广东省广州实验中学2016届高三上学期第二次阶段性考试理科数学试卷 Word版含答案

2015-2016广东实验中学高三上学期第二次段考试题数学（文科）高三文科数学备课组命题 2015.11 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{y |41≤≤y }，则A∩B＝（ ）A ．[0,2]B ．（1,3）C ．[1,3）D ．（1,4）(2) 设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+= A ．22i - B ．22i + C ．3i - D ． 3i + 错误!未找到引用源。

(3)在下列条件下，可以判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m∥α,l ∥β,m ∥β(4) 将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为A.-3或7B.-2或8C.0或10D.1或11 错误!未找到引用源。

(5) 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体体积是3，则x 的值是（ ）A.2B.3C.2.5D.4(6) 如图所示为函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω≤≤>的部分图像，其中B A ,两点之间的距离为5，那么=-)1(fA ．2B ．3C ．3-D ．-2(7) 已知,y x z +=其中实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+m y y x y x 0002，若z 的最小值为-3，则z 的最大值是( )A ．6B ． 7C ． 8D ．9(8)已知实数52,,202m 构成一个等差数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为D.56或7 错误!未找到引用源。

广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试理 科 数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A .球B .三棱锥C .正方体D .圆柱2．直线013=++y x 的倾斜角是( )A .030 B . 060 C . 0120 D . 0135 3．若P 是平面α外一点，则下列命题正确的是（ ）A .过P 只能作一条直线与平面α相交B .过P 可作无数条直线与平面α垂直C .过P 只能作一条直线与平面α平行D .过P 可作无数条直线与平面α平行 4．点)1-,1(到直线01=+-y x 的距离是( )A ．21 B ．32C ．2D ．25．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m ③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．设直线012:1=--my x l ，01)1(:2=+--y x m l .若 21//l l ，则m 的值为（ ） A .2 B . -1 C . 2或 -1 D . 1或-27．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD所成角的余弦值为（ ）A . 10B . 15C . 10D . 358．若变量y x ,满足0135=++y x ），且（123≠≤≤-x x ，则 11--x y 的取值范围是( ) A. 4 -43≤≥k k 或 B. 434-≤≤k C. 443≤≤k D. 443-≤≤k 9．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥且 .PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是( )A .一条线段，但要去掉两个点B .C .一个椭圆，但要去掉两个点D .10．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A .(0，4)B .(0，2)C .(－2，4)D .(4，－2)11.若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形， 则该棱柱的体积等于（ ）A B . C . D .12.如图，在体积为2的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 棱锥O —BCD 的体积等于（ ） A ．91 B ．81 C ． 71D ．72AB CDEFPCEDB第二部分非选择题（90分）二、 填空题(每题5分，共20分)13．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是14．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为15．如图四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，且=AD BC 3，过1,,A C D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ，则以下四个结论：①1;QC A D ∥②12;B Q QB =③直线1A B 与直线CD 相交； ④四棱柱被平面α分成的上下两部分的体积相等. 其中正确的有16．已知ABC ∆中，顶点)12-(，A ，点B 在直线l ：03-=+y x 上，点C 在x 轴上，则A B C ∆周长的最小值 . 三、解答题（共6大题，共计 70分）17.（本题10分）如图，在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF ∥面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．18．（本题12分）根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.19.（本题12分）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面,3,.,2ABC PC ACB D E π=∠=分别为线段,AB BC上的点，且2 2.CD DE CE EB ====（1）证明：DE ⊥平面PCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值.20.（本题12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥ ，12AB AA =，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点． （1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； （2）求直线BC 和平面11A MC 所成角的余弦值．21.（本题12分）已知函数xax x f +=)(的定义域为),0(∞+，且222)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、.（1）问：||||PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（2）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.22.（本题12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别在边CD ，CB 上，点E 与点C ，D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED .当PB 取得最小值时，请解答以下问题： （1）求四棱锥P-BDEF 的体积；（2）若点Q 满足λ=(0>λ)，试探究：直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于π4？并说明理由．第20题图ABCDE F广东实验中学2015—2016学年（上）高二级模块二考试数 学（理科）答案及评分标准一、选择题1～12 DCDDD ACABB BD 二、填空题 13.