2021年中国科技大学强基计划数学试题含答案

2021中科大创新班数学试题解析一、填空题1.设R ∈a ，关于x 的方程0)504(224=+--a x a x 有四个实数解且成等差数列，则=a .解析：设四个实数解为，，，，且，则有，，，可知，有，，可得，所以.2.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，11D ACB 与11C BDA 公共部分的体积为.解析：易知公共部分为正方体六个面中心所围成的几何体，如下图所示：可知.3.若直线1=+b y a x （0>a ，0>b ）与曲线x y 4=相切，则b a +的最小值为.解析：当相切时，有，可得，所以，当且仅当，取等号.4.若163222222=++=++=+yz y z xz z x y x ，则=++yz xz xy 32.解析：，，应该是正数，构造如下边长为满足，，，，，，则可知.5.一小球在0，1，2，…，n 这1+n 个位置移动，小球向前向后移动一个单位的概率都为21.若在0处，则小球只能向前移动，若初始位置在0处，则首次移动到n 的步数的期望为.解析：设首次从到的步数期望为，则有，所以，可得，又小球在处，只能向前移动到，则有，所以，又有，则.二、在ABC ∆中，证明：2cos 3cos cos 23≤++C B A .证法一：，其中；证法二：由嵌入不等式有，令，，，则有，，，所以.三、对R ,∈∀y x ，有)2π()(cos )()(x f y f y x f y x f -+=+，求)(x f 解析式.解析：取，，有，取，则有，（Ⅰ）若，对任意均成立，可得，符合；（Ⅱ）若不恒为，取，有，对任意均成立，可得；综上可知或.四、已知1)(0=x g ，x x g =)(1，)(2)]([)(2121x g x g x g n n n n ----=，证明)(x g n 为n 次整系数多项式，并求0)(=x g n 的所有根.，可得，整理得，则有，所以，又，符合为次整系数多项式，则由数学归纳法，可知为次整系数多项式，记，，所以有第二类切比雪夫多项式），取，有，，由数学归纳法可知，，由，有，所以，，…，均为的解且互不相同，又为次多项式，至多个根，故可知的个根为（，，…，），所以的所有根为（，，…，）.五、证明a 为无理数当且仅当*N ∈∀m ，Z ∈∃n ，使mna 1}{0<<.证明：必要性，假设为有理数，设，，，，记，，，，…，，，若，显然不符合；若，取，有，不符合；所以必要性得证，充分性即为狄利克雷定理.。

多维视角殊途同归——2021年中国科技大学强基校考第2
题多解思维
陈应全
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2022()10
【摘要】多个视角分析经典的数学问题对加深学生理解数学知识,提升学生综合应用知识的能力,启迪学生思维以及发展核心素养有着不可或缺的作用.文章以一道2021年强基校考题为例,从多维视角切入进行多解探讨,助推数学关键能力和核心素养在教学中的落实.
【总页数】3页(P44-46)
【作者】陈应全
【作者单位】广东省茂名市广东高州中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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2019年中国科学技术大学自主招生试题 解析则ABC 面积的最的最大值为_____5.设点0(1,0)P ，i OP 绕O θ顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点∈，且z z 8.已知1234,,,x x x x ∈，且 {|14}{18,36,54}i j k x x x i j k ≤<<≤= ，则1234x x x x +++=_____分，共60分）9.将 123D D D 的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知 12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体 ABCD 的体积。

求证：对于任意的*0,nxk e =∈=∑上仅有一个解*∈求证：存在多项式)，满足cos 在[]x 上完全分解1. 通过画图，易知该平面区域的图形是个平行四边形BS=OABS=OAB首先结合图示说明红色曲线为y=sin 2x,蓝色曲线为y=-cos 3xS=ABCS=ABC首先，令注意到20,P P 重合，因此所有操作以 2为周期，故20191(cos ,sin )P P θθ=--事实上，20,P P 的重合是必然的，并不依赖于P 的坐标和θ的大小，下面我们来证明这一事实。

