种方程的一般形式如前所述。

2. 一元二次方程的根与解一元二次方程的根是指能够使方程等式成立的未知数值。

解是指找出一元二次方程的根的过程。

根据韦达定理，一元二次方程的解可由以下公式得出：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)这里的±表示两个解，一个为加号，一个为减号。

了解了一元二次方程的定义和相关概念后，我们来探讨一下一元二次方程的像与性质。

1. 一元二次方程的像一元二次方程的像是指图像在平面坐标系中所呈现的形状。

一元二次方程的像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的。

当a > 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向上的抛物线。

抛物线的顶点是最小值点，也是方程的最小值。

当a < 0时，方程y = ax^2 + bx + c的像是开口向下的抛物线。

抛物线的顶点是最大值点，也是方程的最大值。

2. 一元二次方程的性质一元二次方程具有一些重要的性质，我们来逐一了解。

性质1：对称性一元二次方程的抛物线具有轴对称性，即关于抛物线的顶点对称。

性质2：判别式一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来求解方程的根的性质。

根据Δ的值，可以得到以下结论：a) 若Δ > 0，则方程有两个不同的实根；b) 若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；c) 若Δ < 0，则方程无实根，但可以存在复数根。

性质3：顶点坐标一元二次方程的抛物线的顶点坐标可以通过以下公式求解：x = -b/(2a)y = -(Δ)/(4a)性质4：方程的图像与系数的关系通过调整一元二次方程的系数a、b、c的值，我们可以改变抛物线的开口方向、大小和位置。

一元二次方程的解法及韦达定理一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程：x2-5x+6=0【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如—x2=a的方程，我们可以用直接法。

方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。

注意点：①二次项的系数为1，且a≥0②如果a为根式，注意化简。

例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2=4例3：解方程：4x 2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。

步骤：①把二次项的系数化为1.两边同时除以a ，可以得到：X 2+ b a x+ c a=0 ②配方：（x+ 2ba ）2+c- 2()2b a =0③移项：（x+ 2ba ）2=2()2b a -c ④用直接法求出方程的解。

X=-2b a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

例：解方程：x 2+x=13、公式法：对于形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。

根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-2b a进一步变形，就可以知道：形如：ax 2+bx+c=0（其中a ≠0）的方程的解为：x1x2注意点：①解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。

②解题步骤要规范。

例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。

4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。

例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：=15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。

例：=46、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。

一元二次方程及其解法（一）直接开平方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a；(2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程．(2)经整理，得它的一般形式(m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m≠1且m≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m≠±1．例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-8≠0，即 m≠±．可知它的各项系数分别是a=m2-8(m≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．举一反三：【变式】关于x的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3. （2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．不确定【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．【答案】B；【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）=a2x02+2ax0+1﹣1+ac=a（ax02+2x0）+ac=﹣ac+ac=0，∴M=N，故选：B．【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键． 举一反三： 【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：【变式】解方程： (1) （2014秋•宝安区期末）（3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2) （2014•锡山区期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（提高）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。

2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。

3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。

4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。

(x+1)^3=2(x+1)B。

2√x+1-11=0C。

ax^2+bx+c=0D。

x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。

例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。

考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。

例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。

例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。

例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。

一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax 2+bx+c(其中a ≠0)的函数称之为一元二次函数。

一般情况下，我们会把一元二次函数改写成：224()24b ac b y a x a a-=++写成这样的目的主要是：〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标；抛物线的对称轴的方程为：x= -2b a 顶点坐标为〔-2b a ，244ac b a-)〔2〕可以得到最大、小值：当a ＞0，y 取最小值，y= 244ac b a-当a<0，y 取最大值，y= 244ac b a-由一元二次函数的对称轴，从而我们可以知道一元二次函数的单调性：当a>0时，〔-∞，-2b a ]为单调减区间；[-2b a ，+∞〕为单调增区间。

当a<0时，[-2b a ，+∞〕为单调减区间；〔-∞，-2ba]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。

平移的法那么遵循两条：左加右减，上加下减。

题型一：平移图像，求新的解析式 【例题1】：y=x 2-2x+3向左移动一个单位，向上移动两个单位，移动后的解析式是什么？ 解答：y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么，向左移动一个单位，那么有：y=(x-1+1)2+2 根据“上加下减〞的原那么，向上移动两个单位，那么有y=(x-1+1)2+2+2 所以，最终的结果是：y=x 2+4题型二：三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax 2+bx+c 经过点A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函数的解析式。

解答：根据题意有：a b c 34a 2b c 49a 3b c 11++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解上面的方程组，得：388a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以：y=3x 2-8x+8【例题3】函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A(-3，0),B(1，0),并且经过点〔4,21〕，求函数的解析式。

一般情况下，如果告诉你一元二次方程的两个解x 1，x 2；这个时候我们设：y=a(x-x 1)(x-x 2)最为方便。

一、二次函数最大值最小值求法设函数是y=ax²+bx+c，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

x为自变量，y为因变量。

a>0时开口向上，有最小值，当x=b/2a时，取得最小值为y=(4acb^2)/4a；a<0时开口向下，有最大值，当x=b/2a时，取得最大值为y=(4acb^2)/4a。

二次函数的一般式是y=ax的平方+bx+c,当a大于0时开口向上,函数有最小值;当a小于0时开口向下,则函数有最大值。

而顶点坐标就是(2a分之b,4a分之4acb方)，把a、b、c分别代入进去,求得顶点的坐标，4a分之4acb方就是最大值或最小值。

二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y 轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0)，它的定义是一个二次多项式(或单项式)。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。

