2019年中国科学技术大学创新班数学试题

2019年中国科学技术大学创新班考试数学试题及解析2019中国科学技术大学创新班考试数学试题更多真题找：新一代韩鹏注意事项L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.将答案写在答题卡上，写在本卷上无效・3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回.4辛卷共四大题，满分侦0分.解答题写出必要的计算和证明过程・一.填空题(每题5分，共40分)1. _______________________________________ 平面区域|X+2J|+|3X +4J|<5的面积是_________________________________________________ ,2.方程sin2x + cos3x = 0,xe ［。

,2引的所有根之和.3.设点如,0),<x<4,则zUSC面积的最小值为.4.设x = 3 + cosf y = 4 + cosf +攵)。

是参数，则¥ +,的最大值为5•在平面直角坐标系叨中，6(1,0),把向量勇绕o顺时针旋转定角。

得苑q关于y轴的对称点紀为4+1, f = 0,1,…,2018,则%9的坐标为..,, 1 X Z 2019 •6.若、匕％=?(^1(”詞则澎= •7.设Z是复数M是纯虚数，则k + z + 3|的最小值是.8.己知知*2內>4 wN,且{x,x/Jl<i<j<k^4\= {18,36,54},则X l +工2 +石+*4二、（20分）设四面体ABCD.可由沿各边中点连线折起国成，1^1 = 12,1^1 = 10,网| = 8,求四面体ABCD的体积.三、（20分）设〃是正整数.证明：x = 0是方羿的唯一解. t-o k.四、（20分）设〃是正整数.⑴证明:存在多项式p“（x）,使得cos伽）= p,（cos&）.（2）在实数范用内完企因式分解p（*）.1.2 2019中国科学技术大学创新班考试数学试题解析更多真题：新一代韩鹏••1. k+2M+|3x+4'|<5 区域面积 __________ .sin(2x) = -cos(3x) = sin(3x+学),x e ［。

中科大创新试点班初试试题题目：中科大创新试点班初试试题一、数学本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：1.1 基础知识1.1.1 什么是实数？列举实数的几种表示方法。

1.1.2 什么是函数？列举常见的函数类型和它们的图像。

1.2 解析几何1.2.1 请画出以下函数的图像，并简要解释它们的性质：（1）y = x²（2）y = sinx1.2.2 请回答以下问题：（1）直线与平面是否能够唯一确定？（2）如何求出空间中两条直线的夹角？1.3 微积分1.3.1 请回答以下问题：（1）什么是导数？如何求导？（2）什么是极限？什么情况下不存在极限？1.3.2 请计算以下函数的导数：（1）y = x³ + 2x² - 3x（2）y = e^x - 5x二、物理本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：2.1 力学2.1.1 请回答以下问题：（1）什么是力？列举几个例子。

（2）什么是牛顿第二定律？请给出一个实例。

2.1.2 请回答以下问题：（1）什么是功？什么是能？它们之间有什么关系？（2）一个自由下落的物体，当其下落速度达到终端速度后，重力和空气阻力之间是否平衡？为什么？2.2 电磁学2.2.1 请回答以下问题：（1）什么是电势？与电场有什么关系？（2）什么是法拉第电磁感应定律？请举例说明。

2.2.2 请回答以下问题：（1）什么是电子？它们在原子中的排布有什么规律？（2）什么是电导率？请举例说明导体和绝缘体的区别。

三、英语本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：3.1 语法3.1.1 请回答以下问题：（1）什么是名词？列举几个英文名词。

（2）什么是动词？有哪几种英文动词时态？它们的用法分别是什么？3.1.2 请造句：（1）用现在完成时造一个含“for”短语的句子。

（2）用过去完成时造一个含“since”短语的句子。

3.2 阅读理解3.2.1 阅读下列文章，回答问题：（1）文章的主题是什么？（2）文章的结构分为哪些部分？3.2.2 阅读下列句子，判断正误并说明原因：（1）The Earth is getting hotter and hotter every year.（）（2）There is no way to stop global warming.（）3.3 写作3.3.1 请根据以下提示，写一篇100-150字的短文：（1）介绍你自己的家乡。