首先，我们刻画000(,)P x y 到111(,)P x y 这个变换，记0(,)Q m n ，则00cos sin sin cos x m y n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭111001x m y n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上，知00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

2023中科大强基计划数学题解析近年来，中科大的强基计划越来越受到广大学生的关注。

作为一项全面、深度和广度兼具的计划，其中的数学题也备受关注。

本文将针对2023年中科大强基计划中的数学题进行全面评估，并给出解析，帮助大家更深入地理解这一主题。

1. 第一部分：简单题解析在2023中科大强基计划的数学题中，第一部分通常包括一些基础的数学概念和简单的运算。

这些题目主要考察学生对基本知识的掌握情况，包括代数、几何、概率与统计等内容。

这部分题目的解析通常较为直观，需要学生熟练掌握基本技巧，例如因式分解、方程解法、图形的性质等方面的知识。

这些题目的解答一般比较简单，注重数学思维的灵活运用。

2. 第二部分：中等题解析第二部分的题目往往涉及到一些较为复杂的数学问题，需要学生具备一定的逻辑思维能力和数学建模能力。

这部分题目可能涉及到一些实际问题，需要学生将抽象的数学概念与实际情况相结合，从而得出解题思路。

在解析这些题目时，需要引导学生建立数学模型，分析问题的本质，找到解题的关键点。

这部分题目可能涉及到多种数学知识的综合运用，例如概率与统计、微积分等方面的知识。

对于这部分题目，学生需要全面掌握各种数学知识，并能够灵活运用，这对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。

3. 第三部分：高难度题解析第三部分的题目通常是整个试卷的难点所在，这些题目可能涉及到一些前沿的数学知识和技巧，需要学生具备较强的数学素养和创新能力。

解析这部分题目时，需要引导学生形成扎实的数学基础，注重提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

这部分题目还可能涉及到一些数学定理的证明和推广，需要学生具备较强的数学推理和论证能力。

在解析这些题目时，需要引导学生分析问题的本质，找到解题的思路，并培养学生的数学探索精神和创新能力。

总结回顾：以上是对2023中科大强基计划数学题的全面解析，从简单题到中等题再到高难度题，我们探讨了每一类题目的解题思路和方法。

通过对这些题目的解析，我们不仅可以加深对数学知识的理解，还可以培养数学思维能力和创新能力。

中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试数学A 真题及答案解析注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷共5题，每题20分，共100分。

需要写出必要的计算和证明过程。

一、求满足2022a b c ++=且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。

二、求满足如下条件的所有函数()f x ；（1）定义域为1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）(0)0f =；（3）1sin ()sin ()33xf x f x -=恒成立。