π31014. x －2y ＋4＝0 15. ①② 16. 132 三、解答题17.（本题10分）证明：（1）∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ． ——2分 ∵ EF ∥AD ，EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，——3分 ∴直线EF ∥面ACD ．——4分（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ． ——5分 ∵CB=CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ． ——6分 又EF∩CF=F ，EF 、CF ⊂面EFC ——7分 ∴BD ⊥面EFC ． ——8分 ∵BD ⊂面BCD ， ——9分 ∴面EFC ⊥面BCD ． ——10分18.（本题12分）解：(1)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya ＝1， ——1分∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋4a ＝1，解得a ＝1. ——2分此时直线方程为x ＋y －1＝0. ——3分 若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43， ——4分此时直线方程为4x ＋3y ＝0. ——5分 综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0. ——6分(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.——8分 当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y ＋(10－5k)＝0.——9分 由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k ＝34. ——10分 此时直线方程为3x －4y ＋25＝0. ——11分综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. ——12分19．（本题12分）（1）证明：∵⊥PC 平面 ABC,ABC DE 平面⊂, ∴DE PC ⊥,① ——2分 又∵2,2===CE DE CD ,∴222CE DE CD =+ ∴DE CD ⊥② ——4分由①、②，C PC CD = ,PCD PC CD ,平面⊂, ∴DE ⊥平面PCD ——6分 （2）过 A 作 AH ∥DE 交 CD 于 H ，则⊥AH 平面PCD ，过H 作 HM PD ⊥, 连接AM ，则 AMH ∠为二面角A PD C --所成的平面角. ——8分 在 AHC Rt ∆中，42322==AC AH , ——9分 ∵DMH ∆∽DCP ∆,∴11423=⇒=MH PD PC HD MH ——10分 ∴63cos 1111423423tan =∠⇒===∠AMH MH AH AMH ——11分 故二面角A PD C --的余弦值为63. ——12分20.（本题12分）（1）取BC 中点为N ，连结1,MN C N ， ——1分∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11A C ， ∴11,,,A M N C 四点共面， ——3分 且平面11BCC B ⋂平面11A MNC 1C N =又⊂DE 平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点， ——5分 ∴13CE EB =． ——6分 （2）连结1B M ，因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴⊥1AA 平面ABC ∴AB AA ⊥1，即四边形11ABB A 为矩形，且12AB AA = ∵M 是AB 的中点，∴M A M B 11⊥，又⊥11C A 平面11ABB A ，∴M B C A 111⊥，从而⊥M B 1平面11A MC ，∴1MC 是11B C 在平面11A MC 内的射影， ∴11B C 与平面11A MC 所成的角为∠11B C M ——9分 又11B C ∥BC ，∴直线BC 和平面11A MC 所成的角即11B C 与平面11A MC 所成的角 ——10分 设122AB AA ==，且三角形11A MC 是等腰三角形，∴111A M AC ==12MC =，11B C =∴36cos 11111==∠C B MC M C B∴直线BC 和平面11A MC 所成的角的余弦值为3． ——12分21.（本题12分） 解：（1）∵ 22222)2(+=+=a f ，∴ 2=a . ——1分 设点P 的坐标为),(00y x ，则有0002x x y +=，00>x ，——2分 由点到直线的距离公式可知：0000||,12||||x PN x y x PM ==-=， ——4分 故有1||||=⋅PN PM ，即||||PN PM ⋅为定值，这个值为1. ——5分（2）由题意可设),(t t M ，可知),0(0y N .∵ PM 与直线x y =垂直，∴ 11-=⋅PM k ，即100-=--tx ty ，解得 )(2100y x t +=，又0002x x y +=，∴ 0022x x t +=. ——8分 ∴22212+=∆x S OPM ， 222120+=∆x S O P N ——10分 ∴ 212)1(212020+≥++=+=∆∆x x S S S OPN OPM OMPN , 当且仅当10=x 时，等号成立. ——11分 ∴ 此时四边形OMPN 面积有最小值21+. ——12分22. （本题12分）解：（1）∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED=EF ,PEF PO 平面⊂EF PO ⊥,∴ABFED PO 平面⊥, ——1分不妨设x CE =，在POB Rt ∆中，166232222+-=+=x x OB PO PB ，——3分 当且仅当2=x ，即 E 为 CD 中点时，PB 取得最小值. ——4分1(24)332P BFED V -+=⋅= ——5分（2）令 AC 与 BD 的交点为 M ，∵λ=，所以 Q 在线段AP 上， ——6分 设OQ 与平面 PBD 的交点为N ，则 N 在线段PM 上， 过 O 作PM OH ⊥于 H ，则 可证 PBD OH 平面⊥, ——8分ONH ∠为 直线 OQ 与平面 PBD 所成的角， ——9分∵POM Rt ∆是等腰三角形，∴4π=∠=∠MPO PMO ， ——10分∴ONH ∠>PMO ∠或ONH ∠>MPO ∠（三角形外角大于内角） ——11分即 4π>∠ONH ，所以直线 OQ 与平面 PBD 所成角一定大于π4. ——12分。

广东省七校联合体2016届高三第二次联考试卷 数学理 第Ⅰ卷一、选择题：01．设复数z 满足33z i zi -=+，则z =( ) A ．3 B ．-3 C ．3iD ．-3i02．求值cos20cos351sin 20=-( )A ．22B ．-22C ．2D ．-203．“a≤-3”是“f(x)=-|x+a|在内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地幸福感指数 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) 男居民人数 10 20 220 125 125 女居民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；(Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X 表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感到幸福)的对数，求X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率)． 19．(本小题满分12分)如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分， 底面ABCD 是矩形，侧棱GC 、ED 、FB 都垂 直于底面ABCD ，GC=3，AB=22，BC=5， 四边形AEFG 为菱形，经过C 且垂直于AG 的 平面与EG 、AG 、FG 分别交于点M 、H 、N ； ⑴求证：CN ⊥BH ；⑵求面AFGE 与底面ABCD 所成二面角的余弦值。

