对数求导法

对数求导法观察函数3sin 2(1,.(4)x x x x y y x x e+−==+方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导--------对数求导法方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。

1.ln ln ln ab a b=+ 2.ln ln ln a a b b =−3.ln ln ba b a =切记：ln()a b ±≠ln ln a b±由于对y =f (x )两端取对数时要求y >0.这限制了对数求导法的应用范围. 应想办法去掉这种限制.两边取绝对值, 再取对数.|)(|ln |)(|ln |)()(|ln ||ln x g x f x g x f y +==设y = f (x )g (x ). 其中f (x ),g (x )均非0且在点x 处可导。

(i) 当y > 0时, y yy y x x ′⋅=′=′1)(ln )||(ln (ii) 当y < 0时,y y y yy y x x ′=′−⋅−=′−=′1)(1))(ln()||(ln y yy y x ′=′≠1)||(ln ,0,有时当即同理, 当f (x ), g (x )不等于0时,)()(1)|)(|(ln ),()(1)|)(|(ln x g x g x g x f x f x f ′⋅=′′⋅=′.|)(|ln |)(|ln ||ln 两边求导从而对x g x f y +=得)()(1)()(11x g x g x f x f y y ′+′=′即⎟⎠⎞⎜⎝⎛′+′=′)()(1)()(1x g x g x f x f y y 注意:对数求导法只能求使y ≠0的x 处的导数. 若要求使y =0的x 处的导数, 则须另想办法.(1) 多个函数乘、除、乘方、开方构成函数的导数适用范围:1212()()()()()()n m u x u x u x v x v x v x 注：对幂指函数，没有求导公式例如(2) 幂指函数()()x y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦的导数：§3－3高阶导数设y = f (x), 若y =f (x)可导, 则f '(x)是x的函数.若f '(x)仍可导, 则可求f '(x)的导数.记作(f'(x))'=f ''(x).称为f (x)的二阶导数.若f ''(x)仍可导, 则又可求f ''(x)的导数,….一般, 设y = f (x )的导数y ' = f '(x )存在且仍可导, 记f '(x )的导数为).(,d d 22x f y xy ′′′′或,))(()(d d ,22′′=′′=′′=x f x f y xy 即))(()(d d ,)3()3(33′′′===′′x f x f y x y y 记仍可导若称为f (x )的三阶导数.导数.称为f (x )的二阶))(()(d d ,,)1()()()1(′===−−x f x f y x y y n n n n nn 记仍可导若一般称为f (x )的n 阶导数.二阶以上的导数都称为高阶导数.记C m (I)为区间I 上所有具有m 阶连续导数的函数所成集合. 为统一符号, 有时记y (0)=y , y (1)=y', y (2)=y''.例.设物体作变速运动. 在[0, t ]这段时间内所走路程为S = S (t ), 指出S''(t )的物理意义.解:我们知道, S'=V (t ).而S''=V'(t )注意到, ΔV = V ( t +Δt )−V (t )表示在[t , t +Δt ]这段时间内速度V (t )的增量(改变量).从而. 度这段时间内的平均加速表示在t a V Δ=Δ故).( lim 0t a tV t =ΔΔ→Δ即, S'' = V'(t ) = a (t )为物体在时刻t 的加速度.例..)1()(2432y y y x x y ′′−=′−−=满足验证解:43−−=x x y 411−+=x .)4(12−−=′x y 4)4()4(2−−−−=′′x x y 从而3222)4(241)4(12)1()(2−⋅−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⋅=′′−−′x x x y y y = 03)4(2−=x。

对数函数的导数(Inx)'=1/x（ln为自然对数），(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。

什么是对数函数？一般地，对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一、其中对数的定义：如果a^x=N （a>0，且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。

一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫作对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。

它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

什么是导数？导数:是用来反映函数局部性质的工具。

一个函数在其中一点的导数描述了这个函数在这-点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在-点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