中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。

根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。

以下是部分真题。

填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。

如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。

(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。

若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。

(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。

涉及到二次曲线参数方程的知识。

解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。

(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。

题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。

中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。

随机分组，不分专业。

面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。

面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。

“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。

2020年中国科学技术大学创新班初试数学试卷1.若z +¯z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是(−1,√2]解：可转化为直线x =12上的点到(−1,0)与(0,−1)距离之差的取值范围求得为(−1,√2]2.若|5x +6y |+|9x +11y | 1，则满足条件的点(x,y )组成的面积为23.函数f (x )=3√3+1x的离心率是2√334.若a 1=1，a 2=3，a n =2a 2n −1a n −2+a n −1，求a n =n ∏k =2(2k −1)5.若x 2−y 2=4p 2，其中x,y ∈Z +，p 为素数，则x 3−y 3=6p 4+26.已知a =20202020，b =√20192021·20212019，c =20192021+202120192，则a ，b ，c 大小顺序是b <a <c7.已知f (x )=(x −1)2+k 2，且∀a,b,c ∈(0,1)，都存在以f (a ),f (b ),f (c )为边的三角形，求k 范围k >1或k <−18.设a 1,a 2,···,a n 是1,2,3···,n 的一个排列，若i <j 且a i <a j ，则称(a i ,a j )为对子，设x为a 1,a 2,···,a n 中对子的个数，则E (x )=n (n−1)49.求函数y =3sin 2x −2sin 2x +2sin x −cos x ，其中x ∈[0,π2]的值域[−54,5]10.已知函数f (x )=x 3+ax 2−x +1−a ，若对∀x ∈[−1,1]， f (x ) |x |恒成立，求实数a 的范围。

答案：实数a 的取值范围为(−∞,−12]11.若C 23，证明n ∑i =1√i <C (n +1)32证明：令f (x )=√x ，其在(0,+∞)上为增函数，则原函数f (x )=23x 32=23x √x ，依据积分法，有f (n )<F (n +1)−F (n )，即√n <23[(n +1)32−n 32]→n ∑i =1√i <23[(n +1)32−1]<23(n +1)32第1页。

2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin⁡2x+2sin⁡x−cos⁡x的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。

中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。

- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。

- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。

- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。

- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。

- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。

- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。

2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。

- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。

- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。

- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。

- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。

3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。

中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试数学A 真题及答案解析注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷共5题，每题20分，共100分。

需要写出必要的计算和证明过程。

一、求满足2022a b c ++=且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。

二、求满足如下条件的所有函数()f x ；（1）定义域为1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）(0)0f =；（3）1sin ()sin ()33xf x f x -=恒成立。