三、欧拉有著名公式22221111++++=236n π ，求最小正整数n ，使得2211162022nk k π=>-∑。

四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。

五、设2*()()1,,2!!nn x x f x x n N x R n -=-++∈∈ 。

（1）证明：：方程21()0n f x -=有唯一实数解，记作n a 。

（2）数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。

答案解析一、解：337322022⨯⨯=，又c b a ,,不可能为3个奇数，故只考虑3和337两个因子即可；若存在c b a ≠=，则有20222=+c a ，若c 337，则a 337，设11337337a a c c ==，，则6211=+c a ，11,c a 不可能为3的倍数；因此c b a ,,互不相等，由对称性，不妨设c 337：（1）337=c ，1685=+b a ，共56131685=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（2）574=c ，1348=+b a ，共44931348=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（3）1011=c ，1011=+b a ，此时b a ,必有一偶数，恒成立，共505种（4）1348=c ，674=+b a ，共2243674=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（5）1685=c ，337=+b a ，共1123337=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种注意到{}1011,674,337在计算过程中重复了2次，故：总计561+449+505+224+112-2=1849种.分析：本题为基础数论题，难度不大，但是需要一定的耐心和细心.二、解：令()()()x x g x g x f x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=331sin ，，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-38933189x x g x x g ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n xx g x x g 38933189，又∞→n lim 0389331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n xx g 故有当⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,00,21x 时，()x x g 89=，()πk x x f 289arcsin +=()Z k ∈，当0=x 时，()0=x g ，()0=x f .三、解：即求202211111121212122<=-=-∑∑∑∑+∞+==+∞==n k n k k n k k k k k b π即有()()111112-<<+k k k k k ，可得()n k k k n k n k 1111112=-<∑∑+∞+=+∞+=.因此，当2022=n 时，20221120232<∑+∞=k k 成立.而当2021≤n 时，()2022111111112≥+=+>∑∑+∞+=+∞+=n k k k n k n k 不成立综上2022min =n .四、解：n 个点分别记做i A ，过i A 和圆心做直线交圆于i B ，最终选取的n 个点记做i C ，其中n i ,,2,1 =，且{}i i i B A C ,∈.故共有n2种选择，且需要保证i C 均在一个半圆弧上，则当且仅当i C 为i A ，i B 这n 2个点种相邻的n 个点，即n 2种情况.又这n 个点同时包含一组i A ，i B 的概率为0，结论具有一般性.因此有：1222-==n n nn P .五、解：（1）()()()11111=-=-='+a x x f x f x f n n ，，()()x f x f 12-='，故()()0122=>f x f 不妨设()x f k 12-在R 上单调递减，且()012=-x f k 有实根k a ，且()02>x f k 恒成立，则()()0212<-='-x f x f k k 恒成立，且()012=+x f k ，()0lim 12>++∞→x f k x .因此()+∞∈∃+,01k a 使得()0112=++k k a f .()()x f x f k k 1222++-='，即有()()()()()0!2222111212222>+-+=>+++++++k a a f a f x f k k k k k k k 其中()0112=++k k a f ，证毕.综上，()x f n 12-在实数域上递减且有唯一实根.（2）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+=+-+121!2!12!221221212n a n a n a n a a f a f n nn n n n n n n n n ()()()()()()()0212!1222332212212<---+--+-=-n n n n n n n a f n n ！又()x f n 12-递减，故n a n 2<证毕()()1112120+-++<=>n n n n n n a a a f a f ，综上，{}n a 为单调递增数列.。