20．(本小题满分12分)椭圆2222 :1(0)y x C a b a b +=>>的上顶点为A ，4(,)33b P 是C 上的一点,以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F ．⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点M (2,0)的动直线l 与椭圆C 相交于D 、E 两点，求ODE △面积的最大值21．(本小题满分12分)已知函数()(2)2ln2f x a x x a=--+-，1()xg x xe-=⑴若函数()f x在区间1(0,)2无零点，求实数a的最小值；⑵若对任意给定的0(0,]x e∈，方程0()()f xg x=在(0,]e上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。

2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|1≤y≤4}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中不等式的解集，确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），B={y|1≤y≤4}=[1，4]，则A∩B=[1，3），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】将分子与分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化再与进行运算即可．【解答】解：∵z=1﹣i，∴+=+=+（1+i）=（1+i）+（1+i）=2（1+i）．故选B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，着重考查复数的混合运算，属于基础题．3．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【考点】平面与平面平行的判定．【专题】综合题．【分析】通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．故选D．【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．4．将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或11【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故选A【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B． C． D．3【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由图象可得A=2，2sinφ=1，再由0≤φ≤π，结合图象可得φ的值．再由A，B两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω的值，从而求得函数f（x）的解析式，f （﹣1）的值可求．【解答】解：由图象可得A=2，2sinφ=1，即sinφ=．再由0≤φ≤π，结合图象可得φ=．再由A，B两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω=．故函数f（x）=2sin（x+），故f（﹣1）=2sin=2，故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．7．已知z=x+y其中实数x、y满足，若z的最小值为﹣3，则z的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（m，m），联立，解得B（﹣2m，m），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2m，m）时，直线在y轴上的截距最小为﹣m=﹣3，则m=3．当直线y=﹣x+z过A（m，m）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2m=6．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知实数20、m2、52构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．C．或D．或7【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由20、m2、52构成一个等差数列，得到m的值．利用圆锥曲线是椭圆；圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．【解答】解：∵20、m2、52构成一个等差数列，∴m=±6．当m=6时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是e===；当m=﹣6时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是e===．故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．9．函数f （x ）=2cos （ωx+φ）（ω≠0），对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）等于（ ） A ．2或0 B ．﹣2或2 C ．0 D ．﹣2或0【考点】余弦函数的图象． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，从而求得f （）的值．【解答】解：由函数f （x ）=2cos （ωx+φ）（ω≠0），对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，故f （）=±2，故选：B ．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知{a n }是等比数列，a 2=2，a 5=，则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=（ ）A ．16（1﹣4﹣n ）B ．16（1﹣2﹣n ）C ．（1﹣4﹣n ） D ．（1﹣2﹣n ）【考点】等比数列的前n 项和． 【专题】计算题．【分析】首先根据a 2和a 5求出公比q ，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a 1a 2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a 1a 2=8，公比为，所以，故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．11．函数f （x ）在定义域R 内可导，若f （x ）=f （1﹣x ），且当时，有，设，，，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a【考点】导数的运算；函数的单调性及单调区间；不等关系与不等式． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件得到函数的单调性，然后将自变量化到同一个单调区间上，从而可判定a ，b ，c 的大小．【解答】解：∵，∴当x＞时，f′（x）＜0，当x＜时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减=f（﹣）=f（1+），=f（），=f（4），∵＜1+＜4∴f（）＞f（1+）＞f（4），即c＜a＜b故选B．【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，若曲线C不存在与直线y=ex 垂直的切线，则关于s的方程e s﹣m=﹣无实数解，由指数函数的值域，即可得到m的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣mx+1的导数为f′（x）=e x﹣m，设切点为（s，t），即有切线的斜率为e s﹣m，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则关于s的方程e s﹣m=﹣无实数解，由于e s＞0，即有m﹣≤0，解得m≤．