三、欧拉有著名公式22221111++++=236n π ，求最小正整数n ，使得2211162022nk k π=>-∑。

四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。

五、设2*()()1,,2!!nn x x f x x n N x R n -=-++∈∈ 。

（1）证明：：方程21()0n f x -=有唯一实数解，记作n a 。

（2）数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。

答案解析一、解：337322022⨯⨯=，又c b a ,,不可能为3个奇数，故只考虑3和337两个因子即可；若存在c b a ≠=，则有20222=+c a ，若c 337，则a 337，设11337337a a c c ==，，则6211=+c a ，11,c a 不可能为3的倍数；因此c b a ,,互不相等，由对称性，不妨设c 337：（1）337=c ，1685=+b a ，共56131685=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（2）574=c ，1348=+b a ，共44931348=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（3）1011=c ，1011=+b a ，此时b a ,必有一偶数，恒成立，共505种（4）1348=c ，674=+b a ，共2243674=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（5）1685=c ，337=+b a ，共1123337=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种注意到{}1011,674,337在计算过程中重复了2次，故：总计561+449+505+224+112-2=1849种.分析：本题为基础数论题，难度不大，但是需要一定的耐心和细心.二、解：令()()()x x g x g x f x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=331sin ，，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-38933189x x g x x g ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n xx g x x g 38933189，又∞→n lim 0389331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n xx g 故有当⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,00,21x 时，()x x g 89=，()πk x x f 289arcsin +=()Z k ∈，当0=x 时，()0=x g ，()0=x f .三、解：即求202211111121212122<=-=-∑∑∑∑+∞+==+∞==n k n k k n k k k k k b π即有()()111112-<<+k k k k k ，可得()n k k k n k n k 1111112=-<∑∑+∞+=+∞+=.因此，当2022=n 时，20221120232<∑+∞=k k 成立.而当2021≤n 时，()2022111111112≥+=+>∑∑+∞+=+∞+=n k k k n k n k 不成立综上2022min =n .四、解：n 个点分别记做i A ，过i A 和圆心做直线交圆于i B ，最终选取的n 个点记做i C ，其中n i ,,2,1 =，且{}i i i B A C ,∈.故共有n2种选择，且需要保证i C 均在一个半圆弧上，则当且仅当i C 为i A ，i B 这n 2个点种相邻的n 个点，即n 2种情况.又这n 个点同时包含一组i A ，i B 的概率为0，结论具有一般性.因此有：1222-==n n nn P .五、解：（1）()()()11111=-=-='+a x x f x f x f n n ，，()()x f x f 12-='，故()()0122=>f x f 不妨设()x f k 12-在R 上单调递减，且()012=-x f k 有实根k a ，且()02>x f k 恒成立，则()()0212<-='-x f x f k k 恒成立，且()012=+x f k ，()0lim 12>++∞→x f k x .因此()+∞∈∃+,01k a 使得()0112=++k k a f .()()x f x f k k 1222++-='，即有()()()()()0!2222111212222>+-+=>+++++++k a a f a f x f k k k k k k k 其中()0112=++k k a f ，证毕.综上，()x f n 12-在实数域上递减且有唯一实根.（2）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+=+-+121!2!12!221221212n a n a n a n a a f a f n nn n n n n n n n n ()()()()()()()0212!1222332212212<---+--+-=-n n n n n n n a f n n ！又()x f n 12-递减，故n a n 2<证毕()()1112120+-++<=>n n n n n n a a a f a f ，综上，{}n a 为单调递增数列.。

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案一、填空题1、答案：7．解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.MRS MNPQ S S -=⨯-⨯⨯=正方形2、答案：480．解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。

对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。

同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种3、答案：552．解析：不妨设椭圆E 的方程为22221(0)+=>>x y a b a b，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于5==c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 322sin 2122+==+⇔=⇔=⇔∆∆B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥5、答案：.96如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。

作⊥CO 面ABD 于点O 。

延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ∆的中心，则XD BX OX AO ==,2，又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。