2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题1. 复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2z ℜ≤-．2.设(15)i i α≤≤为3中的五个非零向量．求证：存在非零向量3β∈，使得存在123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过(1,2,3,4)2k π=．3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞．4.(1)0x >，证明3sin 6x x x x -<<．(2)10a <<1sin 1nn n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12133n a na a <-．5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,,.a a ．比如1232,3,5,.a a a ===求证：对任意正整数n，都有12n a n -<．2023年中国科学技术大学创新班初试数学试题答案1.复数满足202310z z --=，求证：1z ≤当且仅当1()2z ℜ≤- 证明：由题意知：20231z z =+，两边取模得：20231zz =+．于是4046221(1)(1)2()1zz z z z z =+=++=+ℜ+即2202220222()1(1)(1)z z z z ℜ+=+-．于是2202220221()22()10(1)(1)01z z z z z z ℜ≤-⇔ℜ+≤⇔+-≤⇔≤2.设(15)i i α≤≤为3中的五个非零向量．求证：存在非零向量3β∈，使得存在123415j j j j ≤<<<≤，满足β与k j α的夹角均不超过(1,2,3,4)2k π=．证明：从O 点做i i OA α=，以12OA A 得到平面x （若12O A A 、、共线，则过该线任做一个平面）过O 做垂直于x 的直线l 在O 两侧各取一个点,M N ，这个x 由平面将空及分为2个部分，345A A A 、、中必存在2个点为同一侧（x 平面上的点既属于M 所在侧也属于N 所在侧），不妨假设34A A 、在M 一侧，则取OM β=， 1230,0,0,βαβαβα⋅=⋅=⋅≥40βα⋅≥，即β存在．3.甲、乙两盒中各放2只兔子，一雌一雄．称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为n p ．求n p 及lim n n p →∞．解答：若交换前笼子里均为一雄一雌，则一共有种交换情况，其中两种交换后仍均为一雄一雌（雄换雄或雌换雌），另两种交换后笼子里为两雄和两雌．而两雄和两雌的情况交换后必然回到均为一雄一雌．于是有递推关系：1011(1)1,122n n n n p p p p p +=+-=-= 于是1212()323n n p p +-=--，可得 211()332n n p =+-于是2lim 3n n p →∞=．4.(1)0x >，证明3sin 6x x x x -<<．(2)10a <<1sin 1nn n a a a n +=-+．证明：对任意正整数n ，都有12133n a na a <-． 证明：(1)求导易证，实际上为sin x 一阶和三阶的泰勒展开，是第二问的提示． (2)由题意知：133(1)(1)sin 1(1)616n n n n n nn nn a n a a n a a a na a ++=+-<+-+=+于是11n n a n a n++<，归纳易知递减，因此 21112112111(1)6(1)1(1)61(1)6n n n n n n n n n a a a na n a n n a a n a n a n a n+++++<<+++<++<++累加得：1121111211116116(1)12613n k n n k a a na ka k k a n a -=-=-<⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭<∑∑解得：12133n a na a <-，证毕． 5.将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作12,,.a a ．比如1232,3,5,.a a a ===求证：对任意正整数n，都有12n a n -<．证明：满足22(1)n k a k <<+的n a 共有2k 个，此时有242(1)242k n k +++-<≤+++即(1)(1)k k n k k -<≤+，即22111()()242k n k -<+≤+，故1122k k -<+，易知等号无法取得．在n a 之前共有k 个完全平方数被去除，于是n a n k =+．因此1122n a n -<-<，证毕．。

2023中科大强基计划数学题解析摘要：一、前言二、2023 一级造价工程师计量教材改动概述三、改动的具体内容1.基础知识部分2.工程计量部分3.工程造价部分四、改动的背景和目的五、对考生和行业的影响六、结语正文：一级造价工程师计量教材是我国造价工程师考试的重要组成部分，为了适应建筑行业的发展和变化，教材需要定期进行更新和调整。

2023 年一级造价工程师计量教材进行了较大幅度的改动，本文将对这些改动进行详细的介绍和分析。

一、前言造价工程师计量教材的改动是为了保证教材内容的科学性、实用性和前瞻性，以便更好地为建筑行业服务。

2023 年的改动主要涉及基础知识、工程计量和工程造价三个方面。

二、2023 一级造价工程师计量教材改动概述2023 年一级造价工程师计量教材改动主要体现在以下几个方面：1.更新了部分基础知识内容，使教材更符合实际工程应用需求。

2.对工程计量部分进行了大幅度调整，以适应建筑市场的发展。

3.对工程造价部分进行了优化和补充，使教材更加完善。

三、改动的具体内容1.基础知识部分基础知识部分改动主要体现在建筑材料、建筑构造、建筑施工等方面。

例如，对新型建筑材料的性能和应用进行了详细介绍，对建筑构造的规范进行了更新，对建筑施工技术进行了优化。

2.工程计量部分工程计量部分改动主要体现在工程量清单、工程计量规则、工程计量软件等方面。

例如，调整了部分工程量清单项目，使之更加符合实际工程需要；更新了工程计量规则，以适应建筑市场的发展；增加了工程计量软件的应用介绍，使考生能够更好地掌握实际工作中的应用技能。

3.工程造价部分工程造价部分改动主要体现在工程预算、工程结算、工程成本控制等方面。

例如，对工程预算的编制方法进行了优化，使之更加符合实际操作；对工程结算的程序进行了调整，使之更加规范；增加了工程成本控制的方法和策略，使考生能够更好地应对实际工作中的挑战。