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，运用指数函数的值域是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边长，若，则角B的大小为或．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由余弦定理可得a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知关系式，可得sinB=，从而可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，a2+c2﹣b2=2accosB，∴（a2+c2﹣b2）tanB=2accosB×tanB=2acsinB，∵（a2+c2﹣b2）tanB=ac，∴2acsinB=ac，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或．故答案为：或．【点评】本题考查余弦定理，考查三角函数间的关系及三角函数的求值，求得sinB=是关键，属于基础题．14．在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°，则=﹣9．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】用和当基底，表示和，再利用两个向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算可得结果．【解答】解：由=3可得﹣=3（﹣），即有=，=﹣，∴•=•（﹣）=（2﹣32+2•）=（22﹣3•42+2•2•4•）=﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．15．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故答案为：．【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】函数的零点．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2=﹣2（x﹣1）2，图象为开口向下，顶点为（1，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，令g（x）=log a（|x|+1），∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故答案为：．【点评】此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求a n及S n（Ⅱ）令b n=（n∈N*），若数列{b n}的前n项和为T n，证明：．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求；（Ⅱ）求得b n===•=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，可得T n，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1=3，d=2，则a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a n=2n+1，则b n===•=（﹣），则前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式的证明，注意运用数列的单调性和不等式的性质，属于中档题．18．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（I）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；（II）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b 的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b 的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（I）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积S=，可得ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（II）由题意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得a=．所以△ABC的面积S=．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，其中正弦定理及余弦定理很好的解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．∵====，=2．∴V三棱柱【点评】本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积．20．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，∴|y1﹣y2|==∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（1）存在x0，使m≥f（x0）min，故，由此导出f（x0）min=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值．（2）由g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，知x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），=，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围．【解答】解：（1）存在x0，使m≥f（x0）min，∵f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x），∴=，x＞﹣1．令f′（x）＞0，得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，∴y=f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x0）min=f（0）=1，∴m≥1，∴实数m的最小值是1．（2）∵g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，∴g（x）=x+1﹣a﹣2ln（1+x）在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，∴x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），=，由h′（x）＞0，得x＞1，由h′（x）＜0，得x＜1，∴y=f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∵h（0）=1﹣2ln1=1，h（1）=2﹣2ln2，h（3）=4﹣2ln4，∴2﹣2ln2＜a≤1．【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）22．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．五、解答题（共1小题，满分0分）23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分0分）24．选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；圆周角定理．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO=∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，本题解题的关键是得到三角形全等和三角形相似，本题是一个中档题目．2016年3月7日。