图像：一般地，说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

对数函数的图像为对数曲线。

性质：具有值域，定点，单调性，奇偶性，周期性，对称性，在定义域上为单调增函数。

奇偶性：非奇非偶函数。

周期性：不是周期函数。

对称性：无。

最值：无。

零点：x=1注意：负数和0没有对数。

注意：如何记忆？底真同对数正,底真异对数负。

对数函数与其他函数与反函数之间图像关系相同，对数函数和指数函数的图像关于直线对称。

导数的运算法则：减法法则：f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x）加法法则：f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)乘法法则：f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2。

对数求导基本公式好的，以下是为您生成的关于“对数求导基本公式”的文章：在数学的奇妙世界里，对数求导可是个相当有趣又实用的工具。

就像我们在探险时手里的一把锋利宝剑，能帮我们轻松地解决很多复杂的问题。

先来说说对数求导的基本公式吧。

对于一个函数 y = f(x)，如果我们对它取自然对数，也就是 ln y = ln f(x) ，然后对等式两边求导，就会得到：(1/y) * y' = f'(x) / f(x) 。

最后再把 y 乘过去，就能得到 y' = y * [f'(x) / f(x)] 。

这看起来有点复杂，对吧？但别担心，咱们通过实际的例子来看看它到底怎么用。

还记得我之前教过的一个学生小明吗？有一次，我们在课堂上遇到了一个求导的难题：求函数 y = x^x 的导数。

这可把好多同学都难住了。

这时候，对数求导法就派上用场啦！我们先对等式两边取自然对数，得到 ln y = x ln x 。

然后对等式两边求导，左边是 (1/y) * y' ，右边是 1 * ln x + x * (1/x) ，也就是 ln x + 1 。

整理一下，就得到 (1/y) * y' = ln x + 1 。

最后把 y 乘过去，因为 y = x^x ，所以 y' = x^x * (ln x + 1) 。

小明一开始怎么都搞不明白，皱着眉头苦思冥想。

我就一步一步地给他讲解，让他自己动手算，终于，他的眼睛亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”看着他那开心的样子，我心里也充满了成就感。

其实啊，对数求导法在很多函数求导中都能大显身手。

比如一些复杂的幂指函数、乘积形式的函数等等。

再比如说，求函数 y = (x + 1)^(x - 1) * (x - 2)^(x + 2) 的导数。

这看起来是不是超级复杂？但是别怕，咱们还是老办法，先取对数：ln y = (x - 1) ln(x + 1) + (x + 2) ln(x - 2) 。

对数求导法探析-V1对数求导法是微积分中常用的一种求导方法，它常常被用于计算含有指数和对数函数的复杂表达式的导数。

在本篇文章中，我们将对对数求导法进行探析，从而更加深入地理解该方法的本质。

一、对数的定义和性质在进入对数求导法的具体讲解之前，我们需要首先了解对数的基本定义和性质。

对数的定义为：对于任意正数a和正数b，若满足b = a^x，则x称为以a为底b的对数，记作loga(b)。

对数中最常见的底数是e和10，其中以e为底的对数称为自然对数，记作ln。

对数有以下几个常用性质：（1）对数的底数必须是一个正实数且不等于1；（2）loga(MN) = loga(M) + loga(N)；（3）loga(M/N) =loga(M) - loga(N)；（4）loga(M^p) = ploga(M)；（5）loga(1) = 0；（6）loga(a) = 1。

这些性质是在后续的计算中必须掌握和灵活使用的基本工具。

二、对数求导法的基本思路在求导中，我们经常会遇到含有指数和对数函数的复杂表达式，例如y = e^(2x+3) * ln(sin(x))。

此时，我们往往需要运用一些特殊的求导法则来对其进行求导。

对数求导法便是其中一种常用的方法。

对数求导法的基本思路是将含有指数和对数函数的表达式化为对数函数的形式，然后再利用导数的链式法则来求出其导数。

具体地，假设我们需要对函数y = f(g(x))进行求导，其中g(x)为一个含有指数和对数函数的表达式，则我们可以将g(x)表示为h(x)的形式，即g(x) =loga(h(x))。