四、改动的背景和目的改动的背景主要是建筑行业的快速发展和技术进步，使得原有的教材内容难以满足实际需求。

2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题2024年3月30日本次考试共五道解答题，每题20分，共计100分；考试时间是8:30-10:10，共100分钟。

一、X 是从{}9,,2,1 中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，Y 是从{}8,,2,1 中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数。

求Y X >的概率.二、32,3211+=+=+n n a a x a ，求所有的1−≥x ，使得{}n a 中有无穷多项为正整数.三、求所有的a ，使122+≥++x ax x 对R x ∈∀恒成立.四、)(x f 是2024次多项式，)2()((2+=x f x f f ，求)(x f .五、i n z z z z z z n n +−=++===2,12121 ，求min 1)Re(z 的值.2024年中国科学技术大学创新班营（一）考试真题解答一、解：若X 中含9，则Y X >。

有31)9(3928==C C X P 中有，则32311)9(=−=中无X P ； 在X 中无9的情况下：5611)(38383838==⋅==C C C C Y X P 此时，11255)5611(21)()(=−×=<=>Y X P Y X P 所以，168111112553231)()(=×+=<=>Y X P Y X P二、解：由题可知，0>n a若n n a a >+1，则32321+>++n n a a ，即12++>n n a a ； 若n n a a <+1，则32321+<++n n a a ，即12++<n n a a ；①当3>x 时，可用数学归纳法证3>na ， 3321>+=x a若3>k a ，则3321>+=+k k a a ，0)1)(3(>+−n n a a 123232+=+>⇔+>⇔n n n n n a a a a a 则数列{}n a 递减，不存在无穷多项为正整数.②当31<<−x 时，同①可用数学归纳法证：3<n a 且{}n a 递增. 则不存在无穷多项为正整数.③当1−=x 时，311<=a ，同②可用数学归纳法证：3<n a 且{}n a 递增， 则不存在无穷多项为正整数.④当3=x 时，{}n a 为常数列，符合要求.综上，3=x 时，存在无穷多项为正整数.三、解：①22++ax x 有零点x ，则1200020+≥++=x ax x . 若10−=x 时，有302)1(1=⇒=+−⋅+a a ， 则1232+≥++x x x 在2−=x 时矛盾，舍弃. ②22++ax x 不存在零点，则022>++ax x 只须3104)1(01)1(12222≤≤−∴≤−−=∆∴≥+−+⇒+≥++a a x a x x ax x同时满足 132321012)1(03)1(12222−≤≤−−∴≤−+=∆∴≥+++⇒−−≥++a a x a x x ax x 综上，1321−≤≤−a 为所求.四、解：若0z 为)(x f 的一个复数根， 则0)2()()(0020=+=z f z f z f ，即20z 也为一个复数根, 那么 ,,,40200z z z 均为)(x f 根. 若10≠z ，则40200,,z z z 均不同，则)(x f 有无穷根，矛盾. 由[])()2()2(2x f x f x f −=−故20)2(−z 也未一个根 所以120=−z .令bi a z +=0，则有11)2(12222=⇒ =+−=+a b a b a 则仅有1=x 一个解.综上，2024)1()(−=x x f .五、解：令n k i b a z yi x z k k k ,3,2,1=+=+=，. 有 =++++−=++++123232n n b b b y n a a a x 柯西不等式：2222232222222322)1()())(1()2()())(1(y b b b b b n x n a a a a a n n n n n −=++≥++−−−=++≥++− 相加22)1()2()1(y x n n −+−−≥=− ①（一个圆盘） 同时，122=+y x ②（一个圆环） 联立①②，解得：)54(254109222+−−±−+−=n n n n n x 所以5)4(2541092)Re(22min 1+−−−−+−=n n n n n z 。

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