广州、深圳2016届高三12月联合考试数 学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R,集合2{|{|7120},A x y B x x x A ===-+≤则（U C B ）= A ．（2，3）B ．（2，4）C ．（3，4]D ．（2，4]2．在复平面内，复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60 D ．90 4．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A ． 向左平移个单位长度 B ． 向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向右平移个单位长度7．在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2（b 6b 8）的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有( )种． A ．150 B ．180 C ．240 D ．360 9．若等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足，则=( )A ． 2B ．-2C ．32-D ．3210．若x 、y 满足，目标函数z=x ﹣ky 的最大值为9，则实数k 的值是（ ）A ． 2B ．1C ． -2D ．﹣111．已知三边长分别为3、4、5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．3012．过曲线C 1：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 1作曲线C 2：x 2+y 2=a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2=2px （p ＞0）于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|=|MN|，则曲线C 1的离心率为( ) A ．B ．﹣1C ．+1D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。

（1）已知集合}{11M x x =-<<，{22,N x x =<x ∈Z }，则(A) M N ⊆ (B) N M ⊆ (C) {}0M N = (D) M N N = 答案：C解析：解一元二次不等式：2x ＜2，得：x <x Z ∈，所以，N ＝{}1,0,1-，所以，{}0M N = 。

（2）已知复数z =1i +，其中i 为虚数单位， 则z =(A) 12(B) 12 答案：B解析：因为z＝()2i1i +12==，所以，||z = 1 （3）已知cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 (A) 13(C)13-(D) 答案：A解析：5sin 12πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=(A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.32 (D) 0.16 答案：B解析：由于随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()40.84P X ≤=，所以，(4)(2)0.16P X P X ≥=≤=，()24P X <<=1－0.32＝0.68（5）不等式组0,2,22x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩的解集记为D , 若(),a b D ∈, 则23z a b =-的最小值是(A) 4- (B) 1- (C) 1 (D) 4 答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC 为所示，当23z a b =-过A （－2,0）时取得最上值为－4（6）使231(2nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N *)展开式中含有常数项的n 的最小值是(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6答案：C解析：2251311()()22kn kk k n k k n nk T C x C x x --+==，令25n k -＝0，得52n k =，所以n 的最小值是5 （7）已知函数()()(sin 20f x x ϕϕ=+<<)2π的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭, 则函数 ()f x 的单调递减区间是(A) 32,2(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (B) 52,2(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) (C) 3,(88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ) (D) 5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) 答案：D 解析：3sin(2)8πϕ⨯+=0，得：4πϕ=，所以，()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间是5,(88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ) （8）已知球O 的半径为R ，,,A B C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，2AB AC ==，120BAC ︒∠=, 则球O 的表面积为 (A) 169π (B) 163π (C)649π (D) 643π 答案：D解析：由余弦定理，得：BCABC 外接圆半径为r ，由正弦定理：2120r sin =︒，得r ＝2，又22144R R =+，所以，2R ＝163，表面积为：24R π＝643π （9）已知命题p ：x ∀∈N *, 1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，命题q ：x ∃∈N *,122x x-+=则下列命题中为真命题的是(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D) ()()p q ⌝∧⌝ 答案：C解析：因为n y x =（n 为正整数）是增函数，又1123>所以，x ∀∈N *, 1123x x⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，p 正确；122x x -+≥=122x x -=所以()p q ∧⌝为真命题。

2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|1≤y≤4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2．设z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．3﹣i D．3+i3．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β4．将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或115．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．36．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B 两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2 B．C．D．﹣27．已知z=x+y其中实数x、y满足，若z的最小值为﹣3，则z的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知实数20、m2、52构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．