然后，我们可以运用链式法则来计算y的导数，即：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = f'(loga(h(x))) * (d/dx)[loga(h(x))](d/dx)[loga(h(x))]可以通过对数的性质和导数的链式法则来进行计算。

具体来说，我们可以有以下公式：(d/dx)[loga(h(x))] = (1/ln(a)) * (d/dx)[ln(h(x))] = (1/ln(a))* (h'(x)/h(x))其中，h'(x)/h(x)是对数函数ln(h(x))的导数。

对数求导法例题详解
求对数求导法例题详解
求对数求导法是一种求函数导数的方法，也叫换元法、变量法或算术变换法，它要求将函数表达式中的变量换成其对数，而变量乘法式换成多项式，用它来求导可将一些复杂的函数转化为求导可提供的表达式，从而实现求导的目的。

以求导y=Ax^n（A、n为常数）为例，这时我们将变量x换成其自然对数，令y=Ae^(nlnx)，求对变量x的导数，有：
$$\frac {dy}{dx}=Ane^{nlnx}·\frac {1}{x}=Anx^{n-1}$$
可见，用求对数求导法求出的函数导数与原式一致。

再以一元二次函数
y=ax^2+bx+c求导为例，我们一般写作：
$$\frac {dy}{dx}=2ax+b$$
用求对数求导法求导，将变量x换为x=e^lambda，则y=ae^{2λ}+be^λ+c，接着求对λ的导数：
$$\frac {dy}{dλ}=2ae^{2λ}+be^λ$$
将λ换回x，由e^λ=x得
$$\frac {dy}{dx}=2ax+b$$
可见，用求对数求导法求出来的函数导数结果同样正确。

以上就是关于求对数求导法的详细说明，使用求对数求导法求函数导数可以大大简化过程，获得函数导数的正确结果，帮助我们更好地理解函数特征。

对数函数求导在数学中，对数函数是常见的一种函数类型。

当需要求解这种函数导数时，需要用到一些特定的技巧和公式。

在本文中，我们将介绍如何对对数函数进行求导，以及一些相关的应用和例子。

一、对数函数的定义和性质对数函数是一种常见的函数类型，通常用符号“log”表示。

对于一个正实数x，我们用log(x)表示以e为底数的x的对数，即：log(x) = ln(x)其中，e是一个自然常数，约等于2.71828。

对数函数具有以下一些基本性质：•对于任意的正实数a和b，有以下三个基本公式：①log(ab) = log(a) + log(b)②log(a/b) = log(a) - log(b)③log(a^b) = b log(a)•对于任意的正实数a，有以下两个特殊公式：④log(1) = 0⑤log(e) = 1这些基本公式和性质是对数函数求导的基础。

二、对数函数求导的公式对于对数函数log(x)，我们可以通过求导公式来计算其导数。

具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx log(x) = 1/x这个公式表示对数函数的导数等于其自变量的倒数。

因此，如果我们要求解log(x)在某个点x=a的导数，那么可以将x=a代入公式中，即：d/dx log(x) |x=a = 1/a有了这个公式，我们就可以在实际问题中应用对数函数的导数了。

三、对数函数求导的应用举例1. 如何求解指数函数的导数？指数函数是另一种常见的函数类型，通常用符号“exp”表示。

对于一个实数x，我们用exp(x)表示e的x次幂，即：exp(x) = e^x我们可以使用对数函数求导公式来计算指数函数的导数。

具体来说，我们可以使用以下公式：d/dx exp(x) = exp(x)这个公式表示指数函数的导数等于函数本身。

我们可以使用对数函数的性质③来证明这个公式。

假设y=exp(x)，那么我们可以写出：log(y) = x对两边求导，得到：1/y * dy/dx = 1因此，dy/dx = y = exp(x)，从而得到了指数函数的导数公式。