O 是MN 的中点。

由MN AO ⊥，CO AO ⊥知⊥AO 面CMN 。

故ACG ∆在面CMN 上的投影为OCG ∆。

由面积射影定理得963129641241cos =⨯⨯⨯===∆∆∆∆ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212cos 21r r θ++=，所以2132cos 25r r θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，有1r r +，即210r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r =，可知1122z ≤≤．7、答案：2475+.解析：显然每个正整数x 皆属于{}n x ，称{}n x 的这种子列为A 型的，记为123,,,a a a ；下面考虑x 不是正整数的情况，称{}n x 的这种子列为B 型的，记为123,,,b b b ；由[]{}x x x =+，其中0{}1x <<，所以20{}1x <<，设2{},x x k k +=为整数，则2[]{}{},x x x k ++=而由22{}{}[],0{}{}2x x k x x x +=-<+<，得[]1k x -=，所以[]1x k =-，1,2,3,k = ，并且2{}{}1x x +=，解得51{}2x -=，于是11,2x k =-+1,2,3,k = ，因此任两个相邻自然数之间恰有一个B 型子列的项，从而11,2k b k -=-+k a k =，1,2,3,k = ，且{}n x 的前100项自小到大排列是：11225050,,,,,,b a b a b a ，所以，5050100112475k k k k S b a===+=+∑∑．8、答案：39.解析：首先存在38个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是11的倍数,如下：999981,999982， (1000018)若39≥m ，至少有3个是10的倍数，这3个数中必有一个数的十位不大于8，且该后至少有19个数在所取的39个连续的正整数中.设这个数为a ，并设它的数码和为)(a S ，现在考虑数a ，a +1,a +2,...,a +9,a +19,这11个数都是所取的39个数中的数，它们的数码之和构成11个连续的正整数，必有一个是11的倍数.二、解答题证明：由b c a 2=+，得CA B sin sin sin 2+=即2cos 2sin 22cos 2sin4C A C A C A C A -+=++因为02sin ,20≠+<+<C A C A π所以2cos 22cos C A C A +=-展开并整理，得2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A =所以312tan 2tan =C A 三、解答题证明：令c bx ax x f ++=2)(，则c f =)0(，c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，且1)0(≤f ，1)1(≤f ，1)1(≤-f ，则)0(f c =，2)1()1(--=f f b ，2)0(2)1()1(f f f a --+=，所以当[]1,1-∈x 时，2)0(2)1()1(2)1()1()0(22f f f f f x f x a bx cx --++--⋅+⋅=++)0()1()1(21)1(212f x f x f x ⋅-+-⋅-+⋅+=)0(1)1(1)1(12f x f xf x ⋅-+-⋅-+⋅+≤221212122≤-=-+-++≤x x x x 所以命题得证。

2019-2020年高一数学（创新班）期中检测试卷附参考答案一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1.若集合12{123},{0}3xA x xB xx+=-<=<-,那么A B =( ▲ ) .A ．1(1,)(2,3)2- B ．(2,3) C ． 1(,2)2-D ．1(1,)2--2.将函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移38π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式是( ▲ )A ．3sin(4)8y x π=+B ．sin(4)8y x π=+ C ．cos 4y x =- D ．sin y x =3.已知数列{}n a 中，145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则2015a =( ▲ )A.15B.25 C ．35 D.454.设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,2x ya b a b ==+=11x y+的最大值是（ ▲ ）A ．12B ． 1C ．32 D ．25.已知1,3,(3,1)a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为( ▲ )A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则( ▲ )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<7. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=，且19a =，其前n 项和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小正整数n 是( ▲ ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88.已知O 为ABC ∆的外心，3,4,AB AC AO x AB y AC ===+,且21(0)x y xy +=≠，则c o s BAC ∠=（ ▲ ）A ．38B ．34C ．23D ．12二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）9.已知lg(3)lg lg(1)x y x y +=++，则xy 的最小值是 ▲ ，x y +的最小值是 ▲ ，11x y+的最小值是 ▲ ． 10．已知函数()f x =的定义域为 ▲ ；值域为 ▲ . 11．在锐角ABC ∆中，1,2BC B A ==，则cos ACA= ▲ ；AC 的取值范围是 ▲ .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足8890,0a a a >+<，则0n S >的最大n 是▲ ；数列(115)n n S n a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭中最大的项为第 ▲ 项. 13.设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+在区间[2015,2015]-上的最大值与最小值之和为 ▲ .14．设G 为ABC ∆的重心，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若352115a G A b G B c G C ++=，则sin C = ▲ .15．已知数列{}n a 为等差数列，363,21a S ==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若对一切n N *∈，恒有216n n mS S ->成立，则m 的取值范围是 ▲ .三、解答题（5小题共74分,前4题每题15分，最后一题14分） 16.点A 、B 是直线0y =与函数2()2coscos()123xf x x ωπω=++-的图象的两个相邻交点，且||2AB π=．其中0ω>．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在锐角△ABC ∆中， ,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)(△ABC ∆的面积为33，求a 的值．17.在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的三边长分别为,,a b c且满足221(cos )2c a B b a b -=-. （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若a =b c +的取值范围.18.已知数列}{n a 满足21n a S n n +=+（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）记211++=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若501+<<m T m n对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.19.对于函数()f x 若存在0x 使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的一个不动点．设函数2()1(0)f x ax bx a =++>。