C．或D．或79．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或010．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）11．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（1﹣x），且当时，有，设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a12．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边长，若，则角B的大小为．14．在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°，则= ．15．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求a n及S n（Ⅱ）令b n=（n∈N*），若数列{b n}的前n项和为T n，证明：．18．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．20．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）22．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．五、解答题（共1小题，满分0分）23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分0分）24．选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．2015-2016学年广东省广州实验中学高三（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|1≤y≤4}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出A中不等式的解集，确定出A，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），B={y|1≤y≤4}=[1，4]，则A∩B=[1，3），故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】将分子与分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化再与进行运算即可．【解答】解：∵z=1﹣i，∴+=+=+（1+i）=（1+i）+（1+i）=2（1+i）．故选B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，着重考查复数的混合运算，属于基础题．3．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【考点】平面与平面平行的判定．【专题】综合题．【分析】通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．故选D．【点评】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．4．将直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x﹣4y=0相切，则实数λ的值为（）A．﹣3或7 B．﹣2或8 C．0或10 D．1或11【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线平移的规律，由直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x﹣y+λ=0沿x轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0，因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故选A【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B 两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由图象可得A=2，2sinφ=1，再由0≤φ≤π，结合图象可得φ 的值．再由A，B 两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω的值，从而求得函数f（x）的解析式，f（﹣1）的值可求．【解答】解：由图象可得A=2，2sinφ=1，即sinφ=．再由0≤φ≤π，结合图象可得φ=．再由A，B两点之间的距离为5，可得25=16+，可得ω=．故函数f（x）=2sin（x+），故f（﹣1）=2sin=2，故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．7．已知z=x+y其中实数x、y满足，若z的最小值为﹣3，则z的最大值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，得到k值，再把最大值时最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（m，m），联立，解得B（﹣2m，m），由z=x+y，得y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过B（﹣2m，m）时，直线在y轴上的截距最小为﹣m=﹣3，则m=3．当直线y=﹣x+z过A（m，m）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2m=6．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．已知实数20、m2、52构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）A． B．C．或D．或7【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由20、m2、52构成一个等差数列，得到m的值．利用圆锥曲线是椭圆；圆锥曲线是双曲线，由此入手能求出离心率．【解答】解：∵20、m2、52构成一个等差数列，∴m=±6．当m=6时，圆锥曲线是椭圆，它的离心率是e===；当m=﹣6时，圆锥曲线是双曲线，它的离心率是e===．故选：C．【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．9．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），则f（）等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【考点】余弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，从而求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω≠0），对任意x都有f（+x）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故选：B．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．11．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（1﹣x），且当时，有，设，，，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】导数的运算；函数的单调性及单调区间；不等关系与不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件得到函数的单调性，然后将自变量化到同一个单调区间上，从而可判定a，b，c的大小．【解答】解：∵，∴当x＞时，f′（x）＜0，当x＜时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减=f（﹣）=f（1+），=f（），=f（4），∵＜1+＜4∴f（）＞f（1+）＞f（4），即c＜a＜b故选B．