“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在一定范围内任意取值。

在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。

从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数简介二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。

二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y 轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点。

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。

一元二次方程配方法求最大值的方法总结一、确定变量和参数在一元二次方程中，通常设变量为x，参数为a、b、c。

其中，a、b、c为常数，且a≠0。

二、构建一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c为已知参数，x为变量。

三、进行配方转换配方法是一元二次方程求解中的一种常用方法。

通过配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而简化求解过程。

具体的配方步骤如下：1. 将方程的常数项移到等号的右边：ax^2 + bx = -c2. 为了使用配方法，我们需要使左边成为一个完全平方项，所以需要加上(b/2a)^2，这样左边的式子就可以写成一个完全平方的形式了：ax^2 + bx + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c3. 接下来，我们可以将左边的式子写成一个完全平方的形式：a(x + b/2a)^2 = (b^2/4a^2) - c4. 最后，我们得出方程的解为：x = [-b ±sqrt(b^2-4ac)] / (2a)四、求判别式并确定方程解的情况判别式Δ= b^2 - 4ac，根据判别式的值，我们可以确定方程解的情况：1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ= 0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ< 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。

五、利用配方法求解最值当一元二次方程代表的是开口向上的抛物线时（即a > 0），我们可以利用配方法求出抛物线的最大值。

最大值出现在顶点处，顶点的横坐标即为方程的解。

而纵坐标即为所求的最值。

当抛物线开口向下时（即a < 0），我们可以利用配方法求出抛物线的最小值，最小值同样出现在顶点处。

复常系数一元二次方程求根公式大家好，我是晓晓。

今天继续给大家讲解这方面的知识，也是在上一篇文章中讲到的，当一个题目，求解时，不一定只需要求解其中一个根，可以从多个变量中求得一个根。

所以大家可以根据自己的实际情况，找到最合适，且容易记住和应用的一元二次方程解法。

今天晓晓给大家讲一种求解这种问题的方法：解复常系数一元二次方程时，求根公式：复—基。

下面我们来看一下用什么方法求复常系数值问题吧。

在方程中，每个复数和整数有两个基本未知数（即0+1),所以所有正整数加一个整数就是(0+1)这个复数。

比如，一元二次方程可以分为若干个常模中的某个具体题型（即零位不变、正位变差、负位变差等),每个基本未知数都有相应的一个根。

比如上面所讲到的10个方程中最简单的就是0-1根的存在形式。

这里我们用求一个近似根来说明（可以根据其解与一元二次方程之和大于零或小于零时）这一部分和前面所讲到“关于零位不变”等情况一起说明。

1、先让两个数值相等。

其中：当取为3、则求解一元二次方程（其中最小变量为0):其中：解析：从上面我们可以知道，用三个数乘以3和求得三个值最小值是一个常数公式。

如果其中有0、1等三个数的话，那么，可以使用以下公式求得根公式：其中：对于一个(0+1)是有限的四分位数，则这个四分位数就是其零位的复数是唯一数。

对于一个0-1位数字是三分位数的复数。

那么，就可以用这个公式先求出这个四分位数的零位最小值。

2、然后利用这个近似根公式将方程(1+2)带入之前的步骤（第一步：解一个等式并写出相关数值和运算过程）。

接下来我们以上述的题型为例，先来看看1+2在方程中的具体数值形式，再来解题。

解完题后，大家可以根据下面的步骤把题目写出来，并把它放到后面去求(0+1)这个公式当中去。

我们再来看一下在计算过程中的步骤。

首先是把(0+1)这个等式变换为任意复数或方程。

下面我们将(0+1)和(2)带入一个等式之中，然后在进行计算。

计算结果如下：通过计算，一共得到(0+1~-5)=(-3~+5)个近似根值/一个正数根；通过计算，总共得到20个近似根值，其中正数有13个，负数有6个。

一元二次方程、二次函数、一元二次不等式。

知识归纳高2017级（文科）数学一轮复《一元二次方程、二次函数、一元二次不等式》知识归纳一、一元二次方程一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0（a≠0），其中ax^2、bx、c分别称为二次项、一次项、常数项。

a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。

解法：1.直接开平方法：形如（x+m）^2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解。

2.“十字相乘”因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，求解。

3.公式法：一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式为x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a（b^2-4ac≥0）。

4.配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法。

根的判别式：1.当Δ=b^2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=b^2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根。

3.当Δ=b^2-4ac<0时，原方程没有实数根。

根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1+x2=-b/a；x1x2=c/a。

二、二次函数一般式：f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)三顶点式：f(x)=a(x-h)^2+k(a≠0)(其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a)两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(仅限于二次函数图形与x 轴有两个交点时)对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a。

(4ac-b^2)/(4a))单调性：函数在(-∞,-b/2a]上递减，函数在(-∞,-b/2a]上递增，在[-b/2a,+∞)上递增，在[-b/2a,+∞)上递减。

三、二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值问题探讨设f(x)=ax^2+bx+c（a>0），则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值有如下的分布情况：m<n<-b/2a：f(x)单调递增，最小值为f(n)；m<-b/2a<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(n)或f(m)；b/2a<m<n：顶点在区间内，最大值为f(-b/2a)，最小值为f(m)；m=n<-b/2a：f(x)取常数值f(m)=f(n)；m=n>-b/2a：f(x)单调递减，最小值为f(n)。