2019-2020年中考试数学试题（创新班） 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1.已知集合A={2，0，1，4}，{}2,2,2Bk k R k A k A =∈-∈-∉，则集合B 中所有的元素之和为( )A.2B.－2C.0D.2 2.下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（ ）3230(1)()();1, 0||(2)()();1,0(3)()1().f x xg x x x x f x g x x x f x g x x ==>⎧==⎨-<⎩==和和和 A ．(1)、 (2) B ．(2) C ． (1)、(3) D ．(3) 3.设f ，g 都是由集合A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则)]1([g f 的值为（ ）A. 1 B.2C. 3D. 44.函数的定义域为（ ）A ． （，1）B ． （，∞）C ． （1，+∞）D ． （，1）∪（1，+∞） 5.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31,21,1a ，则使幂函数a x y =为奇函数且在),0(+∞上单调递增的a 值的个数为（ ）A ． 6B ．5C ． 4D ．36.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．三棱锥 B ． 四棱锥 C ． 五棱锥D ． 六棱锥7.已知0,0a b >>且1ab =,则函数x a x f =)(与x x g b log )(-=的图象可能是（ ）A B C D8.设函数1()()lg 1f x f x x=+，则(10)f 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．10 D ．101 9.一只蚂蚁从正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图（）A ．①②B ． ①③C ． ②④D ． ③④10.已知0x 是函数1()21xf x x=+－的一个零点．若1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞ ，则（ ）A ．12()0,()0f x f x <<B ．12()0,()0f x f x <>C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>11.对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊕-，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是（ ）A ．1(,0)32-B ．1(,0)16- C ．1(0,)32 D ．1(0,)1612.奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图象分别如图1、2所示，方程f （g （x ））=0、 g （f （x ））=0的实根个数分别为a 、b ，则a+b=( )A ．14B ．10C ．7D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数)(log )(221x x x f -=的单调递增区间是14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)2()1()2(31)(x x f x e x f x，则=)3(ln f ．15.已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 .16.关于x 的一元二次方程01)1(2=+-+x m x 在区间[0,2]上恰有唯一根，则实数m 的取值范围是三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）计算：3log +lg25+lg4+277log +4log 3log 32⋅；（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m ﹣1＜x ＜2m+1}．若A∪B=A，求m 的取值范围．18.设函数f （x ）=，则：（1）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=1； （2）计算：f （20151）+f （20152）+f （20153）+…+f（20152014）．19.设二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x ，不等式f （x ）≥4x 恒成立． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）设g （x ）=kx+1，若G （x ）=在区间[1，2]上是增函数，求实数k 的取值范围。