【点评】本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值大小，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象是曲线C，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；直线与圆．【分析】求出函数的导数，设切点为（s，t），求得切线的斜率，若曲线C不存在与直线y=ex 垂直的切线，则关于s的方程e s﹣m=﹣无实数解，由指数函数的值域，即可得到m的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣mx+1的导数为f′（x）=e x﹣m，设切点为（s，t），即有切线的斜率为e s﹣m，若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线，则关于s的方程e s﹣m=﹣无实数解，由于e s＞0，即有m﹣≤0，解得m≤．故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，运用指数函数的值域是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边长，若，则角B的大小为或．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由余弦定理可得a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知关系式，可得sinB=，从而可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，a2+c2﹣b2=2accosB，∴（a2+c2﹣b2）tanB=2accosB×tanB=2acsinB，∵（a2+c2﹣b2）tanB=ac，∴2acsinB=ac，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或．故答案为：或．【点评】本题考查余弦定理，考查三角函数间的关系及三角函数的求值，求得sinB=是关键，属于基础题．14．在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若=3，||=4，||=2，且与的夹角为60°，则= ﹣9 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】用和当基底，表示和，再利用两个向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算可得结果．【解答】解：由=3可得﹣=3（﹣），即有=，=﹣，∴•=•（﹣）=（2﹣32+2•）=（22﹣3•42+2•2•4•）=﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．15．已知三棱锥S﹣ABC，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若该三棱锥外接球的半径为，Q是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC的距离，即可求出点Q到平面ABC的距离的最大值．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的正方体的外接球，∵该三棱锥外接球的半径为，∴正方体的体对角线长为2，∴球心到平面ABC的距离为=∴点Q到平面ABC的距离的最大值为+=．故答案为：．【点评】本题考查点Q到平面ABC的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC的距离是关键．16．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【考点】函数的零点．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x ﹣2，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2=﹣2（x﹣1）2，图象为开口向下，顶点为（1，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，令g（x）=log a（|x|+1），∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故答案为：．【点评】此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n（Ⅰ）求a n及S n（Ⅱ）令b n=（n∈N*），若数列{b n}的前n项和为T n，证明：．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求；（Ⅱ）求得b n===•=（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，可得T n，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得，解得a1=3，d=2，则a n=3+2（n﹣1）=2n+1；S n=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a n=2n+1，则b n===•=（﹣），则前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式的证明，注意运用数列的单调性和不等式的性质，属于中档题．18．在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=（Ⅰ）若△ABC的面积等于；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（I）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；（II）由三角形的内角和定理得到C=π﹣（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b 的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b 的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（I）∵c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，根据三角形的面积S=，可得ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（II）由题意sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，联立方程组解得a=．所以△ABC的面积S=．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，其中正弦定理及余弦定理很好的解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II）先求得三棱锥B1﹣ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．∵====，∴V三棱柱=2．【点评】本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积．20．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，∴|y1﹣y2|==∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的概念及应用．【分析】（1）存在x0，使m≥f（x0）min，故，由此导出f（x0）=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值．min（2）由g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，知x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），=，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围．【解答】解：（1）存在x0，使m≥f（x0）min，∵f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x），∴=，x＞﹣1．令f′（x）＞0，得x＞0，令f′（x）＜0，得x＜0，∴y=f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x0）min=f（0）=1，∴m≥1，∴实数m的最小值是1．（2）∵g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，∴g（x）=x+1﹣a﹣2ln（1+x）在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，∴x+1﹣2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1﹣2ln（1+x），=，由h′（x）＞0，得x＞1，由h′（x）＜0，得x＜1，∴y=f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，∵h（0）=1﹣2ln1=1，h（1）=2﹣2ln2，h（3）=4﹣2ln4，∴2﹣2ln2＜a≤1．【点评】本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）22．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．五、解答题（共1小题，满分0分）23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分0分）24．选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；圆周角定理．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO=∠BC E，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，本题解题的关键是得到三角形全等和三角形相似，本题是一个中档题目．。

广州实验中学2016届高三上学期第二次阶段性考试数学试卷（文）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{y |41≤≤y }，则A ∩B ＝（ ） A ．[0,2]B ．（1,3）C ．[1,3）D ．（1,4）(2) 设（是虚数单位），则( ) A ． B ． C ． D ． (3)在下列条件下，可以判断平面α与平面β平行的是( )A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β(4) 将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为( )A.-3或7B.-2或8C.0或10D.1或11 (5) 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体体积是3，则x 的值是（ ） A.2 B.3 C.2.5 D.4(6) 如图所示为函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω≤≤>的部分图像，其中B A ,两点之间的距离为5，那么=-)1(f ( )A ．2B ．3C ．3-D ．-2(7) 已知,y x z +=其中实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+m y y x y x 0002，若z 的最小值为-3，则z 的最大值是( ) A ．6 B ． 7 C ． 8D ．9(8)已知实数52,,202m 构成一个等差数列，则圆锥曲线的离心率为 ( ) 1z i =-i 2z z+=22i -22i +3i -3i +,x y 221x y m+=A.306 B.7 C.306或7 D.56或7(9)函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( ) A.或 B.或 C.D. 或(10) 已知是等比数列，，则=（ ）A.16（） B.16（） C.（） D.（）(11) 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()(x f x f -=，且当21≠x 时，有0)(')21(<⋅-x f x ，设)43(tan πf a =，)10(lg f b =，)8(32f c =，则( ) A.c b a << B.b a c << C.a b c << D.a c b <<(12) 已知函数1)(+-=mx e x f x的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y =ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A.]1,(e --∞ B.),1[+∞e C. )1,(e -∞ D.]1,(e-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2015-2016广东实验中学高三上学期第二次段考试题数学（文科）高三文科数学备课组命题 2015.11 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合A ＝{x|x 2－2x －3<0}，B ＝{y |41≤≤y }，则A∩B ＝（ ）A ．[0,2]B ．（1,3）C ．[1,3）D ．（1,4）(2) 设1z i =-（i 是虚数单位），则2z z+= A ．22i - B ．22i + C ．3i - D ． 3i + (3)在下列条件下，可以判断平面α与平面β平行的是A. α、β都垂直于平面γB. α内不共线的三个点到β的距离相等C. l,m 是α内两条直线且l ∥β,m ∥βD. l,m 是异面直线,且l ∥α,m ∥α,l ∥β,m ∥β(4) 将直线02=+-λy x 沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆04222=-++y x y x 相切，则实数λ的值为A.-3或7B.-2或8C.0或10D.1或11 (5) 某几何体的三视图如右图所示，且该几何体体积是3，则x 的值是（ ） A.2 B.3 C.2.5 D.4(6) 如图所示为函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω≤≤>的部分图像，其中B A ,两点之间的距离为5，那么=-)1(fA ．2B ．3C ．3-D ．-2BxOAy1 2 －2（第6题图）(7) 已知,y x z +=其中实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+m y y x y x 0002，若z 的最小值为-3，则z 的最大值是( )A ．6B ． 7C ． 8D ．9(8)已知实数52,,202m 构成一个等差数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为D.56或7(9)函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于A. 2或0B. 2-或2C. 0D. 2-或0(10) 已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） A.16（n--41） B.16（n--21） C.332（n --41） D.332（n--21） (11) 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()(x f x f -=，且当21≠x 时，有0)(')21(<⋅-x f x ，设)43(tan πf a =，)10(lg f b =，)8(32f c =，则A.c b a <<B.b a c <<C.a b c <<D.a c b <<(12) 已知函数1)(+-=mx e x f x的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m的取值范围是A.]1,(e --∞B.),1[+∞eC. )1,(e -∞D.]1,(e-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。