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

江苏省如皋中学2019-2020学年度第二学期阶段考试高一数学（创新班）一、选择题：(本题共有12小题，每小题5分，共60分)1.椭圆22195x y +=的焦点的坐标为（ ）A. (14,0),(14,0)-B. (2,0),(2,0)-C. (0,14),(0,14)-D. (0,2),(0,2)-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，求出c ，即可得出焦点坐标.【详解】因为椭圆方程为22195x y +=，所以952c =-=，且焦点在x 轴上， 所以焦点坐标为：(2,0),(2,0)-. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.2.某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2:3:5，现用分层抽样抽取一个容量为200的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14，则该学校学生的总数为（ ） A. 400 B. 800C. 1000D. 2000【★答案★】B 【解析】 【分析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，结合样本容量为200可求得该学校学生的总数.【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14， 所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，所以，从该学校中抽取一个容量为200的样本时，则该学校学生的总数为20080014=.故选：B.【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.3.已知数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯的方差是（ ） A. 小于1 B. 1C. 大于1D. 无法确定【★答案★】C 【解析】 【分析】根据数据的平均值和方差公式计算比较可得★答案★. 【详解】因为数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2， 所以12102211x x x ++++=，所以121020x x x +++=，所以1210,,,x x x 的平均值为2，数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1所以222212101[(2)(2)(2)(22)]111x x x -+-++-+-=，所以2221210[(2)(2)(2)]11x x x -+-++-=，所以数据1210,,,x x x ⋯的方差是22212101[(2)(2)(2)]10x x x -+-++-1110=1>， 故选：C.【点睛】本题考查了数据的平均值和方差公式，属于基础题.4.若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A. 3B.32C. 2D. 1【★答案★】B 【解析】 【分析】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4234y y +=，解得22y =，故212y x ==，计算得到★答案★.【详解】设2 , 2yM y⎛⎫⎪⎝⎭，M到坐标原点O的距离为4234yy+=，解得22y=，故212yx==. 点M到该抛物线焦点的距离为131222p x+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.假设在元旦假期期间，甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3，且两地是否降雨相互之间没有影响，则在该时段两地中恰有一个地区降雨的概率为（）A. 0.06B. 0.38C. 0.5D. 0.56【★答案★】B【解析】【分析】根据甲、乙两地恰有一个地方下雨，包括甲地下雨，乙地不下雨和甲地不下雨，乙地下雨两类情况，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；【详解】解：甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：0.2(10.3)(10.2)0.30.140.240.38P=⨯-+-⨯=+=故选：B【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．6.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③【★答案★】A 【解析】 【分析】根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得★答案★. 【详解】观察图像可知说法① 正确；观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加350万人，故说法② 不正确，排除B ，C ，D ； 观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加259万人，2016-2018年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法③ 正确. 故选：A.【点睛】本题考查了对统计图表的理解和应用，属于基础题.7.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(0,2)A ，则APF ∆周长的最小值为（ ） A. 42+ B. 4(12)+C. 2(26)+D. 632+【★答案★】B 【解析】 曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =()412+ 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.8.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（ ） A. 抽得3件正品 B. 抽得至少有1件正品C. 抽得至少有1件次品D. 抽得3件正品或2件次品1件正品【★答案★】A 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得★答案★.【详解】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件; 对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件. 故选:A【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为（ ） A .2B. 3C. 22D. 32【★答案★】C 【解析】 【分析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得．【详解】解：由2222444120x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，得： 两圆的公共弦所在的直线方程为：20x y -+=，圆221:4C x y +=的圆心(0,0)到直线20x y -+=的距离为：22|002|211-+=+，公共弦长为：()224222-=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．10.已知实数0a >，且1a ≠，函数2,1,()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A. 15a <≤ B. 25a ≤≤ C. 1a > D. 5a ≤【★答案★】B 【解析】 【分析】当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >，当1x ≥时，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+，分析可得★答案★.【详解】根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数单调性以及分段函数的应用.首先根据指数函数确定出参数的大范围，然后再利用求导进一步求出参数范围，最后根据单调性来解答临界值的大小，从而得到结论,考查了运算和推论能力，属于中档题.11.已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（ ）A. )()0,2323,⎡-++∞⎣B. [23-,23+]C. (),0-∞D. [0∞+，） 【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，PA ⊥PB ，由切线性质定理，知：PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，PA ＝PB ，所以，四边形PACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2，则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：2|22|21k d k -=≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.若关于x 的不等式e 2x﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [0，2e ] B. （﹣∞，2e ] C. [0，2e 2]D. （﹣∞，2e 2]【★答案★】C 【解析】 【分析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m，可得所求范围． 【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意； 当a ＝0时，e 2x﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()f x '＝2e 2x a x-， 由于y ＝2e 2xax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设()f x '＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()f x '＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()f x '＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m ﹣a ln m ， 由题意可得e 2m﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ， 化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增. 则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：（本题有4小题，每小题5分，共20分.）13.不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1、2、3、4.若从袋中随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于5的概率为______. 【★答案★】13【解析】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，其中，事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件有：()1,2、()1,3，共2种， 因此，所求事件的概率为2163=. 故★答案★为：13. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.14.如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据 月份x 1 2 3 4 用水量y 2.5344.5由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是 1.75x y b +=,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨. 【★答案★】5.95 【解析】 【分析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出b ,然后代入x ＝6,推出结果即可. 【详解】解：由题意可知12342.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==；又线性回归方程是 1.75x y b +=,经过样本中心,所以3.5 2.5 1.75b =+, 解得：0.7b =, 所以0.7 1.75y x =+,x ＝6时,y =0.7×6+1.75＝5.95（百吨）.预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨. 故★答案★为：5.95.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题. 15.甲、乙、丙、丁、戊，共5位同学排成一排，若甲、乙都不排在两端，则不同的排法总数为_______. 【★答案★】18 【解析】 【分析】先排甲、乙，再排没有限制条件的三人，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，甲、乙都不排在两端，共有233A =种不同的排法， 其余三个位置进行全排列即可，共有336A =种排法，根据分步计数原理，可得共有1863=⨯种不同的排法. 故★答案★为：18.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题，解题时要注意先安排题目中有限制条件的元素，最后再排列没有限制条件的元素，这是解题的常见方法. 16.在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b +=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足||2||PA PB =，△PAB 面积最大值为163 ,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______． 【★答案★】32【解析】 【分析】利用两点间的距离公式求得P 点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得,a b 的值及离心率的值. 【详解】依题意()(),0,,0A a B a -，设(),P x y ，依题意的2PA PB =,()()222221x a y x y ++=-+，两边平方化简得2225433x a y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆心为5,03a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径43a r =.所以PAB ∆的最大面积为14162233a a ⋅⋅=，解得2a =，PCD ∆的最小面积为1542223333a a a b b ⎛⎫⋅⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，解得1b =.故椭圆离心率为2131142b e a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为2这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程. 三、解答题：（本题有6小题，共70分.要求规范书写推理、演算的过程.）17.某种水果按照肉质和口感可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个（每个水果的重量相当），利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考： 方案①：不分类卖出，单价为20元/kg . 方案②：分类卖出，分类后的水果售价如下表： 等级标准果优质果 精品果 礼品果 售价（元/kg ） 16 182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由.（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，求抽取的2个水果不是同一级别水果的概率. 【★答案★】（1）选择方案①，理由见详解；（2）79. 【解析】 【分析】（1）先设方案②的单价为X ，求出其均值，即可得出结果；（2）先根据分层抽样，得出各种等级的果品抽取的个数；再根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）设方案②的单价为X ， 则单价的期望为()103040201618222420.620100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯=>， 所以从采购商的角度考虑，应选择方案①；（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中标准果10101100⨯=；优质果10303100⨯=；精品果10404100⨯=个；礼品果10202100⨯=； 再从抽取的10个水果中随机抽取2个，共有21045C =种情况；则抽取的2个水果不是同一级别水果的概率为222342210271199C C C P C ++=-=-=. 【点睛】本题主要考查期望的应用，以及古典概型的概率计算问题，属于常考题型.18.如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值.【★答案★】（1）见解析；（2）14- 【解析】 【分析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-为平面PBC 的法向量，求得平面PCD 的法向量为()0,3,1n =，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒， 所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒， 可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，()0,0,23P ，()2,0,0B -，所以()0,2,23DP =-，()2,0,0CD =， 由（1）知，AQ 为平面PBC 的法向量， 因为Q 为PB 的中点， 所以()1,0,3Q -， 所以()3,0,3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =. 所以23cos ,3331AQ nAQ n AQ n⋅==+⋅+ 14=. 因为二面角B PC D --为钝角， 所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =，圆22:(1)1E x y -+=，已知直线l 与圆E 相切，且与抛物线C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（Ⅱ）设F 是抛物线的焦点，0FA FB ⋅=，求直线l 的方程. 【★答案★】（Ⅰ）()[),02,-∞+∞；（Ⅱ）3710x y ++=或3710x y -+=．【解析】 【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为x my c =+，由直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，可得222m c c =-，直线l 的方程代入24y x =，消去x ，由直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，得>0∆，即可求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（Ⅱ）由2212121212(1)(1)(1)(1)44y y FA FB x x y y y y =--+=--+，结合韦达定理和条件，解方程，即可求直线l 的方程．【详解】解：（Ⅰ）设直线l 的方程为x my c =+，22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)，半径为1，由直线l 与圆22(1)1x y -+=相切， 得2|1|11c m-=+，化简得222m c c =-，直线l 的方程代入24y x =，消去x ，得2440y my c --=，(*)由直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，得△2(4)160m c =-+>，即20m c +>，将222m c c =-代入上式，得20c c ->． 解得1c >或0c <，注意到2220m c c =-，从而有2c 或0c <，即()[),02,c ∈-∞+∞.（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(1,0)F ， 由(*)得124y y m +=，124y y c =-，所以2212121212(1)(1)(1)(1)44y y FA FB x x y y y y =--+=--+22121212311()()12164y y y y y y =+-++， 将124y y m +=，124y y c =-代入上式， 由0FA FB =，得224610c m c --+=，所以224(2)610c c c c ---+=，即23210c c --=． 解得13c =-，或1c =（舍去）． 故73m =±． 所以直线l 的方程为3710x y ++=或3710x y -+=．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键． 20.设函数()sin xf x e a x b =++.（1）当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求a 、b 的值.并证明当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x >. 【★答案★】（1）1b ≥-（2）见解析 【解析】【试题分析】（1）当1a =时，由于()'0fx >，故函数单调递增，最小值为()010,1f b b =+≥≥-.（2）利用切点()0,1-和斜率为1建立方程组，解方程组求得,a b 的值.利用导数证得先证21x e x ->-，进一步利用导数证1ln x x -≥，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由()sin xf x e a x b =++，当1a =时，得()cos xf x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >. 所以()cos 0xf x e x =+>'，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-. （2）由()sin xf x e a x b =++得()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上. 所以0110b ---=.所以2b =-. 所以()2xf x e =-.先证21x e x ->-，即10(0)xe x x -->>， 令()1(0)xg x e x x =-->，则()10xg x e ='->，所以()g x 在()0,+∞是增函数.所以()()00g x g >=，即21x e x ->-.① 再证1ln x x -≥，即1ln 0(0)x x x --≥>， 令()1ln x x x ϕ=--， 则()111x x x xϕ'-=-=， ()0x ϕ'=时，1x =，()0x ϕ'>时，1x >，()0x ϕ'< 时，01x <<.所以()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数， 所以()()min 10x ϕϕ==.即1ln 0x x --≥，所以1ln x x -≥.②由①②得2ln x e x ->，即()ln f x x >在()0,+∞上成立.【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于a 题目给出，并且导函数没有含有b ，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得b 的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32. 已知过点2,05M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA NB ⋅为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）2214x y +=；（2）()4,0N . 【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C 的方程. (2) 设N (n ，0)，先讨论l 斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12．详解：（1）离心率e ＝32c a =，所以c ＝32a ，b ＝22ac -＝12a ， 所以椭圆C 的方程为222214x y b b+=．因为椭圆C 经过点83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2216912525b b +=\， 所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－2254（）＝2425，则NA NB ⋅＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45，当l 经过左､右顶点时，NA NB ⋅＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4． 下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222()5+y 14y k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2216541k k +，x 1x 2＝221642541k k -+，所以NA NB ⋅＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2＝(k 2＋1) 221642541k k -+－(4＋25k 2) 2216541kk +＋16＋425k 2＝2216441k k --+＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA NB ⋅为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l 斜率不存在的情况得到n=4, NA NB ⋅=12，再证明斜率存在时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12． 22.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-. 【★答案★】(1)当x e =时，()f x 的极大值为12e，无极小值；(2)122a e -≤-；(3)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解. 试题解析：（1）当0a =时，()ln xf x x=，定义域为()0,+∞， ()312ln 'xf x x -=，令()'0f x =，得x e =. x()0,ee(),e +∞()f x +-()'f x极大值12e∴当x e =时，()f x 的极大值为12e，无极小值. （2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴ 12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立， ∴ 2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴ ()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=， 当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减， 当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭ 111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=， ①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦， ()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12210e -=->又()()222212ln h e e e e ----=--⋅ 2510e=-<， ∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=， 当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增， 当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减， ∴当0x x =时，()()2ln 1x f x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， ()()0020ln 1x f x x ∴=- ()2000112111222x x x ==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()020*******f x x ∴=<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。